1、第十六章 二次根式教材内容 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式教学目标（1）理解二次根式的概念（2）理解 a（a 0）是一个非负数， （ a） 2=a（a0） ， 2=a（a0） （3）掌握 b （a0，b0） ， b= ；= （a0，b0 ） ， = （a0，b0） （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减教学重点1二次根式 a（a 0）的内涵 a（a0）是一个非负数；（ a） 2a （a0） ；2a=a（a0） 及其运用2二次根式乘除法的规定及其运用3最简二次根式的概念4二次根式的加减运算教学难点1对 a（a 0）是一个非负数的理解；对等式（
2、a） 2a（a0）及2=a（a0）的理解及应用2二次根式的乘法、除法的条件限制3利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式规定和重要结论进行准确计算的能力， 培养学生一丝不苟的科学精神单元课时划分本单元教学时间约需 11 课时，具体分配如下：161 二次根式 3 课时162 二次根式的乘法 3 课时163 二次根式的加减 3 课时教学活动、习题课、小结 2 课时161 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用 a（a 0）的意义解答具体题目教学重难点关键1重点：形如 a（a 0）的式子叫做二次根式的概念；2难点与关键：利用“ （a 0） ”解决
3、具体问题教学过程一、复习引入教材 p2;ppt2、3、4二、探索新知很明显 3、 10、 6，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如 a（a0） 的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号（学生活动）议一议：1-1 有算术平方根吗？20 的算术平方根是多少？3当 a0） 、0、 42、- 、 1xy、 （x0，y 0） 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0解：二次根式有： 2、 x（x0） 、 0、- 2、 xy（x0，y0） ；不是二次根式的有： 3、 1、 4、 y例 2当 x 是多少
4、时， 31x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-10，31才能有意义解：由 3x-10，得：x 13当 x 3时， 在实数范围内有意义三、巩固练习教材 P3 练习 1、2、3 ；ppt5 、6、7、8、9、 四、应用拓展例 3当 x 是多少时， x+ 1在实数范围内有意义？练习见 ppt10分析：要使 23+ 在实数范围内有意义，必须同时满足 23x中的0 和1x中的 x+10解：依题意，得 01x由得：x- 32由得：x-1当 x- 且 x-1 时， 3x+ 1在实数范围内有意义例 4(1)已知 y= 2+ +5，求 y的值(答案 :2)
5、(2)若 1a+ b=0，求 a2004+b2004 的值( 答案: 25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1形如 a（a 0）的式子叫做二次根式， “ ”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数六、布置作业综合提高题1当 x 是多少时， 23x+x2 在实数范围内有意义？2若 3+ 有意义，则 2x=_3.使式子 2(5)x有意义的未知数 x 有（ ）个A0 B1 C2 D无数4.已知 a、b 为实数，且 5a+2 102a=b+4，求 a、b 的值16.1 二次根式(2)第二课时教学内容1 a（a 0）是一个非负数；2 （ ） 2=a（a0）
6、教学目标理解 （a 0）是一个非负数和（ a） 2=a（a 0） ，并利用它们进行计算和化简通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ ） 2=a（a0） ；最后运用结论严谨解题教学重难点关键1重点： a（a 0）是一个非负数；（ ） 2=a（a0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出 （a 0）是一个非负数； 用探究的方法导出（ ） 2=a（a0） 教学过程一、复习引入（学生活动）口答1什么叫二次根式？2当 a0 时， 叫什么？当 a0；（2）a 20；（3）a 2+2a+1=（a+1）0；（4）4x 2-12x+9=（2x
7、） 2-22x3+32=（2x-3） 20所以上面的 4 题都可以运用（ ） 2=a（a0）的重要结论解题解：（1）因为 x0，所以 x+10（ ） 2=x+1（2）a 20，（ 2a） 2=a2（3）a 2+2a+1=（a+1） 2又（a+1） 20，a 2+2a+10 ， 21a=a2+2a+1（4）4x 2-12x+9=（2x） 2-22x3+32=（2x-3） 2又（2x-3） 204x 2-12x+90，（ 2419x） 2=4x2-12x+9例 3 在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x2-3练习 ppt18、19五、归纳小结 ppt221 a（
8、a0）是一个非负数；2 （ ） 2=a（a0）; 反之:a=（ a） 2（a0） 六、布置作业1.已知 1xy+ 3x=0，求 xy 的值2在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x2-516.1 二次根式(3)第三课时教学内容 2aa（a 0）教学目标 理解 =a（a0）并利用它进行计算和化简通过具体数据的解答，探究 2=a（a0） ，并利用这个结论解决具体问题教学重难点关键1重点： 2aa（a 0） 2难点：探究结论3关键：讲清 a0 时， 2a 才成立教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1形如 a（a 0）的式子叫做二次根式；2 （a 0）是一个
9、非负数；3( )2a（a0） 那么，我们猜想当 a0 时， 2=a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题二、探究新知（学生活动）填空：2=_； 20.1=_； 21()0=_；2()3=_； 2=_； 23()7=_（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：2=2； 20.1=0.01； 21()0= ； 2()3= ； 20=0； 23()7= 因此，一般地： 2a=a（a0）例 1 化简（1） 9 （2） 2(4) （3） 5 （4） 2(3)分析：因为（1）9=-3 2， （2） （-4） 2=42， （3）25=5 2，（4） （-3） 2=32，所以都可运用 a=a（a 0
10、） 去化简解：（1） 9= 3=3 （2） 2(4)= =4 （3） 25= =5 （4） 3= =3三、巩固练习教材 P4 练习四、应用拓展例 2 填空：当 a0 时， 2=_；当 aa，则 a 可以是什么数？例 3 当 x2，化简 2()x- 2(1)x分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握： 2a=a（a0）及其运用，同时理解当 a、0 ） ，反过来 ab= （a0， b0）及利用它们进行计算和化简教学目标理解 ab= （a 0，b0 ）和 ab= （a0， b0）及利用它们进行运算利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教
11、学重难点关键1重点：理解 ab= （a 0，b0 ） ， ab= （a0，b0）及利用它们进行计算和化简2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1写出二次根式的乘法规定及逆向等式 （PPT2、3）2填空（ppt4）（1） 96=_， 916=_；（2） 3=_， 3=_；（3） 416=_， 416=_；（4） 8=_， 38=_规律： 916_ ； 163_ ； 416_ ；38_ 3利用计算器计算填空:（1） 4=_， （2） 3=_， （3） 25=_， （4）78=_规律： 34_ ； 23_ ； 25_ ； 78_ 。每组推
12、荐一名学生上台阐述运算结果（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：（ppt5 ）ab= （a0，b0） ，反过来， = （a0，b0 ）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目例 1 （ppt5）计算：（1） 123 （2） 18 （3） 146 （4） 8分析：上面 4 小题利用 ab= （a 0，b0 ）便可直接得出答案解：（1） 23= 1= 4=2 （2） 8= 3842= 3=2（3） 146= 16= =2（4） 8= = =2 2例 2化简：（ppt7）（1） 364 （2）26
13、49ba（3） 2964xy （4） 25169xy分析：直接利用 = b（a 0，b0 ）就可以达到化简之目的解：（1） 364= 8（2）29ba=23ba（3） 264xy= 28xy （4） 2519= 2513三、巩固练习教材 P10 练习；ppt6 、8四、应用拓展例 3已知 96x，且 x 为偶数，求（1+x）2541x的值分析：式子 ab= ，只有 a0，b0 时才能成立因此得到 9-x0 且 x-60，即 60 ）和 ab= （a0，b0）及其运用六、布置作业16.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标
14、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键1重点：最简二次根式的运用2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1计算（1） 35， （2） 7， （3） 82a老师点评： = 1， = 6， =2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km，h 2km，那么它们的传播半径的比是_它们的比是 12Rh二、探索新知（ppt9、10）观察上面计算题 1 的最后结果，
15、可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐 34 个人到黑板上板书老师点评：不是 12Rh= 1212h.例 1(1) 53; (2) 242xy; (3) 238xy例 2如图，在 RtABC 中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB 的长BAC、 10解：因为 AB2=AC2+BC2所以 AB= .56= 16913()342=6.5（cm）因此 AB 的长为 6.5cm三、巩固练习
16、教材 P10 练习 2、3；ppt11、12、13、14四、应用拓展 ppt9例 3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：12= (1)2= -1，3= (3)32= - 2，同理可得： 14= - ，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（ 21+ 32+ 3+ 120） （ 20+1）的值分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式=（ -1+ - + 4- + - 201）（ 20+1）=（ 20-1） （ 02+1）=2002-1=2001五、归纳小结 ppt9、10本节课应掌握：最简二次根式的概念及
17、其运用六、布置作业16.3 二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简重难点关键1重点：二次根式化简为最简根式2难点关键：会判定是否是最简二次根式教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式（1）2x+3x； （2）2x 2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a 2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减（2）最简二次根式 ppt2、3（3）引入同类二次根式 ppt
18、4、5、6、7二、探索新知学生活动：计算下列各式（1）2 +3 2 （2）2 8-3 +5 （3） 7+2 +3 97 （4）3 -2 3+ 2老师点评： （1）如果我们把 2当成 x，不就转化为上面的问题吗？2 +3 =（2+3） =5 2（2）把 8当成 y；2 -3 +5 =（2-3+5） 8=4 =8 2（3）把 7当成 z；+2 + 9=2 +2 +3 =（1+2+3） 7=6（4） 3看为 x， 2看为 y3 -2 +=（3-2） 3+ 2= +因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 与 8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的（板书）3 2+ 8=3 +2 2=5
19、3 + 7=3 3+3 =6所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并（ppt8） 例 1计算(ppt8)（1） 8+ （2） 16x+ 4分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并(ppt10)解：（1） + =2 +3 =（2+3） 2=5（2） 6x+ 4=4 x+8 =（4+8） x=12例 2计算(ppt910)（1）3 8-9 13+3 2（2） （ 4+ 0）+（ - 5）解：（1）3 8-9 13+3 2=12 3-3 +6 =（12-3+6） 3=15（2） （ 4+ 0）+（ -
20、 5）= 48+ 20+ 1- 5=4 +2 5+2 - =6 +例 3 课本第 13 页 ppt15三、巩固练习教材 P13 练习 1、2Ppt11、12、13、14、16、17、18四、应用拓展例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 293x+y2 3xy）-（x 2 1-5x yx）的值分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1） 2+（y-3）2=0，即 x= 1，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值解：4x 2+y2-4x-6y+10=04x 2-4x+1+y2-6y+9=0（2x-1）
21、2+（y-3） 2=0x= 1，y=3原式= 93x+y2 3xy-x2 1+5x yx=2x + -x +5=x x+6 y当 x= 12，y=3 时，原式= +6 32= 4+3 6五、归纳小结 ppt10、20、21本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并六、布置作业综合提高题1已知 52.236，求（ 80- 415）-（ 3+ 45）的值 （结果精确到0.01）2先化简，再求值（6x yx+ 3）-（4x xy+ 36） ，其中 x= 32，y=2716.3 二次根式的加减(2)第二课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除
22、；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算教学过程一、复习引入 ppt2、3、4、5、6、7、8、9学生活动：请同学们完成下列各题:1计算（1） （2x+y）zx （2） （2x 2y+3xy2）xy2 二次根式的加减混合运算 ppt103.计算（1） （2x+3y） （2x-3y） （2） （2x+1） 2+（2x-1） 2老师点评：
23、这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1）单项式单项式；（2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用二、探索新知如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式例 1（ppt11） 计算（1） （ 6+ 8） 3 （2） （4 6-3 2）2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律解：（1） （ + ） = 3+ 8= 8+ 24=3 +2 6解：
24、（4 -3 ）2 2=4 2 -3 22=2 3- 2例 2 (ppt12).计算（1） （ 5+6） （3- ） （2） （ 10+ 7） （ - ）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解：（1） （ +6） （3- 5）=3 5-（ ） 2+18-6=13-3（2） （ 10+ 7） （ - ）=（ 10） 2-（ 7） 2=10-7=3三、巩固练习课本 P141、2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算六、布置作业综合提高题1化简 57014212当 x= 时，求 2xx+2x的值 （结果用最简二次根式表示）课外知识1同类二次根式：几个
25、二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A 2x与 y B 3489ab与 582C mn与 D mn与2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b） （a-b）=a 2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1- 2x与x+1+ 2x就是互为有理化因式； x与 1也是互为有理化因式练习： + 3的有理化因式是_；x- y的有理化因式是_- 1x- 的有理化因式是 _3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分
26、母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的练习：把下列各式的分母有理化（1） 5； （2） 13； （3） 26； （4） 3424其它材料：如果 n 是任意正整数，那么 21n=n 2理由： 21=3322n=n 2练习：填空 3=_； 8=_； 415=_二次根式复习课教学目标1使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子教学过程设计一、复习1请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各
27、式成立的条件指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式2二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化3在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例 1 x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含 x 的单项
28、式，因此 x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零x-2 且 x0解因为 n2-90，9-n 20，且 n-30，所以 n2=9 且 n3，所以例 3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件 3-a0 和 1-a0解 因为 1-a0，3-a0，所以a1，|a-2|2-a(a-1)(a-3)=-(1-a)-(3-a)=(1-a)(3-a)0这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平
29、方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算解注意：所以在化简过程中，例 6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷a+b2(n+2)，ab=(n+2) 2-(n2-4)4(n+2) ， 三、课堂练习1选择题：Aa2 Ba2Ca2 Da2Ax+2 B-x-2C-x+2 Dx-2A2x B2aC-2x D-2a2填空题：4计算：四、小结1本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握2在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围3运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件4通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题五、作业1x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2把下列各式化成最简二次根式：
