1、二次函数中矩形的存在性问题1参考答案1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，ODE 是OCB 绕点 O顺时针旋转 90得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程x26x+8=0 的两个根，且 OCBC（1）求直线 BD 的解析式；（2）求OFH 的面积；（3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由1. 分析： （1）解方程可求得 OC、BC 的长，可求得 B、D 的坐标，利
2、用待定系数法可求得直线 BD 的解析式；（2）可求得 E 点坐标，求出直线 OE 的解析式，联立直线 BD、OE 解析式可求得 H 点的横坐标，可求得OFH的面积；（3）当MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点 N，分MFD=90、MDF=90和FMD=90三种情况，分别求得 M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得 N 点坐标解答： 解：（1）解方程 x26x+8=0 可得 x=2 或 x=4，BC、OC 的长是方程 x26x+8=0 的两个根，且OCBC，BC=2，OC=4，B（2，4） ，ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的，OD=OC=4
3、，DE=BC=2，D（4，0） ，设直线 BD 解析式为 y=kx+b，把 B、D 坐标代入可得 ，解得 ，直线 BD 的解析式为 y= x+ ；（2）由（1）可知 E（4，2） ，设直线 OE 解析式为 y=mx，把 E 点坐标代入可求得 m= ，直线 OE 解析式为 y= x，令 x+ = x，解得 x= ，H 点到 y 轴的距离为 ，又由（1）可得 F（0， ） ，OF= ，S OFH = = ；（3）以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形，DFM 为直角三角形，当MFD=90时，则 M 只能在 x 轴上，连接 FN 交 MD 于点 G，如图 1，由（2）可知 OF= ，OD=4，则
4、有MOFFOD， = ，即 = ，解得 OM= ，M（ ，0） ，且 D（4，0） ，G（ ，0） ，设 N 点坐标为（x，y） ，则 = ， =0，解得 x= ，y= ，此时 N 点坐标为（ ， ） ；二次函数中矩形的存在性问题2当MDF=90时，则 M 只能在 y 轴上，连接 DN 交 MF 于点 G，如图 2，则有FODDOM， = ，即 = ，解得 OM=6，M（0，6） ，且 F（0， ） ，MG= MF= ，则 OG=OMMG=6 = ，G（0， ） ，设 N 点坐标为（x，y） ，则 =0， = ，解得 x=4，y= ，此时 N（4， ） ；当FMD=90时，则可知 M 点为 O
5、 点，如图 3，四边形 MFND 为矩形，NF=OD=4，ND=OF= ，可求得 N（4， ） ；综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（ ， ）或（4， ）或（4， ） 2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线 与 x 轴交与 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，23yx与 y 轴交于点 C. 点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴相交于点 E.（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FG AD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求 FGH 的周长的最大值；（3）点
6、M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A， M， P， Q 为顶点的四边形是 AM 为边的矩形，若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标.xy xy xy26图226图126图1 CBAOCAOHGEDCBAOF M M答案解： AD： yx过点 F 作 x 轴的垂线，交直线 AD 于点 M，易证 FGH FGM故 GHMC 设 2(,3)m则 FM= 2(1m则 C= 219)()4FF二次函数中矩形的存在性问题3故最大周长为 9+24若 AP 为对角线如图，由 PMS MAR 可得 由点的平移可知 故 Q 点关于直线 AM 的对称
7、点 T 为 9(0,)2P1(2)， 1(0,)2若 AQ 为对角线如图，同理可知 P 由点的平移可知 Q 故 Q 点关于直线 AM 的对称点 T 为 1(0,)27(2,) 9(0,)23. (2016 山东省东营市) 】 】 在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是（0，4） 、 （1，0） ，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 ABOC（1）若抛物线经过点 C、A、A，求此抛物线的解析式；（2）点 M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标；（3）若 P 为抛
8、物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为（1，0） ，当 P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标分析（1）由平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 ABOC，且点 A 的坐标是（0，4） ，可求得点 A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、A、A的抛物线的解析式；（2）首先连接 AA，设直线 AA的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线 AA的解析式，再设点 M 的坐标为：（x，x 2+3x+4） ，继而可得AMA的面积，继而求得答案；（3）分别从 BQ 为边与 BQ 为对角线去
9、分析求解即可求得答案解答解：（1）平行四边形 ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 ABOC，且点 A 的坐标是（0，4） ，点 A的坐标为：（4，0） ，点 A、C 的坐标分别是（0，4） 、 （1，0） ，抛物线经过点 C、A、A，设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c， ，解得： ，此抛物线的解析式为：y=x 2+3x+4；（2）连接 AA，设直线 AA的解析式为：y=kx+b， ，解得： ，直线 AA的解析式为：y=x+4，设点 M 的坐标为：（x，x 2+3x+4） ，二次函数中矩形的存在性问题4则 SAMA = 4x 2+3x+4（x+4）=2x 2+8x=2（
10、x2） 2+8，当 x=2 时，AMA 的面积最大，最大值 SAMA =8，M 的坐标为：（2，6） ；（3）设点 P 的坐标为（x，x 2+3x+4） ，当 P，N，B，Q 构成平行四边形时，平行四边形 ABOC 中，点 A、C 的坐标分别是（0，4） 、 （1，0） ，点 B 的坐标为（1，4） ，点 Q 坐标为（1，0） ，P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，当 BQ 为边时，PNBQ，PN=BQ，BQ=4，x 2+3x+4=4，当x 2+3x+4=4 时，解得：x 1=0，x 2=3，P 1（0，4） ，P 2（3，4） ；当x 2+3x+4=4 时，解得：x 3= ，x
11、2= ，P 3（ ，4） ，P 4（ ，4） ；当 PQ 为对角线时，BPQN，BP=QN，此时 P 与 P1，P 2重合；综上可得：点 P 的坐标为：P 1（0，4） ，P 2（3，4） ，P 3（ ，4） ，P 4（ ，4） ；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点 N 的坐标为：（0，0）或（3，0） 4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线 y=x2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（a，8） 、B 两点，点 P 是抛物线上 A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 AB 交于点 C 和点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若 C 为 AB
12、中点，求 PC 的长；（3）如图，以 PC，PE 为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（m，n） ，请求出 m，n 之间的关系式分析（1）把 A 点坐标代入直线方程可求得 a 的值，再代入抛物线可求得 b 的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得 B 点坐标，过 A 作 AQx 轴，交 x 轴于点Q，可知 OC= AQ=4，可求得 C 点坐标，结合条件可知 P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标，从而可求得 PC 的长；（3）根据矩形的性质可分别用 m、n 表示出 C、P 的坐标，根据 DE=CP，可得到m、n 的关系式解：（1）A（a，8）是抛物线和直线的
13、交点，A 点在直线上，二次函数中矩形的存在性问题58=2a+4，解得 a=2，A 点坐标为（2，8） ，又 A 点在抛物线上，8=2 2+2b，解得 b=2，抛物线解析式为 y=x2+2x；（2）联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 ， ，B 点坐标为（2，0） ，如图，过 A 作 AQx 轴，交 x 轴于点 Q，则 AQ=8，OQ=OB=2，即 O 为 BQ 的中点，当 C 为 AB 中点时，则 OC 为ABQ 的中位线，即 C 点在 y 轴上，OC= AQ=4，C 点坐标为（0，4） ，又 PCx 轴，P 点纵坐标为 4，P 点在抛物线线上，4=x 2+2x，解得 x=1 或 x= 1，P
14、点在 A、B 之间的抛物线上，x=1 不合题意，舍去，P 点坐标为（ 1，4） ，PC= 10= 1；（3）D（m，n） ，且四边形 PCDE 为矩形，C 点横坐标为 m，E 点纵坐标为 n，C、E 都在直线 y=2x+4 上，C（m，2m+4） ，E（ ，n） ，PCx 轴，P 点纵坐标为 2m+4，P 点在抛物线上，2m+4=x 2+2x，整理可得 2m+5=（x+1） 2，解得 x= 1 或 x= 1（舍去） ，P 点坐标为（ 1，2m+4） ，DE= m，CP= 1m，四边形 PCDE 为矩形，DE=CP，即 m= 1m，整理可得 n24n8m16=0，即 m、n 之间的关系式为 n2
15、4n8m16=05. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点 A(0，3)，B（ 3,） ，对称轴为直线 1x，点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 分别作 PM x 轴于点 M， PN y 轴于点 N，在四边形 PMON 上分别截取 1,.33CDOENFP（1）求此二次函数的解析式； 二次函数中矩形的存在性问题6（2）求证：以 C， D， E， F 为顶点的四边形 CDEF 是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点 P，使四边形 CDEF 为矩形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设二次函数的解析式为 2yaxbc,将点 A（
16、0，-3） 、 B（ 3,） 、对称轴方程分别代入可得：3,1.2cab，解得1,3.此二次函数的解析式为 2yx.（2）证明：如图连接 CD， DE， EF， FC. PM x 轴， PN y 轴，四边形 OMPN 是矩形. MP=ON， OM=PN.又 11,33PCMDOENFP FNCMD ENF,同理ODE FPC(SAS), CF=ED， CD=EF.,四边形 CDEF 是平行四边形.（3）如图，作 CQ y 轴于点 Q，设 P 点坐标为 2,3x，则 1.3QPCOEM 13.在 Rt ECQ中， 22.9xx当 CD DE 时， 22222222 2221334,913,414
17、39953.DExxCMxEDxx二次函数中矩形的存在性问题72 2221533,994.xx12123,;,.331.xxyP当 时此 时 ，当 时 ，此 时 ， ，综 上 可 知 符 合 条 件 的 点 有 四 个 ，分 别 是 ， ， ， -， ， ， ， -本题用相似更简单！6如图所示，抛物线 y=ax2+bx3 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线 BC 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PEBC 于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC于点 F，求PEF 周长的最大值；（3）已知点 M 是抛物
18、线的顶点，点 N 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，若点 P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM 为边的正方形？若存在，直接写出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）把 A（1，0） ，B（3，0）两点坐标代入抛物线 y=ax2+bx3，得到 ，解得 ，抛物线的解析式为 y=x22x3（2）如图 1 中，连接 PB、PC设 P（m，m 22m3） ，B（3，0） ，C（0，3） ，OB=OC，OBC=45，PFOB，PFE=OBC=45，PEBC，PEF=90，二次函数中矩形的存在性问题8PEF 是等腰直角三角形，P
19、E 最大时，PEF 的面积中点，此时PBC 的面积最大，则有 SPBC =SPOB +SPOC S BOC = 3（m 2+2m+3）+ 3m = （m ） 2+ ，m= 时，PBC 的面积最大，此时PEF 的面积也最大，此时 P（ ， ） ，直线 BC 的解析式为 y=x3，F（ ， ） ，PF= ，PEF 是等腰直角三角形，EF=EP= ，C PEF 最大值 = + （3）如图 2 中，当 N 与 C 重合时，点 N 关于对称轴的对称点 P，此时思想 MNQP 是正方形，易知 P（2，3） 点 P 横坐标为 2，如图 3 中，当四边形 PMQN 是正方形时，作 PFy 轴于 N，MEx 轴，PEy 轴易知PFNPEM，PF=PE，设 P（m，m 22m3） ，M（1，4） ，m=m 22m3（4） ，m= 或 （舍弃） ，P 点横坐标为所以满足条件的点 P 的横坐标为 2 或 二次函数中矩形的存在性问题9
