平面向量的坐标表示.doc

1、1第 7 章 平面向量的坐标表示 1.理解向量的有关概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意方向；0（3）单位向量：给定一个非零向量 ，与 同向且长度为 1 的向量叫 的单位向量, 的单位向量是 ；aaaa（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作： ，规定零向量和任何向量平行；ab（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量， 的相反向量是长度相等方向相反的向量 .a a2.向量的表示方法

2、（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；AB（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；bc（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，xyij则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， 叫做向量 的坐标ajyix,a),(yxa表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3实数与向量的积：提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！

3、（因为有 )；0三点 共线 共线；CBA、 、2【提醒】（1）若 则 为锐角或者 角若 则 为钝角或者 角.0ab0ab（2）| | 可以用来证明 .A（3）非零向量 ， 夹角 的计算公式： .bacos(4)| | .ba实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：aa（1） ；（2）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，00a0零向量，注意： .4平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，过 O 点作 ， ，则 AOB (0180) abAaBb叫做向量 与 的夹角当 0时， 与 同向；当 180时， 与 反向；如果

4、 与 的夹角是ab a90，我们说 与 垂直，记作 ab（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则数量 叫做abcosab与 的数量积（或内积） ，记作 ，即 规定零向量与任一向量的数量积为 0若ababcos，则 12(,)(,)xy12xy（3）向量的数量积的几何意义：叫做向量 在 方向上的投影 ( 是向量 与 的夹角)cosbbaab的几何意义是，数量 等于模 与 在 上的投影的积a （4）向量数量积的性质：设 与 都是非零向量， 是单位向量， 是 与 的夹角abeab当 与 同向时， ；当 与 反向时， - ,abab ; | | cosabba（5）向量

5、数量积的运算律：3 ； abcabababcbc5. 平面向量的基本定理：如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 ，1e2 a有且只有一对实数 、 ，使 = ， 、 称为一组基底.122e126向量的运算：（1）几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向量 叫做 与 的和，即,ABaCbACab；abABC向量的减法：用“三角形法则”：设 ，那么 由减向量的终点,ABaCbaABC指向被减向量的终点.容易得出： abb（2）坐标运算：设 ，则：12(,)(,)xy 向

6、量的加减法运算： ；12,xy 实数与向量的积： ；1,a 若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向12(,)(,)AxyB21,A线段的终点坐标减去起点坐标； 平面向量数量积： = ； 向量的模： ；b12xy222|,|axyaxy7向量的运算律：（1）交换律： ， ， = ；a)(b( 2 ) 结合律： ， ；cbc)()( )(ca（3）分配律： ， ， .)(cbab8. 向量平行(共线)的充要条件：(1) 向量 与非零向量 共线的充要条件是 ；实数 是唯一存在的，baba当 与 同向时， ；当 与 异向时， ； a00(2) 若 , ，则1xy2,bxy/12xy22)(

7、)(ba提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到 （据此，可根据需1231.nn要在一个向量的两个端点之间任意插点）4向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，特别地，abab当 同向或有 ； 、 0ab当 反向或有 ； ab、 ab当 不共线 (这些和实数比较类似 ). 、 ab（3）在 中，若 ，则其重心的坐标为ABC123,xyBCxy.123123,xyG 为 的重心，PPGA特别地 为 的重心；0ABCBC 为 的垂心；向量 所在直线过 的内心 (是 的角平 BAC分线

8、所在直线)； 是 的外心；OABCOAB（4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得P、 、 C、 、 、且 .19向量垂直的充要条件： =ba0ab120xy7.1 向量的坐标 表示及其运算 5例题精讲 【例 1】已知 分别是 和 的重心， 是 的中点，若 A,B,C,D 的坐标分别是12,GABCDG120,，求点 的坐标25,70,【例 2】已知点 O（0，0） ， A（1，2） ，B（4，5）及 = +t ，OPAB求：（1）t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限?（ 2） 四 边 形 OABP 能 否 构 成 平 行 四 边 形 ？ 若 能 ， 求 出 相 应

9、 的 t 值 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 过关演练 1已知 ， ，若 ，则 的值分别为 _)2,(xA)2,5(yB(4,6)AByx,2已知向量 ， ，若 ，则 _7a,(xbba3已知平行四边形 的顶点 、 、 ，则顶点 的坐标为_CD)21)1,3()6,5(CD4若向量 ， ，则向量 的坐标是 _)2,3(),0(5若 ， ，且 ，则 等于_a4ybba/y6若 为 的重心，则下列各向量中与 共线的是（ ）MABCABA B MCC D7在矩形 中， ， ，则向量 的长度等于（ ）D3A1ABDA B C D 223468在 中， 、 、 分别为边 、 、 的中点，已知 点

10、坐标为 ， 点坐标为ABCDEFABCD)2,1(E， 点坐标为 ，则点 坐标为_ )5,3(F)7,2(9已知 ， ，当 与 共线时， 的值为_,1a,xbba2x10当 _时，向量 与 共线且方向相同；当 _时， 与 共m)1,(m)6,2(mab线且方向相反 11若三点 ， ， 共线，则 _ )1,(A)4,2B)9,(xCx12设 ， ， ，用 、 作基底有 ，则,a,b2,3cabbqapc_， _ pq13已知点 在向量 所在的直线上，则 所满足的条件是_ ),(yxM(1,)OPyx,14.已知 ,12436P(1)若点 在线段 上,且 则点 的坐标是 ;112(2)若点 在线段

11、 的延长线上,且 则点 的坐标是 ;2124PP(3)若点 在线段 的延长线上, 则点 的坐标是 ;P21125(4)若点 在线段 的延长线上, , 则点 的坐标是 .14PP15下列四个命题：若 ，则 或 ； 若 为单位向量，则 ；0ab0beae；若 与 共线， 与 共线，则 与 共线其中错误命题的序号是_3acac16已知 、 、 ，且 ，则当 _时，点 落在 轴上 )0,(O)2,1(A)5,4(BOPAtBtPx17已知 ， 是两个非零向量，则“ ， 不共线”是“ ”的_ababab18下列四个命题中是真命题的有_个若 与 是共线向量，则 与 也是共线向量若 ，则 与 是共线向量|b

12、a若 ，则 与 是共线向量|7若 ，则 与任何向量都共线|ba19.在 中 ,设向量 ，则 的面积 = ,ABC,ACBAABCS的周长 = . 20.对 个向量 ，如果存在不全为零的实数 使得 ，则称n12,.na12,nk 12.0nkaka性相关.若已知 ， ， 是线性相关的，则12,a1,23,a37a=_.3:k21. 在四边形 中， ， ，则四边形 的面积是ABCD1,3BACBDABC_.7.2 向量的数量积例题精讲 【例 1】设 O 是直角坐标原点， ，在 轴上求一点 P，使 最小，并求jiOBjiA4,32xBA此时 的大小.APB【例 2】已知 ，且 的夹角为 ，又 ，求

13、.1|,2|baa,4baODaC2,3|C注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解【例 3】已知锐角 中内角 的对边分别为 ,向量 ,ABC,abc(2sin,3)mB2(cos1,s)B且 mn（1）求 的大小，（2）如果 ，求 的面积 的最大值.2bABCS8过关演练 1 （1）已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 _2|a1|ba120ba（2）已知 ， ， ，则向量 与 的夹角为_ 4|42 （1）已知 ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为_|3（2）已知 ， ， ，则 在 上方向上的投影为_3|a5|b1aab3已知 ， ，且 ，则 的值为_ |4

14、| )()(k4已知 ， 与 的夹角正弦值为 ， ，则 _5|532|5已知 ， ， ，则 _2|a|ba|ba6已知 ， ， 与 的夹角为 ，要使 与 垂直，则 _|4a7在平行四边形 中，已知 ， ，则 =_ ABCD,3ABD60ABDA8 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的PPCPBC_9已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 =_3,1abx3ab10与向量 的夹解相等，且模为 的向量是_7(,)27(,)2111在 中， ， ， ，且 ， ， ，则 的值ABCaBCbAc3a2b4cabca为_12在 中，已知 ，且 ，则这个三角形的形状是 _ 2C13下列四个命题：若

15、 ，则 ；若 ，则 或 ；若 ，且0baba0a0bR，则 或 ； 对任意两个单位向量 ， 都有 其中正确命题的序号是0a 1_14.若 ,则 与 的夹角为_ bab15在 中，O 为中线 上一个动点，若 ，则 的最小值是 .ABCAM2A()OBC16已知 满足，则 的ABAC9形状一定是_.17.在ABC 中， ，AB2，AC1，D 是边 BC 上一点，DC2BD，则 =_.0ABC ADBC18.如果 ，且 ，那么( )cabA B C D 在 方向上的投影相等cbcb,a19若 、 是非零向量且 ，则一定有（ ）A B |ab|aC D|b20.已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则

16、的取值范围是_.)2,()2,3(21已知向量 ，| |1，对任意 tR，恒有| t | |，则（ ） aeaeA B ( ) C ( ) D( )( )aeae22已知两个单位向量 和 互相垂直， ，则 的充要条12 R21,1212)e件是（ ） A B 021 021C D 23在 中，有命题B ； ； 若 ，则 为等腰A0ABC0ABCABC三角形； 若 ，则 为锐角三角形.0上述命题正确的是（ ）A B C D24 点 在 所在平面内，给出下列关系式：OC（1） ；0（2） ；OA（3） ；0ACBCB（4） 则点 依次为 的 （ ）OAB10A内心、外心、重心、垂心 B重心、外心、

17、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心 D外心、内心、垂心、重心7.3 平面向量的分解定理例题精讲 【例 1】已知 是 的边 上的点，且 ， ，如图 1 所示若用DABC:1:2BDC,ABaCb表示 ，则 = ab、过关演练 1.已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，且 A、B、C 三点共线（该直线不过原anS120OBa点 O） ，则 _.20S2.下列条件中， 三点不共线的是（ ）ABP、 、A B134M 2MPABC D 3143下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A B 120,1,e12,5,7eeC D 123,56,01213,3,44已知向量 ， ， ，用

18、 和 来表示 ，则 为（ ）),(a),(b)4,7(cabcA B C D2a2225设 M 是ABC 的重心，则 =（ ）AM11A B C D2C2A3AB3ACB6 、 分别为 的边 、 上的中线，且 ， ，那么 为（ ）DEaEbA B C Dba34ba3b3423427过 的重心作一直线分别交 、 于点 、 若 ， ，则CAB,AxByAC0x的值为_yx18. 是 内的一点， ，则 的面积与 的面积之比为_.PAB13PCPA2 B3 C D6239. 请用 表示001,O12OA,5O 与 的 夹 角 为 ， 与 的 夹 角 为 ， OAB，=_C10已知 .设 ，则 等于1

19、,3,.0,ABAC30o(,)mnRmn_.11已知四边形 是菱形，点 在对角线 上， （不包括端点 、 ） ，则 等于（ ）CDPACPA ， (0,1) B ， (0, )()B()A2C ， (0,1) D ， (0, )()()C12.如图，在ABC 中，设 ， , ,(01), ,(01),试用向量 , 表示 .ABaCbAaAEbabc7.4 向量的应用例题精讲 【例 1】 是过抛物线 焦点的直线，l )0(2pxy12它与抛物线交于 A、B 两点，O 是坐标原点，则 ABO 是（ ）A、锐角三角形； B、直角三角形； C、钝角三角形； D、不确定与 P 值有关.【例 2】已知向

20、量 .设 .Rxxbxa,2sin3,co,1cs2 baf)(（1）若 且 ，求 的值；31)(xf （2）若函数 的图像按向量 平移后得到函数 的图像，求实数xysin)2|(,mc )(xfy的值.nm,过关演练 1.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数.2.已知点 是O，内 的 一 点 ， 009BOC15AABC设 且 ，试用 表示 .,abc2,3abc,abc3.求平面内两点 间的距离公式.)()(1yx4.三角形 ABC 中，A(5 ，1)、B(1，7) 、C (1，2)，求： (1)BC 边上的中线AM 的长；(2)CAB 的平分线 AD 的长；(3)cos ABC 的值.5.证明: .sincos)cos(6.已知 ， AD 为中线，求证 .ABC2221BCAAD7.已知向量 满足条件 ， ，求证： 是正123,OP1230OP1231OP321P三角形.8设 点在 内部，且有 ，则 的面积与 的面积的比为ABCABCABOC_9.证明柯西不等式 .212221 )()()( yxyx10.求 的最值.xy2cos3sini