1、诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试 2006 线性代数 试卷 A一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 。0已知正交矩阵 P 使得 ，则102TA206()TPE1设 A 为 n 阶方阵， 是 的 个特征根，则 det( )= 12,n 2A2设 A 是 矩阵， 是 维列向量，则方程组 有无数多个解的充分必要条mBmBX件是：3若向量组 =（0，4，2） ，=（2，3，1） ，=（t，2，3）的秩为 2，则 t=4 ，则 的全部根为：2315()4987xD0)(xD二、 选择题（每小题 4 分，共 20 分）1行列式 的值为（ ） 。01A， 1， B，-1C， D，
2、()2n(1)2n2对矩阵 施行一次行变换相当于（ ） 。nmA， 左乘一个 m 阶初等矩阵， B，右乘一个 m 阶初等矩阵 C， 左乘一个 n 阶初等矩阵， D，右乘一个 n 阶初等矩阵 3若 A 为 mn 矩阵， ， 。则（ ） 。()rAn|0,nMXARA， 是 维向量空间， B， 是 维向量空间MC， 是 m-r 维向量空间， D， 是 n-r 维向量空间4若 n 阶方阵 A 满足， =0，则以下命题哪一个成立（ ） 。2A， ， B， ()0r()2nrA_ _姓名学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线C， ， D，()2nrA()2nrA5若 A 是
3、 n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ） 。A，矩阵 AT为正交矩阵， B，矩阵 为正交矩阵1C，矩阵 A 的行列式是 1， D，矩阵 A 的特征根是 1三、解下列各题（每小题 6 分，共 30 分）1若 A 为 3 阶正交矩阵， 为 A 的伴随矩阵， 求 det ( )* *A2计算行列式 。1a3设 ，求矩阵 B。02,1AAB4、求向量组 的一个最大无关组。1234(,),(1,0),(1,0),(1,2)5、求向量 =（1，2，1）在基 下的坐标。 )1,(),10(),1( 四、 （12 分）求方程组的通解（用基础解系与特解表示） 。1234527506xx五、 （12 分）用
4、正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2123131(,)fxxx六、证明题（6 分）设 ， 是线性方程组 对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线012,r AX 性方程组 的一个解，求证 线性无关。AX ,21r2006 年线性代数 A参考答案一 填空题(1) 20-22006(2) 12 n2(3) r(A)=r(A,B) n(4) t=-8(5) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D三 解答题(1) AA* =|A|E, |A|A*|=|A3|A*|=|A|2=|AA|=|AA-1|=1(2) 3)1(101)3(1)3(1 aaa
5、aaa(3)由 AB=A-B，有 ，AEBAE1)(,)(112030()2,AE432030112B（4） 02142104321而10102故 ， ， 为一个极大无关组23（5）令 =（1，2，1）=x+y+z，则有：解得： 12zyx2103zyx 的坐标为 2,03四解：原 001214084021216130512723A方程组同解下面的方程组：24351x即： 43251xx令 ,求解得：（1，1，0，0，0）=。543齐次方程组基础解系为：。321321 ),10,(),(),0( aa通 解 为五解：1,2,1 )1(2)(010),(3321AEAxf当 时，由 ，求得基础解
6、系：10321xAE10当 时，由 03212x，求得基础解系： 1当 时，由 ，求得基础解系：1303213xAE12单位化： 612,3210令 ，则613210U102AU若 则 。,Y2321 yA六，证明证：设 ， 0)()(1 baar则 ，1 rr于是： ,0)(1baaArr即： 0)bar但 ，故 =0。0)(1bar从而 =0。r1但 线形无关，因此 全为 0，于是 b=0,由此知：r， r,1线形无关。,1r诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试 2006 线性代数 试卷 B一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 。1 已知正交矩阵 P 使得 ，则10
7、2TA2061()TPAP2设 A 为 n 阶方阵， 是 的 个特征根，则 det( )= 12,n T3设 A 是 矩阵，则方程组 对于任意的 维列向量 都有无数多个解的充分mBAXmB必要条件是：4若向量组 =（0，4，2） ，=（2，3，1） ，=（t，2，3）的秩不为 3，则 t=5 ，则 的全部根为：23157()498xD0)(xD二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）1n 阶行列式 的值为（ ） 。10B， ， B，(1)nC， D，(1)2n ()2n2对矩阵 施行一次列变换相当于（ ） 。nmAB， 左乘一个 m 阶初等矩阵， B，右乘一个 m 阶初等矩阵 C， 左乘一个
8、 n 阶初等矩阵， D，右乘一个 n 阶初等矩阵 3若 A 为 mn 矩阵， ， 。则（ ） 。()rAn|0,nMXARA， 是 维向量空间， B， 是 维向量空间MC， 是 m-r 维向量空间， D， 是 n-r 维向量空间4若 n 阶方阵 A 满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ） 。2_姓名学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线A， ， B， ()rn()2nrAC， ， D，25若 A 是 n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ） 。A，矩阵-A T为正交矩阵， B，矩阵- 为正交矩阵1C，矩阵 A 的行列式是实数， D，矩阵 A 的特征根是实数三
9、、解下列各题（每小题 6 分，共 30 分）1若 A 为 3 阶正交矩阵， 求 det (E- )22计算行列式 。ab3设 ，求矩阵 A-B。02,1AAB4、求向量组 的的秩。1234(,),(1,0),(1,0),(1,2)6、向量 在基 下的坐标（4，2，-2） ，求 在)1,(),10(),( 下的坐标。,四、 （12 分）求方程组的通解（用基础解系与特解表示） 。1234527506xx五、 （12 分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵212313(,)4fxx六、证明题（6 分）设 ， 是线性方程组 对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线012,r AX 性方
10、程组 的一个解，求证对于任意的常数 a，AX线性无关。,ra2006 年线性代数 B参考答案二 填空题（1） 2-2-5*22005(0) 1 n(1) m=r(A)=r(A,B) n(2) t=-8(3) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答题(1) 3 阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为 1 或者-1， 所以det (E- )= det （E-A） det （E+A） =02A（2）31(3)100(3)()abbaabb(3)由 AB=A-B，有 ，AEBAE1)(,)(12030(2,432030112B844022A（4）
11、02142104321而0210120故秩为 3。（5）令 =+2+=x（+）+y（+）+z（+） ，则有：解得： 42xzy02xyz所求的 的坐标为 ,四解：原 001214084021216130512723A方程组同解下面的方程组：24351x即： 43251xx令 ,求解得：（1，1，0，0，0）=。543齐次方程组基础解系为：。321321 ),10,(),(),0( aa通 解 为五解：123123(,)00(1)2(),fxAE当 时，由 ，求得基础解系：103211xAE当 时，由 03212xAE，求得基础解系： 1 1当 时，由 ，求得基础解系：303213xAE单位化：
12、 01,2令 ，则102U102AU若 则 。,Y213y六，证明证：设 ， 1()()0raab则 ，1r于是： ,rA即： 1()r但 ，故 =0。01)从而 =0。ra1但 线形无关，因此 全为 0，于是 b=0,由此知：r， ra,1线形无关。,诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（A 卷） 2007 线性代数 试卷一、填空题（共 20 分）（1） 设 A 是 矩阵， 是 维列向量，则方程组 无解的充分必要条件nmBmBAX是：（2） 已知可逆矩阵 P 使得 ，则1cosinA1207P（3） 若向量组 =（0，4，t） ，=（2，3，1） ，=（t，2，3）的秩为
13、2，则 t=（4） 若 A 为 2n 阶正交矩阵， 为 A 的伴随矩阵， 则 =* *A（5） 设 A 为 n 阶方阵， 是 的 个特征根，则 = 12,n 1niiEA二、 选择题（共 20 分）（1） 将矩阵 的第 i 列乘 C 加到第 j 列相当于对 A：nmAA，乘一个 m 阶初等矩阵， B，右乘一个 m 阶初等矩阵 C， 左乘一个 n 阶初等矩阵， D，右乘一个 n 阶初等矩阵 （2） 若 A 为 mn 矩阵， 是 维 非零列向量， 。集合()min,rA则:,nMXRA， 是 维向量空间， B， 是 n-r 维向量空间mMC， 是 m-r 维向量空间， D， A，B，C 都不对（3
14、）若 n 阶方阵 A，B 满足， ，则以下命题哪一个成立2A， ， B， ()rBC， ， D， dett ()An（4）若 A 是 n 阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵 为正交矩阵， B，矩阵 - 为正交矩阵1 1C，矩阵 为正交矩阵， D，矩阵 - 为正交矩阵* *_姓名学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线（5）4n 阶行列式 的值为：110A，1， B，-1C， n D，-n 三、解下列各题（共 30 分）1求向量 ，在基 下的坐标。51312310,2设 ，求矩阵 -A102,1AAB 1B3计算行列式3519271864.计算矩阵 列向量组生
15、成的空间的一个基。3409219632A5. 设 计算 det A120012.nabAba四、证明题（10 分）设 是齐次线性方程组 的一个基础解系， 不是线性方程组 的一12,r 0AX0AX个解，求证 线性无关。,21r五、 （8 分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2123131(,)4fxxx六、 （8 分） 取何值时，方程组a有无数多个解？并求通解123506xx七、 （4 分）设矩阵 ， ， + 都是可逆矩阵，证明矩阵 也是可逆矩阵。AB1AB2007 年线性代数 A参考答案一 填空题 每个四分(4) rankArank(A|B) 或者 rankA rank(A
16、|B)(5) cos207sin207ico(6) t= 413i(7) (8) 0二 选择题(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A三 解答题(1) 设向量 在基 下的坐标为 ，则123,123(,)Tx11232(,)x（4 分）31512x（6 分）32x(2) （2 分） 10420102)()(111EABBA则（6 分）(3) 1382408940 2381095)6(3102967201053 （6 分）（4）（4 分）135139902802386470()3,2,)(,6,4)(9,13,)TTTArank一 个 基（6 分） （5）（601212 10
17、2010 00()()1 ni nniin nnii abbabba abb bnaai 原 式分）四证明：12312123 ,()(),()0(),40,() 5rrrr kkkkAkkXk 反 证 ： 假 设 它 们 线 性 相 关 ， 则 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 使 得用 矩 阵 对 上 式 作 用 得又 ， ， 为 方 程 的 一 个 基 础 解 故不 1231231212300607010rr rrrAkkkkkk 是 的 解故所 以由 （ ） 得 （ ）又 ， ， 线 性 无 关五、A= , (2 分 ) | |=01AE22()5)010（5 分）2,P= （7
18、分）12120445224141 + （8 分） 21231(,)fxy2y23y六，证明121212()34054035065665322403aaaABrrrara方 程 组 的 增 广 矩 阵23 2() 4()6306201341 8ankArnkABxaxc 如 果 方 程 有 无 穷 多 个 解 则当 时 原 方 程 有 无 数 个 解 ， 且 原 方 程 等 价 于七 111111111, ()2,()ABEBABABA都 是 可 逆 矩 阵有 可 逆 也 可 逆 -3也 是 可 逆 矩 阵是 可 逆 矩 阵 4诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（B 卷） 2
19、007 线性代数 试卷一、填空题（共 20 分）（1） 设 A 是 矩阵， 是 维列向量，则方程组 有唯一解的充分必要nmBmBAX条件是：（2） 已知可逆矩阵 P 使得 ，则1cosinA1207207()PP（3） 若向量组 =（0，4，t） ，=（2，3，1） ，=（t，2，3）的秩 r 不为 3，则r=（4） 若 A 为 2n+1 阶正交矩阵， 为 A 的伴随矩阵， 则 =* *A（5） 设 A 为 n 阶方阵， 是 的 个特征根，则 = 12,n 21niiEA二、 选择题（共 20 分）（1） 将矩阵 的第 i 列乘 c 相当于对 A：nmAA，左乘一个 m 阶初等矩阵， B，右乘
20、一个 m 阶初等矩阵 C， 左乘一个 n 阶初等矩阵， D，右乘一个 n 阶初等矩阵 （2） 若 A 为 mn 矩阵， 。集合 则()i,rA:0,mMXARA， 是 维向量空间， B， 是 n-r 维向量空间MC， 是 m-r 维向量空间， D， A，B，C 都不对（3）若 n 阶方阵 A，B 满足， ，则以下命题哪一个成立24A， ， B， 2()rBC， ， D， 都不对dett（4）若 A 是 n 阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵 为初等矩阵， B，矩阵 - 为初等矩阵1 1AC，矩阵 为初等矩阵， D，矩阵 - 为初等矩阵* *_姓名学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线
21、 内 不 答 题 )密封线线（5）4n+2 阶行列式 的值为：110A，1， B，-1C， n D，-n 三、解下列各题（共 30 分）1求向量 ，在基 下的坐标。01312310,2设 ，求矩阵 -A102,21AAB 1B3计算行列式3519271864.计算矩阵 列向量组生成的空间的一个基。3409219630A5. 设 计算 det A120012.nabAba四、证明题（10 分）设 是齐次线性方程组 的一个基础解系， 不是线性方程组 的一12,r 0AX0AX个解，求证 线性无关。,r五、 （8 分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2212313(,)fxx六、
22、（8 分） 取何值时，方程组无解？a123506xax七、 （4 分）设矩阵 ， ， + 都是可逆矩阵，证明矩阵 也是可逆矩阵。AB1AB2007 年线性代数 B参考答案三 填空题 每个四分（1） rankA=rank(A|B)=n （2） cos072cos07（3）r=2 （4） 1（5）0二 选择题(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B三 解答题(1) 设向量 在基 下的坐标为 ，则123,123(,)Tx11232(,)x（4 分）130（6 分）2x(2) （2 分）11()02140()ABE则14BA（6 分）(3) 1382408940 2381095)6(
23、3102967201053 （6 分）（4）（4 分）13513409134090282867()3,2,)(4,6,)(9,103,)TTTArank一 个 基（6 分） （5）（601212 10 2010 00()()1 ni nniin nnii abbabba abb bnaai 原 式分）四 证明：1231212 ,0(1)3(, 4,056rrrr kkkkAXkA 反 证 ： 假 设 它 们 线 性 相 关 ， 则 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 使 得用 矩 阵 对 上 式 作 用 得又 ， ， 为 方 程 的 一 个 基 础 解 故不 是 的 解故所 以 由 121
24、2307010rrkkkk （ ） 得又 ， ， 线 性 无 关五、A= , (2 分) | |=10AE1()2001（5 分）1,02P= （7 分）0212 （8 分） 1231(,)fxy3六，证明121212()34054035065665322403aaaABrrrara方 程 组 的 增 广 矩 阵23 2() 4()6306201341 8ankArnkABxaxc 如 果 方 程 有 无 穷 多 个 解 则当 时 原 方 程 有 无 数 个 解 ， 且 原 方 程 等 价 于七 111111111, ()2,()ABEBABABA都 是 可 逆 矩 阵有 可 逆 也 可 逆
25、-3也 是 可 逆 矩 阵是 可 逆 矩 阵 4诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（A 卷） 2007 线性代数-1 试卷一、填空题（共 20 分）1设行列式 ，则方程 的所有解是：72981643)(32xxD0)(xD2已知矩阵 ，则矩阵 分别等于：11A201,A3设 是 n 阶对称方阵 的 个特征值， 是对应的特征向量，若,.21 Ann,.21，则向量 的夹角是：21,4若方程组 有解，则 的值等于：51544332211axax 54321aa5若矩阵 是 n 阶实矩阵，且 ，这里 为零矩阵，则矩阵 的所有特征值为：AOATA二、选择题（共 20 分）6若矩阵
26、和 都是 n 阶正定矩阵，若 n 是任意自然数，则ABA， ， B，3)5(rank 5)3(BArak_ _C， ， D， 不能确定nBArank)53( )53(BArank7设有齐次线性方程组 AX=0 和 BX=0，其中 A，B 为 矩阵，现有四个命题nm（1）若 AX=0 的解均是 BX=0 的解，则 )()(rakrn（2）若 ，则 AX=0 的解均是 BX=0 的解)()(BrankAr（3）若 AX=0 与 BX=0 同解，则 )()(BrankAr（4）若 ，则 AX=0 与 BX=0 同解)()(rankr以上命题中正确的是A， （1） （2） ， B， （1） （3）C，
27、 （2） （4） ， D， （3） （4）8若 A，B 是任意 n 阶方阵，则以下等式中一定成立的是：A， B，22)( 11)(AC， ， D，dettdet*9若 n 阶方阵 ，满足 ，则有,ABCnABIA， ， B， nDI nCIC， ， D， 10 若 A 是 n 阶方阵，则 A 是 n 阶正交方阵的充分必要条件不是C， A 的列向量构成 的单位正交基 B，R1)det(AC， A 的行向量构成 的单位正交基 D，n T1三、解下列各题（共 30 分）1求向量 ，在基 下的坐标。4211,0,1322设 A 是三阶方阵且 ，求 的值21A*12)3(A3计算行列式 0.0xx4. 设向量组 。)0,12(),74,31(),65,14(),312,( 421 求向量组的一个最大无关组。5. 设 ，计算321A10A四、证明题（8 分）设向量 线性无关，求证：向量 线性无关。123,1231,5,4。五、 （8 分）用正交变换 化下列二次型为标准型，写出正交变换 和对角形PP2213314()xx六、 （8 分）求方程组的一个基础解系08105432315431xx
