1、 二次函数中几何的最值问题一、解答题1、如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐 标分别为 A（2，0）、B （6，0）、C（0，2 ），抛物线 y=a +bx+c（a0）经过 A、B、C 三点。（1）求直线 AC 的解析式；（2）求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为 D，试探究在直线 AC 上是否存在一点 P，使得BPD 的周长最小，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。2、如图，已知抛物线 y=- +mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（3，0）。（1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标；（2）点 P 是抛物 线对称轴 l 上的
2、一个动点，当 PA+PC 的值最小时，求点 P 的坐标。3、如图，二次函数 y=a +bx 的图象经过点 A（2，4）与 B（6，0）（1）求 a，b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A，B 两点之间的一动点，横坐标为 x（2x6），写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值。4、如图，抛物线 y= +bx+c（a、b、c 为常数， a0）经过点 A（1，0），B（5，6），C（6，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线 AB 下方的抛物线上是否存在点 P 使四边形 PACB 的面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，
3、请说明理由；（3）若点 Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出QAB 为等腰三角形的点 Q 一共有几个？并请求出其中某一个点 Q 的坐标5、如图， 长方形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上，OC 在 y 轴的正半轴上，抛物线 y= +bx 经过点 B（1，4）和点 E（3，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在线段 OC 上，且 BDDE，BD=DE，求 D 点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点 M，使得BDM 的周长为最小，并求 BDM 周长的最小值及此时点 M 的坐标；（4）在条件（2）下，从 B 点到 E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点
4、P，使得PAD 的面积最大？若存在，请求出 PAD 面积的最大值及此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由6、如图，抛物线 y= -3x+ 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 D 是直线 BC 下方抛物 线上一点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E（1）求直线 BC 的解析式；（2）当线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标。7、如图 1，对称轴 x=为直线的抛物线经过 B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为 A（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为 第一象限内抛物 线上一点，设四边形 COBP 的面积为 S，求 S 的最大值
5、；（3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在轴上是否存在这样有点 Q，使MQC 为等腰三角形且 MQB 为直角三角形？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由8、如图 1，抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B，与 y 轴交于 C，抛物线的顶点为D，直线 l 过 C 交 x 轴于 E（4，0）（1）写出 D 的坐标和直线 l 的解析式；（2）P（x，y）是 线段 BD 上的动点（不与 B，D 重合），PF x 轴于 F，设四边形 OFPC 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求 S 的最大 值；（3）点 Q 在 x 轴的正半轴上运动，过 Q 作 y 轴
6、的平行线，交直线 l 于 M，交抛物 线于 N，连 接 CN，将 CMN 沿 CN 翻转，M 的对应点为 M在图 2 中探究：是否存在点 Q，使得 M恰好落在 y 轴上？若存在，请求出 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由二次函数中几何的最值问题的答案和解析一、解答题1、答案：（1）y x2（2）y - x-2（3）存在，（ ，- ）试题分析：（1）设出一次函数解析式，代入 A、C 两点的坐标即可解决问题；（2）把 A、B、C 三点代入抛物线 y=ax2+bx+c，列出三元一次方程组解答即可；（3）利用轴对称图形的性质，找出点 B 关于直线 AC 的对称点，进一步利用直角三角形的性质以及待定系数
7、法与两直线的相交的关系求得答案。解：（1）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，把 A（-2，0），C（0，-2 ）代入解析式得，解得 k ，b2 ，y x2 ；（2）把 A（-2，0），B（6，0），C（0，-2 ）三点代入抛物线 y=a +bx+c 得，解得：a= ，b ，c2 ，所求抛物线 方程为 y - x-2 ；（3）存在满足条件的点 P抛物线 方程 为 y ，顶点 D 的坐 标为(2 ， )，要使BDP 的周长最小，只需 DP+PB 最小，延长 BC 到点 B，使 BC=BC，连接 BD 交直线 AC 于点 P， =16， =48， =64， = + ，BCAC，BP=BP，DP
8、+BP=DP+BP=BD 最小，则此时BDP 的周长最小，点 P 就是所求的点，过点 B作 BHAB 于点 H，B（6，0），C（0，2 ），在 RtBOC 中，BC=4 ，OCBH，BC=BC，OH=BO=6，BH2OC4 ，B(6，4 )，设直线 BD 的解析式为 y=mx+n，D(2， )，B(6，4 )在直线 BD 上， ，m ，n 3 ，y x-3 ， ，x ，y ，P( ， )，在直线 AC 上存在点 P，使得BDP 的周长最小，此时 P( ， )2、答案：（1）m=2，（1，4）（2）（1，2）试题分析：（1）首先把点 B 的坐标为（3， 0）代入抛物线 y= +mx+3，利用待
9、定系数法即可求得 m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线 BC 的解析式，继而求得答案解：（1）把点 B 的坐标为（3， 0）代入抛物线 y= +mx+3 得：0= +3m+3，解得：m=2 ，y= +2x+3= +4，顶点坐 标为 ：（1，4）（2）连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PA+PC 的值最小，设直线 BC 的解析式 为：y=kx+b，点 C（0，3），点 B（3，0）， ，解得： ，直线 BC 的解析式 为：y= x+3，当 x=1 时，y=1+3=2，当 PA
10、+PC 的值最小时，求点 P 的坐标为：（1，2）3、答案：（1）a=- ,b=3（2）S=- +8x（2x6）,16试题分析：（1）把 A 与 B 坐标代入二次函数解析式求出 a 与 b 的值即可；（2）如图，过 A 作 x 轴的垂直，垂足为 D（2，0），连接 CD，过 C 作 CEAD，CFx 轴，垂足分别为 E，F，分别表示出三角形 OAD，三角形 ACD，以及三角形 BCD 的面积，之和即为 S，确定出 S 关于 x 的函数解析式，并求出 x 的范围，利用二次函数性质即可确定出 S 的最大值 ，以及此 时 x 的值。解：（1）将 A（2，4）与 B（6，0）代入 y=ax2+bx，得
11、 ，解得： ；（2）如图，过 A 作 x 轴的垂直，垂足为 D（2，0），连接 CD，过 C 作 CEAD，CFx 轴，垂足分别为 E，F，= ODAD= 24=4；= ADCE= 4（x-2）=2x-4；= BDCF= 4（- +3x）=- +6x，则 S= + + =4+2x-4- +6x=- +8x，S 关于 x 的函数表达式为 S=- +8x（2x6），S=- +8x=- +16，当 x=4 时，四边形 OACB 的面积 S 有最大值，最大值为 164、答案：（1）y= -5x-6（2）存在，P（2 ，-12）（3）（ ，- ）试题分析：（1）抛物线经过点 A（-1，0），B（5，-6
12、），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-6），代入 B（5，-6）即可求得函数的解析式；（2）作辅助线，将四边形 PACB 分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设 P（m， -5m-6），四边形 PACB 的面积为 S，用字母 m 表示出四边形 PACB 的面积 S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点 P 的坐标（3）分三种情况画图：以 A 为圆心，AB 为半径画弧，交对称轴于 和 ，有两个符合条件的 和 ；以 B 为圆心，以 BA 为半径画弧，也有两个符合条件的 和 ；作 AB 的垂直平分线交对称轴于一点 ，有一个符合条件的 ；最后利用等腰三角
13、形的腰相等，利用勾股定理列方程求出 坐标.解：（1）设 y=a（x+1）（x-6）（a0），把 B（5，-6）代入：a（5+1）（5-6）=-6，a=1，y=（x+1）（x-6）= -5x-6；（2）存在，如图 1，分别过 P、B 向 x 轴作垂线 PM 和 BN，垂足分别为 M、N，设 P（m， -5m-6），四边形 PACB 的面积为 S，则 PM=- +5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，S= + += （- +5m+6）（m+1）+ （6- +5m+6）（5-m）+ 16=- +12m+36= +48，当 m=2 时，S 有最大值为 48，这时 -5m-6
14、= -52-6=-12，P（2，-12），（3）这样的 Q 点一共有 5 个，连接 、 ，y= -5x-6= - ；因为 在对称轴上，所以设 （ ，y）， 是等腰三角形，且 ，由勾股定理得： + = + ，y=- ， （ ，- ）.5、答案：（1）y= +6x（2）（0，1）（3） + ，（ ， ）（4） ，（ ， ）试题分析:（1）将点 B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式，得到关于 a、b 的方程组，求得a、b 的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）依据同角的余角相等证明BDC= DE0，然后再依据 AAS 证明BDC DEO，从而得到 OD=AO=1，于是可求得点 D 的坐
15、标；（3）作点 B 关于抛物线的对称轴的对称点 B，连接 BD 交抛物线的对称轴与点 M先求得抛物线的对称轴方程，从而得到点 B的坐标，由轴对称的性质可知当点 D、M、B在一条直线上时，BMD 的周 长有最小值，依据两点间的距离公式求得 BD 和 BD 的长度，从而得到三角形的周长最小值，然后依据待定系数法求得 D、B的解析式，然后将点 M的横坐标代入可求得点 M 的纵坐标；（4）过点 F 作 FGx 轴，垂足为 G设点 F（a， +6a），则 OG=a，FG= +6a然后依据 = - - 的三角形的面积与 a 的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可.解：（1）将点 B（1，4），E（3
16、，0）的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： ，抛物线的解析式为 y= +6x（2）如图 1 所示；BDDE，BDE=90BDC+EDO=90又ODE+DEO=90，BDC=DE0在BDC 和 DOE 中， ，BDCDEOOD=AO=1D（0，1）（3）如图 2 所示：作点 B 关于抛物线的对称轴的对称点 B，连接 BD 交抛物线的对称轴与点 Mx= ，点 B的坐标为（2，4）点 B 与点 B关于 x= 对 称，MB=BMDM+MB=DM+MB当点 D、M、B在一条直线上时， MD+MB 有最小值（即BMD 的周长有最小值）由两点间的距离公式可知：BD= = ，DB= = ，BDM 的最小值=
17、 + 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b将点 D、B的坐标代入得： ，解得： 直线 DB的解析式为 y= x+1将 x= 代入得： y= M（ ， ）（4）如图 3 所示：过点 F 作 FGx 轴，垂足为 G设点 F（a， +6a），则 OG=a，FG= +6a = （OD+FG）OG= （ +6a+1）a= + + a， = ODOA= 11= ， = AGFG= + -3a， = - - = + a- 当 a= 时， 的最大值为 点 P 的坐标为（ ， ）6、答案：（1）y=- x+（2）（ ，- ）试题分析：（1）利用坐标轴上点的特点求出 A、B、C 点的坐标，再用待定系数法求得直线
18、 BC 的解析式；（2）设点 D 的横坐标为 m，则纵坐标为（m， 3m+ ），E 点的坐标为（m， m+ ），可得两点间的距离为 d= +2 m，利用二次函数的最 值可得 m，可得点 D 的坐标.解：（1）抛物 线 y= -3x+ 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，令 y=0，可得 x= 或 x= ，A（ ，0），B（ ，0）；令 x=0，则 y= ，C 点坐标为（0， ），设直线 BC 的解析式 为：y=kx+b，则有，解得： ，直线 BC 的解析式 为：y= x+ ；（2）设点 D 的横坐标为 m，则坐标为（m， 3m+ ），E 点的坐标为（m ， m+ ），设 D
19、E 的长度为 d，点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点，则 d= m+ -（ -3m+ ），整理得，d=- + m，a=-10，当 m= = = 时， = = = ，D 点的坐 标为 （ ， ）7、答案：(1)y=-2 +2x+4(2)6(3)存在，Q（-,0）试题分析：（1）由对称轴的对称性得出点 A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面 积 S，化简后是一个关于 S 的二次函数，求最 值即可；（3）画出符合条件的 Q 点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角 OCQ 和直角CQM 利用勾股定
20、理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍解：（1）由对称性得：A（-1，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把 C（0，4）代入：4=-2a，a=-2，y=-2（x+1）（x-2），抛物线 的解析式 为：y=-2+2x+4；（2）如图 1，设点 P（m，-2+2m+4），过 P 作 PDx 轴，垂足为 D，S=+=m（-2+2m+4+4）+（-2+2m+4）（2-m），S=-2+4m+4=-2+6，-20，S 有最大值，则=6（3）如图 2，存在这样的点 Q，使 MQC 为等腰三角形且 MQB 为直角三角形，理由是：设直线 BC 的解析式 为：y=kx+b，把 B（2，0）、
21、C（0，4）代入得：，解得：，直线 BC 的解析式 为：y=-2x+4，设 M（a，-2a+4），过 A 作 AEBC，垂足为 E，则 AE 的解析式为：y=x+ ，则直线 BC 与直 线 AE 的交点 E（1.4，1.2），设 Q（-x，0）（x0），AEQM，ABEQBM，由勾股定理得：+=2 + ，由得：=4（舍），=，当 a=时， x=，Q（-，0）8、答案：试题分析：（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到 D 点坐标，再求出 C 点坐标，然后利用待定系数法求直线 l 的解析式；（2）先根据抛物线与 x 轴的交点问题求出 B（3，0），再利用待定系数法求出直 线 BD 的解析式为 y
22、=-2x+6，则 P（x，-2x+6），然后根据梯形的面积公式可得 S=-x2+ x（1x3），再利用而此函数的性质求 S 的最大值；（3）如图 2，设 Q（t，0）（t0），则可表示出 M（t，- t+3），N（t，-t2+2t+3），利用两点间的距离公式得到 MN=|t2- t|，CM= t，然后 证明 NM=CM 得到|t 2- t|= t，再解 绝对值方程求满足条件的 t 的值，从而得到点 Q 的坐标试题解析： （1）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，D（1，4），当 x=0 时，y=-x 2+2x+3=3，则 C（0，3），设直线 l 的解析式为 y=kx+b，把 C（0，3
23、），E（4，0）分别代入得 ，解得 ，直线 l 的解析式为 y=- x+3；（2）如图（1），当 y=0 时，-x 2+2x+3=0，解得 x1=-1，x2=3，则 B（3，0），设直线 BD 的解析式为 y=mx+n，把 B（3，0），D（1，4）分别代入得 ，解得 ，直线 BD 的解析式为 y=-2x+6，则 P（x，-2x+6），S= （-2x+6+3）x=-x2+ x（1x3），S=-（x- ）2+ ，当 x= 时，S 有最大值，最大值为 ；（3）存在如图 2，设 Q（t，0）（t0），则 M（t，- t+3），N（t，-t2+2t+3），MN=|-t2+2t+3-（- t+3）|=|
24、t2- t|，CM= = t，CMN 沿 CN 翻转，M 的 对应点为 M，M落在 y 轴上，而 QNy 轴，MNCM，NM=NM，CM=CM，CNM=CNM，MCN=CNM，MCN=CNM，CM=NM，NM=CM，|t2- t|= t，当 t2- t= t，解得 t1=0（舍去），t 2=4，此时 Q 点坐标为（4，0）；当 t2- t=- t，解得 t1=0（舍去），t 2= ，此时 Q 点坐标为（ ，0），综上所述，点 Q 的坐标为 （ ，0）或（4，0）您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去， 让我们共同进步。
