1、用导数法求函数的最值的练习题解析一、选择题1函数 y f(x)在区间a，b上的最大值是 M，最小值是 m，若M m，则 f( x)( )A等于 0 B大于 0C小于 0 D以上都有可能答案 A解析 Mm， yf(x)是常数函数f(x) 0，故应选 A.2设 f(x) x4 x3 x2 在 1,1上的最小值为 ( )14 13 12A0 B2 C1 D.1312答案 A解析 y x 3x 2x x(x 2x 1)令 y0，解得 x0.f( 1) ，f(0) 0 ，f(1)512 1312f(x)在1,1上最小值为 0.故应选 A.3函数 y x3x 2x1 在区间2,1 上的最小值为( )A.
2、B2 2227C1 D4答案 C解析 y 3x 22x1(3x 1)(x1)令 y0 解得 x 或 x113当 x2 时， y1 ；当 x1 时，y2 ；当 x 时， y ；当 x1 时，y2.13 2227所以函数的最小值为1，故应选 C.4函数 f(x)x 2x 1 在区间3,0 上的最值为( )A最大值为 13，最小值为34B最大值为 1，最小值为 4C最大值为 13，最小值为 1D最大值为1，最小值为7答案 A解析 yx 2x 1，y 2x1，令 y0， x ，f (3)13，f ， f(0)1.12 (12) 345函数 y 在(0,1)上的最大值为( )x 1 xA. B1 2C
3、0 D不存在答案 A解析 y 12x 121 x 12 1 x xx1 x由 y0 得 x ，在 上 y0，在 上12 (0，12) (12，1)y0 得函数的增区间是( ，2)和(2， )，由 y0 得 x ，由 y 时，函数为增函数，当32 322x 时，函数为减函数，所以无最大值，又因为 f(2) 57，f3228 ，所以最小值为28 .(32) 34 3413若函数 f(x) (a0)在1，)上的最大值为 ，则 axx2 a 33的值为_答案 13解析 f (x) x2 a 2x2(x2 a)2 a x2(x2 a)2令 f(x) 0，解得 x 或 x (舍去)a a当 x 时，f(x
4、)0 ；a a当 x 时， f(x) ， 0 得 x2 或 x0；32当1 时，f(x)0，12所以 f(x)在 上的最小值为 34，14f ln2 .( 12) 14又 f f ln ln ln ln21 且 x0 时，e xx22ax 1.分析 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明解析 (1)解：由 f(x)e x2x 2a，xR 知 f(x)e x2，x R.令 f(x) 0，得 xln2.于
5、是当 x 变化时，f ( x)，f (x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x ) 0 f(x)单调递减2(1ln2a)单调递增故 f(x)的单调递减区间是 (，ln2)，单调递增区间是(ln2， )，f(x)在 xln2 处取得极小值，极小值为 f(ln2)e ln22ln2 2a2(1 ln2a) (2)证明：设 g(x)e xx 22ax 1，xR，于是 g(x )e x2x 2a，x R.由(1)知当 aln21 时， g(x)最小值为 g(ln2)2(1 ln2 a)0.于是对任意 xR，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln21 时，
6、对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，g(x)0.即 exx 2 2ax10 ，故 exx22ax 1.18已知函数 f(x) ，x0,1 4x2 72 x(1)求 f(x)的单调区间和值域；(2)设 a1，函数 g(x)x 33a 2x2a，x0,1若对于任意x10,1 ，总存在 x00,1，使得 g(x0)f( x1)成立，求 a 的取值范围解析 (1)对函数 f(x)求导，得f(x) 4x2 16x 7(2 x)2 (2x 1)(2x 7)(2 x)2令 f(x) 0 解得 x 或 x .12 72当 x 变化时， f(x )，f(x)的变化情
7、况如下表：x 0 (0， )12 12 ( ，1)12 1f(x ) 0 f(x) 72 4 3所以，当 x(0， )时，f(x)是减函数；12当 x 时，f(x)是增函数(12，1)当 x0,1时，f( x)的值域为4，3 (2)g (x)3(x 2a 2)因为 a1，当 x(0,1)时，g(x)0.因此当 x (0,1)时，g(x)为减函数，从而当 x0,1时有 g(x)g(1)，g(0)又 g(1)1 2a3a 2，g(0) 2a，即 x0,1时有 g(x)1 2a 3a2，2a任给 x10,1，f( x1)4，3 ，存在 x00,1使得 g(x0)f (x1)成立，则1 2a3a 2，2a 4，3即Error!解式得 a1 或 a ；解式得 a .53 32又 a1，故 a 的取值范围为 1a .32
