1、(2019全国 1)10.已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点.若C)0,1(F),(22FCAB， ，则 的方程为（ ）|2|BFA|1AA. B. C. D.1yx23yx1342yx1452yx答案：B解答：由椭圆 的焦点为 ， 可知 ，又 ， ，可设 ，则C)0,1(F),(21c|2|BFA|1FAmB|2， ，根据椭圆的定义可知 ，得 ，所以mA2|mAB3|1 am23|21， ，可知 ，根据相似可得 代入椭圆的标准方程 ，得aB| F|2),0(b),3(b12byx， ， 椭圆 的方程为 .3222cbC12yx(2019全国 1)16.已知双曲线 C: 的
2、左、右焦点分别为 ，过 的直线与 的21(0,)xyab12,F1C两条渐近线分别交于 两点.若 ，则 的离心率为 .,AB112,FABurruC答案：2解答：由 知 是 的中点， ，又 是 的中点，所以 为中位线且112,0FurruA112FurO12,FOA，所以 ，因此 ，又根据两渐近线对称， ，所以OAB1OFBA12FB， .26022()tan60be(2019全国 1) 19.已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交xyC3:2F23lCABx点为 .P（1）若 ，求 的方程；4|BFAl（2）若 ，求 .3|答案：（1） ；078xy（2） .
3、34解答：（1）设直线 的方程为 ，设 ， ，lbxy23),(1yxA),(2B联立直线 与抛物线的方程： 消去 化简整理得 ，lxy32y0)3(4922bxx， ， ，依题意 可知 ，049)3(22bb1)3(2b4|BFA4231x即 ，故 ，得 ，满足 ，故直线 的方程为 ，即521x5)(87b0l8723y.078y（2）联立方程组 消去 化简整理得 ， ， ， ，xyb32022by084b212y， ，可知 ，则 ，得 ， ，故可知 满足 ，by1PBA213y2123y30.14|9|1| 22ykB（2019 全国 2）8. 若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则 （
4、）)0(2px132pyxpA.2 B.3 C.4 D.8答案：D解答：抛物线 的焦点是 ，椭圆 的焦点是 ，)0(2pxy)0,2(p132pyx)0,2(p ， .p8（2019 全国 2）11. 设 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆F2:1(0,)xyCabOF与圆 交于 两点，若 ，则 的离心率为（ ）xya,PQ|OFCA. B. C. D.2325答案:A解答： ， ,|PQOFc90PQ又 ，|a22c解得 ，即 . 2ce（2019 全国 2）21. 已知点 ，动点 满足直线 和 的斜率之积为 ，记 的(2,0)(,AB(,)MxyABM12M轨迹为曲线 .C（
5、1）求 的方程，并说明 什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 于 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 并延长交 于,PQPExEQC点 .G证明： 是直角三角形；PQ求 的面积的最大值. 答案：见解析解答：(1)由题意得： ，化简得： ，表示焦点在 轴上的椭圆（不含与 x轴12yx21(2)4xyxx的交点）.(2) 依题意设 ，直线 的斜率为 ，则110(,)(,)(,)PyQxyGPQk(0)，100110,PGGykkx ，210PQy又 ，112GEkkx ，Pk ，即 Q是直角三角形.直线 PQ的方程为 ，联立 ，得 ，(0)ykx214ykx12xky则直线 ，211 1:(
6、) kGyxyxkxk联立直线 和椭圆 ，可得 ，PC2222114()()() 40kk则 ， 21104()xk 21104()()PQGxSyx，224288()8()5()5kkk令 ，则 ，1tk2t ，22881()5PQGtSt t ，min19()t .ax6()9PQGS（2019 全国 3）10.双曲线 ：的右焦点为，点 为 的一条渐近线的点， 为坐标原点.若C214xyFPCO则 的面积为（ ）|POFA: B: C: D:32423答案:A解析：由双曲线的方程 可得一条渐近线方程为 ；在 中 过点 做 垂直204xy2yxPFO|PH因为 得到 ;所以 ;故选 A;OF
7、tanPF=232O13264SPF（2019 全国 3）15.设 、 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限，若120362yxC： MC为等腰三角形，则 的坐标为_.21FMM答案： )5,3(解析：已知椭圆 可知， ， ，由 为 上一点且在第一象限，故等腰三角形 中12036yxC： 6a4cC21FM， , , ，代821FM12MF41582sin215sin212FyM入 可得 .故 的坐标为 .036yxC： 3x)5,3(（2019 全国 3）21.已知曲线 ， 为直线 上的动点.过 作 的两条切线,切点分别是 , ,2:xCyD12yDCAB（1 ）证明：直线 过定点;
8、AB（2 ）若以 为圆心的圆与直线 相切,且切点为线段 的中点,求四边形 的面积.5(0,)2EABABABE答案：见解析；解答：（1 ）当点 在 时，设过 的直线方程为 ，与曲线 联立化简得D1(0,)2D012ykxC，由于直线与曲线相切，则有 ，解得 ，20xk401k并求得 坐标分别为 ，所以 直线 的方程为 ；,AB(1,)ABy当点 横坐标不为 时，设直线 的方程为 （ ） ，由已知可得直线Dykxm不过坐标原点即 ，联立直线 方程与曲线 的方程可得， ，0mC2ykxm消 并化简得 ，有两个交点 ，y2xk2480k设 ， ，根据韦达定理有，1(,)A2(,)By， ，2xk1x
9、m由已知可得曲线 为抛物线等价于函数 的图像，C2()xf则有 ，则抛物线在 上的切线方程为 ，()fx1(,Axy11()yx同理，抛物线在 上的切线方程为 ，2(,)By22()联立，并消去 可得 ，x121yx由已知可得两条切线的交点在直线 上，则有，22112xx化简得， ， ， ，11212()x0k12x即 ，即为 ，解得 ，经检验 满足条件，12x214m1212m所以直线 的方程为 过定点 ，ABykx(0,)综上所述，直线 过定点 得证.1(,)2（2 ）由（1 ）得直线 的方程为 ，ykx当 时，即直线 方程为 ，此时点 的坐标为 ，0kABD1(0,)2以 为圆心的圆与直
10、线 相切于 恰为 中点，5(,)2E1(0,)2FAB此时 ；123ADBSE当 时，直线 方程与曲线方程联立化简得 ，0k 210xk， ， ，12x12x211yk则 中点坐标为 ，AB(,)Hk由已知可得 ，即 ，E2510EHk解得， ，1k由对称性不妨取 ，则直线方程为 ，2yx求得 的坐标为 ， ，D(,)24AB到直线 距离 ， 到直线 距离 ，EAB1502dDAB21()2d则 ，1242DS综上所述，四边形 的面积为 或 .E3（2019 北京）4.已知椭圆 （ab0）的离心率为 ，则2 1xy12A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b【
11、答案】B【解析】 【分析】由题意利用离心率的定义和 的关系可得满足题意的等式.,abc【详解】椭圆的离心率 ,化简得 ,221,e234ab故选 B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.（2019 北京）18.已知抛物线 C：x 2=2py 经过点（2，1） （）求抛物线 C 的方程及其准线方程；（）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N ，直线 y=1 分别交直线 OM， ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点【答案】() ， ；24xy1()见解析.
12、【解析】 【分析】()由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；()联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令 x=0 即可证得题中的结论.【详解】() 将点 代入抛物线方程： 可得： ，2,121p2p故抛物线方程 为 ： ，其准线方程为： .4xyy()很明显直线 的斜率存在，焦点坐标为 ，l 0,设直线方程为 ，与抛物线方程 联立可得： .1ykx24xy240xk故： .1224,x设 ，则 ，12,xMN12,4OMONxk直线 的方程为 ，与 联立可得： ，同理可得 ，O14yxy1,Ax24,1Bx易知以 AB 为直径的圆的
13、圆心坐标为： ，圆的半径为： ，12,x12且： ， ，1212xkx2112124xxkx则圆的方程为： ，4y令 整理可得： ，解得： ，0x230123,y即以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 .,0【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019 天津）5.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若与双曲线 的两条渐近24yxFl21(0,)xyab线分别交于点 A和点 B，且 （ 为原点） ，则双曲线的离心率为|OA. B. C. 2 D. 23 5【答案】D【解析】【分析
14、】只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。4ABOF,abc【详解】抛物线 的准线 的方程为 ，2yxl1x双曲线的渐近线方程为 ，a则有(1,)(,)bABa ， ， ，242ba 。25cae故选 D。【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出 AB 的长度。（2019 天津）18.设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为21(0)xyabFB.5（）求椭圆的方程；（）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.PMPBxNy若 （ 为原点） ，且 ，求直线 的斜率.|ONF
15、OPN【答案】 （） （） 或 .2154xy2305【解析】【分析】()由题意得到关于 a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程确定点 P的坐标，从而可得 OP的斜率，然后利用斜率公式可得 MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】() 设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， b=2， c=1.c524,cba22bc5a所以，椭圆方程为 .2154xy()由题意，设 .设直线 的斜率为 ，,0,PMxPB0k又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 ，02,BB2ykx2154yx整理得 ，可得 ，24
16、50kx2045Pk代入 得 ，y28145Pky进而直线 的斜率 ，O20Pxk在 中，令 ，得 .2ykxyM由题意得 ，所以直线 的斜率为 .0,1NN2k由 ，得 ，OPMN245110k化简得 ，从而 .25k35所以，直线 的斜率为 或 .PB20【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.（2019 上海）10如图，已知正方形 OABC，其中 (1)a，函数 23yx交 BC于点 P，函数12yx交AB于点 Q，当 |AP最小时，则 a的值为 【解答】解：由题意得： P点坐标为
17、(3a， )， Q点坐标为 1(,)a，1| 23aAQCP，当且仅当 时，取最小值，故答案为： 3（2019 上海）11在椭圆214xy上任意一点 P， Q与 关于 x轴对称，若有 12FPA，则 1FP与2FQ的夹角范围为 【解答】解：设 (,)Pxy，则 Q点 (,)xy，椭圆214xy的焦点坐标为 2， 0， (2， 0)，12FA，221xy，结合 4可得： 21y， 故 1FP与 2Q的夹角 满足： 222212 38cos 1()8xyyxA， 3故 arcos3， 故答案为： 1，（2019 上海）20已知抛物线方程 24yx， F为焦点， P为抛物线准线上一点， Q为线段 P
18、F与抛物线的交点，定义： |()PFdQ（1）当 81,3时，求 ()；（2）证明：存在常数 a，使得 2|dPFa；（3） 1P， 2， 3为抛物线准线上三点，且 123|P，判断 13()dP与 2()d的关系【解答】解：（1）抛物线方程 24yx的焦点 (,0)， 8(,，8432PFk， 的方程为 (1)3，代入抛物线的方程，解得 14Qx，抛物线的准线方程为 x，可得 26410|93PF，15|4Q， |8()3dQ；（2）证明：当 ,0P时， 2()|2ad，设 (1,)y， ， :1Fxmy，则 Py，联立 xm和 24，可得 240，224161Qmm，22 22()|1(1
19、)PPQydFymA2211mA，则存在常数 a，使得 ()|dPFa；（3）设 1(,)Py， 21,y， 3(1,)y，则 222312132)4(|44dpdPyy222 22313 13134()4()6yy，由 2222213131313()()648yy，1 34)(48()0yyy，则 132()dPdP（2019 江苏）10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距4(0)yx离的最小值是_.【答案】4【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线 平移到与曲线 相切位置
20、时，切点 Q 即为点 P 到直线 的距离最小.2gRr4yx2gRr由 ，得 ， ，241yx2()x舍 32即切点 ，(,3)Q则切点 Q 到直线 的距离为 ，2gRr241故答案为：4【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.（2019 江苏）17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 的焦点为 F1（1、0） ，21(0)xyabF2（1，0） 过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F2: 交于点 A，与椭圆 C 交于点 D.22()4连结 AF1并延长交圆 F2于
21、点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1= 5（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标【答案】 （1） ；2143xy（2） .(,)2【解析】【分析】(1)由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点 B 的坐标，联立直线 BF2与椭1AF圆的方程即可确定点 E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点 E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点 E 的坐标.【详解】 （1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F1(1，0)，F 2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1.又因为 DF1=
22、，AF 2x 轴，所以 DF2= ，522153()D因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2由 b2=a2-c2，得 b2=3.因此，椭圆 C 的标准方程为 .2143xy（2）解法一：由（1）知，椭圆 C： ，a=2，2xy因为 AF2x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F2的方程( x-1) 2+y2=16，解得 y=4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4).又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2.由 ，得 ，26y250解得 或 .1x将 代入 ，得 ，52yx125y因此 .又 F2(1，0)，所以直线 BF2： .1(,)B3(1)4
23、yx由 ，得 ，解得 或 .23()41yx276130x1x37又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 .将 代入 ，得 .因此 .1x3(1)4yx32y3(1,)2E解法二：由（1）知，椭圆 C： .如图，连结 EF1.23因为 BF2=2a，EF 1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而BF 1E=B.因为 F2A=F2B，所以A =B，所以A= BF 1E，从而 EF1F 2A.因为 AF2x 轴，所以 EF1 x 轴.因为 F1(-1，0)，由 ，得 .243y32又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 .y因此 .3(1,)【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭
24、圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.（2019 浙江）2.渐近线方程为 的双曲线的离心率是（ ）0xyA. B. 1 C. D. 22【答案】C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算1ab能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为 ，所以 ，则 ，双曲线的离心率0xy=2cab.2cea【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.（2019 浙江）15.已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以
25、2195xyFPxPF原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_ .OF【答案】 15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法 1：由题意可知 ，|=|2OFMc由中位线定理可得 ，设 可得 ，2|4P(,)Pxy2()16y联立方程2195xy可解得 （舍） ，点 在椭圆上且在 轴的上方，3,2Px求得 ，所以315,2P152PFk方法 2：焦半径公式应用解析 1：由题意可知 ，| 2OF=M|c由中位线定理可得 ，即12|4PFOM342ppaex求得
26、 ，所以 .35,2512PFk【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.（2019 浙江）21.如图，已知点 为抛物线 ，点 为焦点，过点 的直线交抛物线于(10)F，2(0)ypxF两点，点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧.记,ABCVABCGACxQF的面积为 .FGQ 12,S（1）求 的值及抛物线的标准方程；p（2）求 的最小值及此时点 的坐标.12SG【答案】 （1）1， ；（2） ， .x312,0【解析】【分析】(1)由焦点坐标确定 p 的值和准线方程即可；(2
27、)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得 的最小值和点 G 的坐标.12S【详解】(1)由题意可得 ，则 ，抛物线方程为 ，准线方程为 .1p2,4p24yx1x(2)设 ，12,AxyB设直线 AB 的方程为 ，与抛物线方程 联立可得：1,0kx24yx，故： ，2224kx22,1kx，12121212,44yxyxk设点 C 的坐标为 ，由重心坐标公式可得：3,xy， ，12Gx324k123Gy34yk令 可得： ，则 .即 ，0y3y234xk2218xk由斜率公式可得： ，13132134ACyky直线 AC 的方程为
28、： ，331yxy令 可得： ，0y2333131344Qyyx故 ，11 122882GFSy kk且 ，32 2134Qyx由于 ，代入上式可得： ，34yk1228Skk由 可得 ，则 ，1212,y14y124y则211122834Syykk 2121486y.212143286y当且仅当 ，即 ， 时等号成立 .21212143y162y此时 ， ，则点 G 的坐标为 .214yk28Gxk,0【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
