1、第二章 逻辑代数基础,2.1 逻辑代数的基本概念2.2 逻辑代数的基本定理和规律2.3 逻辑函数表达式的形式与变换2.4 逻辑函数的化简,2.1.1 三种基本运算,逻辑乘(与)、 逻辑加(或)、 逻辑反(非),一、与运算,F,E,A,B,某个事件受若干个条件影响，若所有的条件都齐,备，该事件才能成立，称为逻辑乘(与)。,二、或运算,F,E,A,B,即：Ff(A，B)ABAB,一个事件的成立与否有许多条件，只要其中一,个或几个条件成立，事件便成立，这样一种逻辑关,系称逻辑加（或）。,三、非运算,F,E,A,R,2.1.2逻辑函数及逻辑函数间的相等,一、 逻辑函数的定义,(1) 逻辑变量和逻辑函数
2、的取值只有0和1。,二、逻辑函数的相等,判断两个逻辑表达式是否相等的方法有：,1、列表法,2、利用逻辑代数的公理；定理和规则证明。,2.1.3 逻辑函数的表示方法,一、真值表(便于直观的观察变量和函数之间的关系) *,二、逻辑函数表达式(便于获得逻辑电路图) *,三、卡诺图(主要用于逻辑函数化简),四、时序图、时间图(工作波形图) *,2.2.1 逻辑代数的基本定理,一、公理,三、交换律,二、公式(可由公理推出),四、结合律,五、分配律,A(BC)=(AB)C=(AC)B,A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B,A(B+C)=AB+AC,A+BC=(A+B)(A+C) 加法的分配律,六
3、、摩根律,证：用真值表法证明,七、常用公式,证：,推广：,证：,2.2.2 重要规则,一、代入规则,例:,令 代入式中,则,以此推广得到摩根律的一般形式:,二、反演规则,例1：,例2：,(直接去掉反号),其实反演规则就是摩根律的推广。,例3：,按反演规则可直接写出：,若用摩根律则先对原函数两边取非，得：,三、对偶规则,(2)若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,(1)若一个定理是正确的，则其对偶式也一定正确。,结论:,由 F(A，B，C )求F(A，B，C ),(3) (F)=F,即对对偶式再求对偶就得原函数本身。,利用对偶规则有时可以简化等式的证明。,例：试证 A+BC=(A+B)(A+
4、C),令: F1=A+BC F2=(A+B)(A+C),求两个函数的对偶:,F1=A(B+C)=AB+AC F2=AB+AC,因为 F1= F2 所以 F1=F2 得证,四、展开规则,例：试化简下列函数：,解：,2.2.3几种导出(复合)的运算,A,A,A,B,B,B,C,C,C,D,D,D,F,F,F=AB+CD,1,+,1,A,B,F,C,D,&,&,1,异或的逻辑符号:,同或的逻辑符号:,异或,同或,异或和同或的真值表如下:,异或和同或的基本运算公式,(4)结合律,(5)分配律,A(B C)=AB AC,(3)交换律,若 A B=C 则 A C=B 或 B C=A,(6) 因果互换律,A
5、+(B C)=(A+B) (A+C),(7) 常用式子,2.2.4 正逻辑与负逻辑,各种逻辑运算最终是通过相应的逻辑门来实现的。,与门 或门,或门 与门,与非门 或非门,或非门 与非门,异或门 同或门,同或门 异或门,同一个逻辑电路，在不同的逻辑假定下，其逻辑,功能是完全不同的。如下表：,如:正逻辑与门 F=AB ,对应负逻辑的或门 F=A+B,由上可见:同一个电路的正逻辑表达式与负逻辑,表达式互为对偶式.,例：正逻辑的与门等价负逻辑的或门,0V 0V 0V 0 0 0 1 1 1,0V +3.6V 0V 0 1 0 1 0 1,+3.6V 0V 0V 1 0 0 0 1 1,+3.6V +3
6、.6V +3.6V 1 1 1 0 0 0,2.3.1 逻辑函数表达式的基本形式,一、标准与或式(积之和)、最小项和式,二、标准或与式(和之积)、最大项积式,如:,如:,2.3.2 逻辑函数的标准形式,一、最小项,* 最小项的几个性质,如三变量ABC=101,则值为1的最小项是,(3),即任意两个不相同的最小项的乘积为0。,(4) 所有最小项的和为1。,例：,(6) 任一个n变量的最小项，都有n个相邻的最小项。,二、最大项,看作1。,在最大项中，将和项中的原变量看作0，反变量,最大项的几个性质：,如三变量ABC101，则：,(2)任意两个不相同的最大项之和为1。,(3) 全体最大项之积为0,例
7、:,例:,(5),例:,A B C 最小项 编号 最大项 编号,1 1 1 m7 M7,1 1 0 m6 M6,1 0 1 m5 M5,1 0 0 m4 M4,0 1 1 m3 M3,0 1 0 m2 M2,0 0 1 m1 M1,0 0 0 m0 M0,2.3.3 逻辑函数表达式的转换,一、代数转换法,用代数法求一个函数的“最小项之和”的形式：,第一步：将函数式变换成一般“与或”表达式,用代数法求一个函数的最大项之积的形式：,第一步：将函数表达式转换成一般“或与”式。,例1: 将 转换成最小项之,和。,(1)将表达式变换成“与或”表达式。,解:,(2)变换为标准积之和,解:,例2. 将 变换
8、成最大项之,积。,(1)将表达式变换成“或与”表达式,以上是利用加法的分配律进行折分，下面继续用,加法的分配律：,例1:将 表示成最小项之和。,(2) 变换为标准和之积表达式(反向应用最大项定,理：只有一个变量互反的两个最大项的乘积等于相,同变量之和)：,二、真值表转换法,0 0 0 0,0 0 1 0,0 1 0 1,0 1 1 0,1 0 0 1,1 0 1 1,1 1 0 1,1 1 1 0,根据真值表可得：,A B C F0 0 0 00 0 1 00 1 0 1 0 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0,例2. 将上式表示成最大项之积。,2.4.1 公式
9、法化简,最简: (1) 乘积项(或逻辑相加项)最少。,(2) 每项中变量数最少,化简方法:,(1) 公式法(利用公理;定理和规则),(2) 卡诺图法,(3) 列表法,一、与或式化简,1、并项法，利用定理,例1：,例2：,3、消去法，利用定理,例3,2、吸收法，利用定理,4、配项法，利用,及,例4：,例5:,例6:,例7:,例1:,例8:,二、或与式化简,例2:,2.4.2 卡诺图化简法,一、用卡诺图表示最小项,AB,CD,F3,00,01,00,01,10,10,11,11,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10,m11,m12,m13,m14,m15,BC,DE,
10、F4,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10,m11,m12,m13,m14,m15,BC,DE,F4,00,01,11,10,00,01,11,10,m16,m17,m18,m19,m20,m21,m22,m23,m24,m25,m26,m27,m28,m29,m30,m31,A=0,A=1,F5,AB,CDE,00,01,11,10,000,001,011,010,110,111,101,100,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m8,m9,m10,m11,m12,m13,m14,m15,m16,m1
11、7,m18,m19,m20,m21,m22,m23,m24,m25,m26,m27,m28,m29,m30,m31,最小项为1时的变量取值(1为原变量,0为反变量)。,图形两侧标注的“0”和“1” 表示使对应小方格内,二、卡诺图化简法,1、将最可能多的2n(n=0,1,2 )个相邻的1格圈在,一起，得到一个卡诺圈，对应卡诺圈发生过变化的,变量被消去，没变化过的保留，以此得到一个乘积,项。,2、按1将卡诺图中所有的“1”格圈完。,3、将所得到的乘积项相加，得到函数的最简与或,4、任何一个“1”格可以多次圈用.,7、卡诺图中的卡诺圈应尽可能的少。,式。,0,0,1,1,A,B,F1,1,1,1,0
12、,0,1,1,A,B,F2,1,1,(1)、圈“1”所得的逻辑函数表达式,00,01,10,11,0,1,BC,A,F3,1,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F3,1,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F4,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F5,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F6,1,1,1,1,1,1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F7,1,1,1,1,1,1,1,1,F7=1,AB,CD,F8,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1
13、,1,1,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F9,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F10,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F11,1,1,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,F12,1,1,(2)、圈“0”所得的逻辑函数表达式,AB,CD,F13,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,AB,CD,0
14、0,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F14,0,0,0,0,0,0,0,0,AB,CD,00,01,00,01,10,10,11,11,1,1,1,1,1,1,1,1,F15,1,1,0,0,0,0,0,0,1、把与或式化成标准与或式填入卡诺图,三、如何用卡诺图对逻辑函数化简,例1,00,01,10,11,0,1,BC,A,F,1,1,1,1,化简后: F=AC+AB+BC,AB,CD,00,00,01,01,11,11,10,10,1,1,1,1,1,1,1,1,1,F,2、把与或式的每一项直接填入卡诺图,例2:,3、化简为或与式,例: F(A,B,
15、C,D)=M(3,7,11,12,13,14,15),解: 将函数用“最小项之和”形式表示得:,F(A,B,C,D)=m(0,1,2,4,5,6,8,9,10),AB,CD,00,00,01,01,11,11,10,10,1,1,1,1,1,1,1,F,1,1,0,0,0,0,0,0,0,F(A,B,C,D)=M(3,7,11,12,13,14,15),4、利用禁止逻辑化简逻辑函数,即任何逻辑函数乘上不属于它的最小项之非，其 逻辑功能不变。,以上图为例，则：,例1：试用禁止法化简下列逻辑函数：,例2:试用禁止法化简下列逻辑函数,2.4.3 列表化简法(Q-M化简法),蕴涵项:与或表达式中的每个
16、“与项”。,的化简步骤如下:,列表化简法适用于计算机排序处理.列表化简法,(3) 找出函数的必要质蕴涵项,(4) 找出函数的最小覆盖.,方法是将n个变量的函数中的相邻最小项合并，,消去相异的一个变量，得到(n-1)个变量的“与”项；,再将相邻的(n-1)个变量的“ 与 ”项合并,消去相异,的变量，得到(n-2)个变量的“ 与 ”项； 以此,类推，直到不能再合并为止，此时得到的即是所要,求的全部质蕴涵项。,例:F(A,B,C,D)=m(0,2,3,5,7,8,10,11,13,15),这里用“ -”表示消去的变量,选择过的最小项用,“”作标记，表示它们已包含在第()的与项中，,并在第()栏中的第
17、二列指出相应的“与”项是由那,几个最小项合并产生的。,组号 mi A B C D Pi0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 0 8 1 0 0 0 2 3 0 0 1 1 5 0 1 0 1 10 1 0 1 0 3 7 0 1 1 1 11 1 0 1 1 13 1 1 0 1 4 15 1 1 1 1 ,() 最小项,组号 mi A B C D Pi 组号 mi A B C D Pi0 0.2 0 0 - 0 2 3.7 0 - 1 1 0.8 - 0 0 0 3.11 - 0 1 1 1 2.3 0 0 1 - 5.7 0 1 - 1 2.10 - 0 1 0 5.13 - 1 0
18、 1 8.10 1 0 - 0 10.11 1 0 1 - 3 7.15 - 1 1 1 11.15 1 - 1 1 13.15 1 1 - 1 ,() (n-1)个变量的与项,组号 mi A B C D Pi0 0.8 8.10 - 0 - 0 p30.8 2.10 - 0 - 0 1 2.3 10.5 - 0 1 - p22.10 3.11 - 0 1 - 2 3.7 11.15 - - 1 1 p13.11 7.15 - - 1 1 5.7 13.15 - 1 - 1 p05.13 7.15 - 1 - 1,() (n-2)个变量的与项,该函数的全部质蕴涵项为:,P0=m(5,7,13,
19、15)=BD,P1=m(3,7,11,15)=CD,3、求函数的全部必要质蕴涵项(建表如下:),覆盖情况,mi,0 2 3 5 7 8 10 11 13 15,p0*,P1,P2,P3*,Pi,(1)表中逐行标上各质蕴涵项覆盖最小项的情况。,如表中P0可以覆盖m5 ,m7 ,m13 ,m15 ，故对P0行的这,几个最小项处打“”标记，其它各行以此类推。,覆盖时参考。,最小项,在该列打“”标记，供下一步找函数最小,(4) 在表中最后一行，凡是被必要质蕴涵项覆盖的,4 、找出函数的最小覆盖,尚有m3,m11 未被覆盖.,可见P0、P3可覆盖m0 ,m2 ,m5 ,m7,m8 ,m10 ,m13 ,
20、m15,mi,Pi,P1,P2,3,11,从图中可见，P2这的“”完全包含在P1行中，故,消去P2行。,所以:,故得所需的质蕴涵集为:,2.4.4 逻辑函数化简中两个实际问题的考虑,一、包含无关最小项的逻辑函数的化简,1、某些变量的取值不会出现。,2、某些变量的某些取值对函数无意义(无关)。,显然对函数而言： 约束条件=0,A B C F0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ,约束条件为:,例2: 试设计一个对8421BCD码的检测电路。当,8421BCD码对应的十进制数3X7时输出为“1”，,否则输出为“0”。,A B C D F,1
21、 0 0 0 0,0 0 0 0 0,1 0 0 1 0,0 0 0 1 0,1 0 1 0 d,0 0 1 0 0,1 0 1 1 d,0 0 1 1 1,1 1 0 0 d,0 1 0 0 1,1 1 0 1 d,0 1 0 1 1,1 1 1 0 d,0 1 1 0 1,1 1 1 1 d,AB,CD,00,00,01,01,11,11,10,10,1,1,1,1,F,d,d,d,d,d,d,1,A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0
22、 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 d 1 0 1 1 d 1 1 0 0 d 1 1 0 1 d 1 1 1 0 d 1 1 1 1 d,AB,CD,00,00,01,01,11,11,10,10,1,1,1,1,F,d,d,d,d,d,d,1,A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 d 1 0 1 1 d 1 1 0 0 d 1 1 0 1 d 1 1 1 0 d 1 1 1 1 d,二、多
23、输出函数的化简,衡量多输出函数最简的标准是:,1、所有逻辑表达式中包含的不同与项总数最少。,2、在满足1的前提下，各与项中所含的变量数最少。,多输出函数化简的关键是充分利用各函数间可共享,的部分。,例1:,作出两函数的卡诺图如下:,A,BC,00,01,11,10,0,1,1,1,1,A,BC,00,01,11,10,0,1,1,1,1,F1,F2,1,1,&,&,&,&,合并公共项前,00,00,01,11,11,10,10,AB,CD,F1,00,00,01,01,11,11,10,10,AB,CD,F2,00,00,01,01,11,11,10,10,AB,CD,F3,1,1,1,1,1
24、,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,01,1,1,1,1,1,1,1,1,例2:,根据卡诺图可得化简后的逻辑函数:,A B C F0 0 0 00 0 1 0 0 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1,返回,F=AB+AC+BC,&,&,&,1,F,A,B,A,C,B,C,A,B,F,返回,F=AB,第一章习题:,3、 (62.75)10=(111110.11)2,4、分别用二进制反码和补码求-54-30,-54原=10110110,-30原=10011110,-54反=11001001,-30反=11100001,-54补=110
25、01010,-30补=11100010,(9/32)10=(0.01001)2,-54-30反=-54反+ -30反=10101011,11100001,11001001,+,10101010,1,1,+,10101011,-54-30原=10101011反=11010100,-54-30补=-54补+ -30补=10101100,11100010,11001010,+,10101100,1,-54-30原=10101100补=11010100,5、,(01010011.01101001)8421,(10000110.10011100)余3,(53.69)10,(001000010100.01111000)8421,(010100110111.10101011)余3,(214.78)10,8、,(+1011) (01011)原(01011)反(01011)补,(-1011) (11011)原(10100)反(10101)补,(+0.0011) (0.0011)原(0.0011)反(0.0011)补,(-0.0011) (1.0011)原(1.1100)反(1.1101)补,
