1、排列、组合、二项式定理 知识结构网络图: 排列与组合 二项式定理 基本原理 排列 组合 排列数公式 组合数公式 组合数的两个性质 二项式定理 二项式系数的性质 基础练习 名称内容 加法原理 乘法原理 定 义 相同点 不同点 两个原理的区别与联系: 做一件事或完成一项工作的方法数 直接( 分类 )完成 间接( 分步骤 )完成 做一件事,完成它可以有 n类办法, 第一类办法中有 m1种不同的方法, 第二类办法中有 m2种不同的方法 , 第 n类办法中有 mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+m n 种不同的方法 做一件事,完成它可以有 n个步骤, 做第一步中有 m1种不同的
2、方法, 做第二步中有 m2种不同的方法 , 做第 n步中有 mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m1m 2m 3m n 种不同的方法 . 两个基本原理补充 抽屉原理 2、 把 n个不同物体放入 m个抽屉里的放入方法有 mn种 例、 集合 A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4,从 A、 B中各取一个元素作为点 P(x,y)的坐标,可以得到多少个不同的点? 这些点中,位于第一象限的有几个? 3 4+4 3=24 2 2+2 2=8 3 3 3 3=81 1、 把 n个不同物体放入 m(mn) 个抽屉里 ,至少有一个抽屉里要放两物体 1.排列和组合的区别和联系: 名 称 排 列 组 合
3、一个 数 符号 种数 公式 关系 性质 , mnA mnC( 1 ) ( 1 )mnA n n n m !( ) !mnnAnm ! 0 ! 1nnAn!)1()1(mmnnnC mn)!(!mnmnC mn 10 nCm m mn n mA C Amnnmn CC 11 mnmnmn CCC从 n个不同元素中取出 m个元 素, 按一定的顺序 排成一列 从 n个不同元素中取出 m个元 素, 把它并成 一组 所有排列的的个数 所有组合的个数 全排列 : n个不同元素全部取出的一个排列 .全排列数公式 :所 有全排列的个数,即: nnA ( 1 ) ( 2 ) 2 1nnA n n n 这个公式表
4、示的定理叫做二项式定理,公式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 , 其中 ( r=0,1,2,n )叫做 , 叫做二项展开式的 通项 ,用 Tr+1 表示,该项是指展开式的第 项,展开式共有_个项 . rnC展开式 二项式系数rrnrn baCr+1 n+1 nnnrrnrn1n1nn0nn bCbaCbaCaC)ba( 二项式定理 )( Nn1r n r rr nabCT ( 1) 二项式系数的三个性质 : ( 2) 数学思想: 函数思想。 各二项式系数的和增减性与最大值对称性二项式系数之和 : 最 值 : ( 3) 数学方法 : 赋值法 、递推法 21 nk当 时,二项式系数是逐渐增大的
5、, 由对称性知 , 它的后半部是逐渐减小的。 2nnC当 n是 偶数 时, 中间的一项 取得 最大 时 ; 21nnC21nnC当 n是 奇数 时, 中间的两项 , 相等, 且 同时 取得 最大 值。 增减性 : n 2 (由赋值法求得 ) 二项式系数性质 1.书架上层放有 6本不同的数学书,下层放有 5本不同的语文书, 从中任取一本,有多少中不同的取法? 从中任取数学书与语文书各取一本,有多少种不同的取法? 基础练习 6+5=11 6 5=30 2.某段铁路上有 12个车站,共需准备多少种普通客票? 3.某段铁路上有 12个车站,问有多少种不同的票价? 4.用 3, 5, 7, 9四个数字,
6、一共可组成多少个没有重复数字的正整数 212A212C1 2 3 44 4 4 4A A A A 5、已知圆上有 12个不同的点,过每两个点作一条直线,那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为( ) 212.CA412.CB 266212. CCD 266.CCB 基础练习 6. 15 人按照下列要求分配,求不同的分法种数。 (1)分为三组,每组 5人 ,共有 _ 种不同的分法。 ( 2)分为甲、乙、丙三组,一组 7人,另两组各 4人,共有_种不同的分法。 ( 3)分为甲、乙、丙三组,一组 6人,一组 5人,一组 4人,共有 _种不同的分法。 7. 8名同学选出 4名站成一排照相,其中甲、乙两人
7、都 不站中间两位的排法有 _种。 8. 某班有 27名男生 13女生,要各选 3人组成班委会和团支部每队 3人, 3人中 2男 1女,共有 _ 种不同的选法。 3355510515 / ACCC22334448715 / AACCC334459615 ACCC222226331237124446 AACAACCAC 221224213427 ACCCC基础练习 8. 4名优等生被保送到 3所学校,每 所学校至少 得 1名,则不同的保送方案总数为( )。 ( A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 9.若把英语单词“ error”中字母的拼写顺序写错了,则可能 出现的错误的种数是(
8、) ( A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 10.小于 50000且含有两个 5,而其它数字不重复的五位数 有( )个。 ( A) (B) (C) (D) 282414 CCC282414 ACC 442814 ACC282414 AAAA B B 2343CA3252C1A 基础练习 例 1: 1993年全国高考题:同室 4人各写 1张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿 1张别人送出的贺年卡,则 4张贺年卡不同的分配方式有( ) A 6种 B 9种 C 11种 D 23种 解法 1: 设四人 A, B, C, D写的贺年卡分别是 a, b, c, d,当 A拿贺年卡 b,
9、则 B可拿 a, c, d中的任何一个,即 B拿 a,C拿 d, D拿 c或 B拿 c, D拿 a, C拿 d或 B拿 d, C拿 a, D拿 c,所以 A拿 b时有三种不同分配方法同理, A拿 c , d时也各有三种不同的分配方式由分类计数原理,四张贺年卡共有 3 3 3=9种分配方式 解法 2: 让四人 A, B, C, D依次拿一张别人送出的贺年卡如果 A先拿有 3种,此时写被 A拿走的那张贺年卡的人也有 3种不同的取法接下来,剩下的两个人都各只有一种取法由分步计数原理,四张贺年卡不同的分配方式有3 3 1 1=9种 应选 B 例 2.7名师生站成一排照相留念 , 其中老师 1人 , 男
10、生 4人 , 女生 2人 , 在下列情况下 , 各自不同站法多少种 ? (1).两名女生必须相邻而站 . (2).4名男生互不相邻 . (3).老师不站中间 , 女生不站两端 . (4).女生甲不站左端 , 女生乙不站右端 . A66A 22 =1440(捆绑法 ) A33A 44 =144(插空法) ( 3) A77 A55 A22 A66 +A44 =4104(间接法) ( 4) A77 A66 A66 +A55 =3720(间接法) 例 4 某艺术组有 9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中 7人会钢琴, 3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法? 解: 由题
11、意可知,在艺术组 9人中,有且仅有一人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”),只会钢琴的有 6人,只会小号的有 2人,把会钢琴、小号各 1人的选法分为两类: 第一类: 多面手入选,另一人只需从其他 8人中任选一个,故这类选法共有 8种 第二类: 多面手不入选,则会钢琴者只能从 6个只会钢琴的人中选出,会小号的 1人也只能从只会小号的 2人中选出,放这类选法共有 6 212种,因此有 8+6 2=20种 故共有 20种不同的选法 注意:像本题中的“多面手”可称为特殊“对象”,本题解法中按特殊“对象”进行“两分法分类”是常用的方法 解: 设 展开式各项系数和为 1 注意:求展开式中各项系数和常用
12、赋值法:令二项式中的字母为 1 naaaa 210 上式是恒等式,所以当且仅当 x=1时, (2-1)n= naaaa 210 = ( 2-1) n=1 naaaa 210nnnn axaxax )1(21202 )12(例 5. 的展开式的各项系数和为 _ nx )12( 2 例题讲解 20( 2 3 )6 ,x 在 的 展 开 式 中 求 其 项 的 最 大 系 数与 最 大 二 项 式例系 数 的 比解 : 设 项是系数最大的项 ,则 1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC 6.126.11 r项系数最大的项是第 13128122
13、0 32C即二项式系数最大的项为第 11项 ,即 1020C所以它们的比是 13710201281220 3211532 CC例题讲解 1 1 2 1237 2nnn n n nC C C n C n 证例 求分析 :本题的左边是一个数列但不能直接求和 .因为 由此分析求解 rnnrnnnnnnn CCCCCC 110 ,0 1 1 3 10 2 3 ): (1 nnn n n n n n nS C C C C n C n C 设解nnnnnnnn CCCnCnnCS 0)2()1( 1210 两式相加 )(2 1210 nnnnnnnn CCCCCnS nn 212 nn nS例题讲解 巩固
14、练习 一选择题 a8)(xax 1(04福建 )已知 展开式的常数项是 1120, 其中实数 是常数 ,则展开式中各项系数的和 是 ( ) 82A3B或C或DC nxx )12( 2 若 展开式中含 项的系数与含 项的 系数之比为 -5,则 n等于 ( ) 21x 41xA 4 B 6 C 8 D 10 B 82A 83B831或C 821或D3 被 4除所得的系数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 992 3331 A 632 )(1)(1)(1)(1)05(1 xxxx 湖南展开式中 的系数是 _ 2x2 被 22除所得的余数为 。 200020011 35 3 已知 展开式中的 系数是 56,则实数 的值是 _ 26 )1()1( axx 3xa 1 6或 二填空题 4.设 二项式展开式的各项系数的和为 P; 二项式系数的和为 S, 且 P+S=272, 则展开式 的常数项为 _ nxx )13( 3 108