1、线性代数(文)综合复习资料一、填空题1排列 315426 的逆序数为 。2. 行列式 。123D3若 A= ，则矩阵 A 的 k 次幂 。01k4若向量组 线性无关，则向量组 ,是线32,1321,性 的。5 。172306设 。D则,017设 。1),0 AbcadcbA则（ 其 中8已知齐次线性方程组 有非零解，则 。123340xx9已知 ， ， 20,4,32。10设向量 一定213212121 3, ，线 性 无 关 ， 则是线性 关的。11在六阶行列式 应带 号。263514det(),ijDaa与12若 则 。102xc,13矩阵 的标准形是 。132AI 14设 阶矩阵 ，满足
2、方程 ，则 。n230AE1A15 。1234x16.排列 542163 的逆序数为 。17 。12456789D18. 设 ,则 。01A2A 19若向量组 线性相关，则123(,)(1,),(1,)t 。t二、单项选择题1.下列排列中是奇排列的是( ).A) 4321; B) 1234 ; C) 2314; D) 4123.2. 矩阵 的秩等于( ).123450A）0； B）1； C）2； D）3。3.若向量组 线性相关，则 （ (,)(1,),(1,)tt） ；A ) 4； B ) 5； C ) 2； D ) 前面选项都不对4. 设 A，B 都是 n 阶方阵，若 （ 为 n 阶零矩阵）
3、 ，则必有( )。AOA ) 或 ； B ) 或 ；O0BC ) ； D) A5关于向量 ,下述说法不正确的是（ 1234110,0）.A） 线性无关； B） 线性无关； 12,13,C） 线性无关； D） 线性无关.4 26. 若 A 是 4 阶方阵， ，则 （ ） ；2AA）4； B）8； C）16； D）32。7.若 ,则必有 ( ).120kA) ; B) ;3kC) 或 ; D) 且 .k318向量组 线性相关，则（ ） 。122m,()A）任一向量均可由其余向量线性表示；B） 可由其余向量线性表示；mC） 一定是线性相关的；123,D）向量组中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
4、9若排列 6 i 4 3 j 1 为偶排列，则 （ ） 。 A) i =2 ，j =5; B) i =5 ，j =2; C) i =j =2; D) i =j =5.10. 设 均为 n 阶方阵,且 ,但 ,则必有( ).,AB0ABA） ； B） 可逆； |0C） ； D） 有非零解 .0Ax三、计算证明题1用初等变换法求矩阵 的逆矩阵。1023A2.设 ，计算 。32,1ABBA与3计算行列式 。 340827D4.设 。 112340A,A与5已知 A，B 为 n 阶正交矩阵，求证 。BAT)(6若 ，且 ，证明 | |=0。2EA7若 A,B 皆为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，证
5、明：若 A 与 B 相似，则 A+E 与 B+E也相似。四、 设 A， B， C 为同阶方阵，且 A 可逆，B 不为零矩阵（1）证明：若 AC=O，则 C=O； （2） 举例说明若 BC=O，不一定有 C= O 。五、设有向量组 ，123024,1（1）求此向量组的秩，并求一个最大无关组，（2）将其余向量用这个最大无关组线性表示。六、求下列非齐次线性方程组的一般解及对应的齐次线性方程组的基础解系：。1234 515xx七、设有向量组 ，证明: 向量组 ， ， 线性相关。123,1231八、向量组 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量()m可由其余 m-1 个向量线性表示。九、求齐次线
6、性方程组 的一个基础解系及一般解。123470xx十、已知向量组 线性无关， ， ,123,1212,求证向量组 线性无关。33,十一、用消元法解下列线性方程组： 。12341234102xx十二、求一个正交矩阵 ，使 为对角阵，其中 = 。PA1A1203参考答案：一、填空题15；2. 0; 3. ; 4.无关; 5. ; 10k3564960；7. ; 8. 4; 9. ；10. 相; dbcaa8,3 ,11-； 12. 1 或 2; 13. ; 14. ; 15. ;101(2)3AE1234x169； 17. 0; 18. ; 19. 5;10二、单项选择题1.D; 2. C; 3.
7、B; 4B; 5. D; 6D; 7. C; 8. D; 9. A; 10. D;三、计算证明题1用初等变换法求矩阵 的逆矩阵。1023A解 。135012A2.设 ，计算 。3,13BAB与解： ，692413A10.3计算行列式 。 解 。1340827D90D4.设 。 解： 112340A,A与121005已知 A，B 为 n 阶正交矩阵，求证 。BAT)(证： ()TTBA6若 ，且 ，证明 | |=0。2E证：（反证）若 则 存在，在 两边同乘以 ，得 ，矛盾。|0,121E7若 A,B 皆为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，证明：若 A 与 B 相似，则 A+E 与 B+E也相
8、似。证：由 ，可得 。1PAB1()PAE四、 设 A， B， C 为同阶方阵，且 A 可逆，B 不为零矩阵（1）证明：若 AC=O，则 C=O； （2） 举例说明若 BC=O，不一定有 C= O 。证（1）：因为 A 可逆，由 。10,0,与解（2）: 设 ,则有 。,1B,B但五、设有向量组 ，123024,1（1）求此向量组的秩，并求一个最大无关组，（2）将其余向量用这个最大无关组线性表示。解：向量组的秩为 2， 为一个极大无关组，且 。12与 312六、求下列非齐次线性方程组的一般解及对应的齐次线性方程组的基础解系：。1234 515xx解：通解为 ，齐次方程组的基础解系为 。1234
9、813 ()02xCR 10七、设有向量组 ，证明: 向量组 ， ，123,1231线性相关。证：设有 122331()()()0kkk可推出 ，从而知 ， ， 线性相关。30231（注：也可由 立即知）11()()八、向量组 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量12,2m可由其余 m-1 个向量线性表示。证：必要性 设 线性相关，即有一组不全为零的数12,m 12,mk使 ，0kk不妨设 ，则有0m112()()(),mmmkkk即 可由其余向量线性表示。m充分性 设向量组中有一个向量（譬如 ）可由其余的向量线性表示，m即有 121,m故 ()0,mm因 这 m 个数不全为零，故 线性相关。12,() 12,九、求齐次线性方程组 的一个基础解系及一般解。123470xx解 基础解系为 ，一般解为 02102,().1xkR十、已知向量组 线性无关， ， ,123,1212,求证向量组 线性无关。33,解：设有 ，可推得 ，所以向量组 线123kkO1230k123,性无关。十一、用消元法解下列线性方程组： 。12341234102xx解：全部解为 ， （其中 ）1201xk12,kR十二、求一个正交矩阵 ，使 为对角阵，其中 = 。PA1A023解：特征值为 ，123,5正交矩阵为 ，且 。123213123Pp125PA
