1、1排列组合及二项式定理【基本知识点】1.分类计数和分步计数原理的概念2排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相nmn同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆3排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示 奎 屯王 新 敞新 疆nmnA4排列数公式： （ ）(1)2(1)nA ,Nmn5.阶乘： 表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘 奎 屯王 新 敞新 疆 规定 ! 0!16排列数的另一个计算公式： = 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王
2、新 敞新 疆mn!()7.组合概念：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中nn取出 个元素的一个组合 奎 屯王 新 敞新 疆m8组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 nn个不同元素中取出 个元素的组合数用符号 表示mC9.组合数公式： 或(1)2(1)!mnAC )!(n 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆),(Nn且10.组合数的性质 1： 规定： ；mn10nC11.组合数的性质 2： + 奎 屯王 新 敞新 疆 Cn0+Cn1+Cnn=2nnC1n12.二项式展开公式：(a+b) n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-
3、kbk+Cnnbn13二项式系数的性质：展开式的二项式系数是 ， ， ， 可以看成以 为自变量的函()nabn2nnrr数 ，定义域是 ，fr0,12,（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ ） mnC（2）增减性与最大值：当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两n2n项 ， 取得最大值1nC2（3）各二项式系数和： ，(1)nrnnnxCx 2令 ，则 奎 屯王 新 敞新 疆 1x0122n rnnnCC 【常见考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过
4、“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数（1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1） （2） （3）二相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.高考资源网 （4） 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的,ABCDE,ABA排法种数有 【解析】：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于
5、 4 人的全排列，,种42A（5）3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，种高考资源网 2234CA=其中男生甲站两端的有 ，符合条件的排法故共有 288 1223AC=4三相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解
6、析】：除甲乙外，其余 5 个排列数为 种，再用甲乙去插 6 个空位有 种，不同的5A26A3排法种数是 种52630A（7） 书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 1789=504（8）马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种.35C四元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，
7、可先排这个或几个元素；再排其它的元素。（9）2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） 高考资源网 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。 23A6方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法 4312C；若小张、小赵都入选，则有选法 123A，共有选法 36 种，选 A. （10）1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有
8、不同的排法有多少种？【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有 种，4 名同学在其余 4 个位置上有13A种方法；所以共有 种。.4A14372A五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高考资源网 （11） 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种4（12）把 15 人分成前后三排，每排 5 人，不同的排法种数为（A） （B） （C） （D） 5103105A153510A（13）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1个元素排在
9、后排，有多少种不同排法？【解析】 ：（ 1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共 种，选 .高考资源网 6720AC（2）答案：C（3）看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 种，某 1 个元素排在后24A半段的四个位置中选一个有 种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有 种，故共有14A5种排法.1254760A六定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.（14） 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）,BCDEBA,B那么不同的排法种数是（ ）高考资源网 【解析】 ：
10、 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元A素全排列数的一半，即 种51602（15）书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有多少种不同的插法？高考资源网 【解析】 ：法一： 法二：39A961A七标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.（16） 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种高考资源网 【解析】 ：先把
11、1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填5入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选 .B（17）编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种 答案：B八不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法（18）有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高考资源网 （1） 分成 1 本、2 本、3 本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人
12、 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；（3） 分成每组都是 2 本的三个组；（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本；（5） 分给 5 人每人至少 1 本。【解析】 ：（1） （2） （3） （4） 3256C2516AC326C246（5）2554321CA（19） 四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，再排：在四个盒中24C每次排 3 个有 种，故共有 种.34A2341CA九相同元素的分配问题隔板法：（20）把 20 个相同的球全放入编号分别为 1，2，3 的三个盒子中，要求每个
13、盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向 1，2，3 号三个盒子中分别放入 0，1，2 个球后还余下 17 个球，然后再把这17个球分成 3 份，每份至少一球，运用隔板法，共有 种。高考资源网 016C（21）10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？6【解析】：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种.高考6984C十排数问题（注意数字“0” ）高考资源网 （2
14、2）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种【解析】 ：按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有 个，5A个，合并总计 300 个,选 .13131342,AB十一染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;高考资源网 （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。（23）将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，SABCD如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色
15、方法的总数是_.【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、B、C、D 四点，此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色，故有 种方法。125460CA(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与 B，由于 A、B 颜色可以交换，故有 种染法；再从余下的两种颜色24中任选一种染 D 或 C，而 D 与 C，而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。12540(3)若恰用五种颜色染色，有 种染色法高考资源网 5120综
16、上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 【答案】420.十二 几何中的排列组合问题:（24）已知直线 （ 是非零常数）与圆 有公共点，且公共点的1xyab， 210xy横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 【解析】： 圆上的整点有： 12 个(,8) (,)(,)其中关于原点对称的有 4 条 不满则条件 切线有 ，21C=6 12C=7其中平行于坐标轴的有 14 条 不满则条件 66-4+12-14=60 答案:60【练习】1、 4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有（A）12 种 （B）24 种 （C
17、）30 种 （D）36 种【解析】分两类：取出的 1 本画册，3 本集邮册，此时赠送方法有 种；取出的 2 本14C画册，2 本集邮册，此时赠送方法有 种。总的赠送方法有 种。 【答案】B24602、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）A20 B15 C12 D10【解析】先从 5 个侧面中任意选一个侧面有 种选法，再从这个侧面的 4 个顶点中任意选15一个顶点有 种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对14C角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共 8 个点，还剩下 2 个点，把这个
18、点和剩下的两个点连线有 种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一12次，所以最后还要乘以 所以这个正五棱柱对角线的条数共有 ,所, 201145C以选择 A.3、 的展开式中的常数项是 6(42)(xR（A） （B） （C） （D）01520【答案】C【解析】： 令 ，于6(123)1 6()4(2)rxrxrrxrrT()0r4是展开式中的常数项是 故选 C6154、已知 的展开式中 的系数与 的展开式中 的系数相等，则5)1cos(x2x4)5(x3xs8【答案】 解： 的通项为 ， ，24)5(xrrxC)45(4 1,3r 的展开式中 的系数是 ,4)5(x314的通项为
19、 ， ，51cosRRx55)cos(3,2R 的展开式中 的系数是 ，5)(x2 ,5cs35C21cos.2cos5、已知 （ 是正整数）的展开式中， 的系数小于 120，则 6(1)kx8xk【解析】 按二项式定理展开的通项为 ，我们知道 的2 22166()rrrrTCkx8x系数为 ，即 ，也即 ，而 是正整数，故 只能取 1。4465Ck4120k48kk6、 若 ， 则 的 值 为 1231C35nnnn答案 47、已知 432104)21( xaxax，则 4321a= -8 8、对任意的实数 ，有 3 2013()()()，则 2的值是（ B ）A3 B6 C9 D219、设
20、 na,21 是 ,2, 的一个排列，把排在 ia的左边且比 ia小的数的个数称为 ia的顺序数（ i） 如：在排列 6，4 ， 5， 3，2，1 中，5 的顺序数为1， 3 的顺序数为 0则在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中，同时满足 8 的顺序数为2， 7 的顺序数为 3，5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( C )A48 B96 C144 D19210、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数” 现从1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有A.120 个 B.80 个 C.40 个 D. 20 个【答案
21、】C11、现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用9同一种颜色，则不同的着色方法共有A24 种 B30 种 C36 种 D48 种【答案】D12、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）A24 B30 C36 D42 【答案】C13.从 8 名女生 4 名男生中，选出 3 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ;【答案】11214、现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.（A
22、） （B） （C） （D）536 368A35468A误解：除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排，有 种排法，5 人排好后产生 6 个空档，插入甲、乙、丙三人有 种方法，这样共有 种排法，选 A.3636错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即 ，故选 B.368A15、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班
23、去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.（A）16 种 （B ）18 种 （C）37 种 （D）48 种误解：甲工厂先派一个班去，有 3 种选派方法，剩下的 2 个班均有 4 种选择，这样共有 种方案.483错因分析：显然这里有重复计算.如： 班先派去了甲工厂， 班选择时也去了甲工厂，ab10这与 班先派去了甲工厂， 班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作ba了不一样的情况，并且这种重复很难排除.正解：用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即： 种方案.734排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合” ，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好.
