1、专题复习-二次函数中的几何问题1. 在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点 A(0,2),点 C(-1,0),如图所示:抛物线y=2ax2+ax- 3经过点 B(1)写出点 B 的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若三角板 ABC 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度向 x 轴正方向平移,求点 A 落在抛物线上时所用的时间,并求三角板在平移过程扫过的面积;(4)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外),使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)过 B 作 BDx
2、轴于 D; BCA=90,BCD=CAO=90-ACO; 又BC=AC,BDC=AOC=90,BDCCOA; CD=OA=2, BD=OC=1, B(-3,1)(2)由于抛物线过 B 点,则有: 2a9+(-3)a- =1,23解得 a= ; y= x2+ x- 6136(3)设平移后的三角形为ABC;由于是沿 x 轴正方向平移,所以A、A的纵坐标不变,且 A在抛物线的图象上,当 y=2 时, x2+ x- =2, 解得 x=3(负值舍去);316A(3,2),C(2,0);平移过程所用去的时间为 31=3 秒;扫过部分的面积=ABC 的面积+AACC 的面积S 扫 =SABC +SAACC
3、= ( ) 2+32=8.5(平方单位)215(4)此题要分两种情况进行讨论:若以 AC 为直角边,C 为直角顶点;设直线 BC 交抛物线于 P1,易求得直线 BC 的解析式为 y=- x- ;21不难求得 P1(1,-1),此时 CP1=AC;ACP 1为等腰直角三角形;若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点;过 A 作 AFBC,交抛物线于 P2,易求得直线 AF 的解析式为 y=- x+2;21不难得出 P2( , )或( , )(不合舍去)46246;此时 AP2AC, ACP 2不是等腰直角三角形;符合条件的 P 点有一个:P(1,-1)2、已知二次函数 cbxay2的图象经过点
4、A(3,0), B(2,-3), C(0,-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;(2)点 P 从 B 点出发以每秒 0.1 个单位的速度沿线段 BC 向 C 点运动,点 Q 从 O点出发以相同的速度沿线段 OA 向 A 点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动设运动时间为 t 秒当 t 为何值时,四边形 ABPQ 为等腰梯形;设 PQ 与对称轴的交点为 M,过 M 点作 x 轴的平行线交 AB 于点 N,设四边形 ANPQ 的面积为 S,求面积 S 关于时间 t 的函数解析式,xyO ABC PQM N第 2 题图并指出 t 的取值范围;当 t 为何值时, S 有最大值或最小
5、值解:(1)二次函数 cbxay2的图象经过点 C(0,-3), c =-3将点 A(3,0), B(2,-3)代入 cbxay2得.324390ba四解得: a=1, b=-2 2xy配方得: 412四,所以对称轴为 x=1(2) 由题意可知: BP= OQ=0.1t点 B,点 C 的纵坐标相等, BC OA过点 B,点 P 作 BD OA, PE OA,垂足分别为 D, E要使四边形 ABPQ 为等腰梯形,只需 PQ=AB即 QE=AD=1又 QE=OE OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t,2-0.2 t=1 解得 t=5即 t=5 秒时,四边形 ABPQ 为等腰梯形设对称轴与
6、 BC, x 轴的交点分别为 F, G对称轴 x=1 是线段 BC 的垂直平分线, BF=CF=OG=1又 BP=OQ, PF=QG又 PMF= QMG, MFP MGQ MF=MG点 M 为 FG 的中点 S= BPNAQS-四 = BPNAFGS-四 由 FG四 )(21= 29tSBPN403 S= t403又 BC=2, OA=3,点 P 运动到点 C 时停止运动,需要 20 秒0 t20 当 t=20 秒时,面积 S 有最小值 3xyO ABC PQ DEGM NF3、如图,已知抛物线 y x2 x4 交 x 轴的正半轴于点 A,交 y 轴于点1B(1)求 A、B 两点的坐标,并求直
7、线 AB 的解析式;(2)设 P( x, y) ( x0)是直线 y x 上的一点,Q 是 OP 的中点(O 是原点) ,以 PQ 为对角线作正方形 PEQF,若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点,求x 的取值范围;(3)在(2)的条件下,记正方形 PEQF 与OAB 公共部分的面积为 S,求S 关于 x 的函数解析式,并探究 S 的最大值解:4、如图,抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于 C 点,且经23yaxbxAB四y过点 ,对称轴是直线 ,顶点是 (23)四 1M(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)经过 两点作直线与 轴交于点 ,在抛物线上是否存在这样的C,MxN点 ,使以点
8、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点PAN四的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设直线 与 y 轴的交点是 ,在线段 上任取一点 (不与3yxDBE重合) ,经过 三点的圆交直线 于点 ,试判断 的形状,BD四BE四 CFAF并说明理由;(4)当 是直线 上任意一点时, (3)中的结论是否成立?(请yx直接写出结论) O B xyAMC13(第 4 题图)解:(1)根据题意,得34231.ab,解得 2.ab,抛物线对应的函数表达式为 23yx(2)存在在 中,令 ,得 23yx0令 ,得 , 0x123x, , (1)A, ()B, (3)C,又 , 顶点 24yx4M,容易求得直线 的表达式是 yx在 中,令 ,得 , 3yx03(0)N, 2A在 中,令 ,得 2y12x, CPN, 四边形 为平行四边形,此时 ANCP ACP(3),(3) 是等腰直角三角形EF理由:在 中,令 ,得 ,令 ,得 3yx0x3y0x直线 与坐标轴的交点是 , ()D, ()B, ODB45又 点 , (03)C, OC45由图知 , AEFAFE,且 是等腰直角三角形9(4)当点 是直线 上任意一点时, (3)中的结论成立3yxyxEDNOACMPB1F(第 4 题图)