1、传球问题的统一解法及染色问题刘克让 1. 传球问题很多高中数学复习资料中常见有关传球和染色类型的问题.请看:例 1 甲、乙、丙三人相互传球 , 甲首先发球作为第一次传球 , 传球 5 次, 球在甲手中的不同方法有多少种?分析 此类问题解法很多，有的从传球方向分析；有的从中间持球人分析，但传球次数一多，则分类复杂，不易算对，且方法难以掌握. 本人以遇难则返的思想, 直接用树图求解,不但简单明快, 还能找到一般的解题规律。解: 由于持球人只能传球给其他 2 人, 所以:甲(传 1 次)乙 丙(传 2 次)甲 丙 甲 乙(传 3 次)乙 丙 甲 乙 乙 丙 甲 丙(传 4 次)甲 丙 甲 乙 乙 丙
2、 甲 丙 甲 丙 甲 乙 乙 丙 甲 乙容易看出, 若要第 5 次传球到甲手中, 只要乙丙二人传出即可。所以, 传球 5 次, 球在甲手中的不同方法有 10 种。此种方法有一般性：例 2 , 个人相互传球, 首先发球作为第一次传球, 传球1,ma (3)1an次, 球在 手中的不同方法有多少种? 球在甲手中的概率是多少？(3)n分析 1 次传球 传 种，其中 ：0（ 手中无球） ，传给其余人共：1a()11种；2 次传球 种，其中 ： 种，传给其余人共：(1)2()a()m种；3 次传球 种，其中 ： 种 ，传给其余人：()m3()m12()种；32()(1)次传球 种，其中 ： 种， （即n
3、n1a12()()(1)nnnmm次传给其余人的种数）1设 =S12()()()nnnm= =S11(1)()nnnm2()1()1nnm= .()()n用数学归纳法容易证得：定理 1 个人相互传球, 确定某人首先发球作为第一次传球, 传球m(3)次, 球在此人手中的不同方法有 种；球在甲手中的n() S(1)(1)nm概率 .(1)nSPm由此定理计算例 1： , （种）35n5(31)(31)0S2. 传球问题与染色问题的关系仍以例 1 为例. 若把甲、乙、丙三人看成“三种颜色” ，5 次传球到甲手中看成“染 5个区域，相邻区域不同染色，甲选定某色”.，求染法种数. 则两种提法实质是相同的
4、.例 3 现有三种不同颜色供选择染如图 5 个区域，且相邻区域不同色，求不同的染法种数.分析 由于 1 号区有三种染法，由定理 1 知：不同染法种数 5(3)(3)0.S 于是我们得到如下的（无心）染色定理:定理 2 有 种不同颜色供选择，染如图 个区域（把图中 5 改为 ） ，mn,3nm并且相邻区域不同色，则不同染法有 种.(1)(1)m例 4 甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由拿球者传给其他三人中任一人，这样共传了 4 次，则第 4 次球仍回到甲的方法有多少种？回到甲的概率是多少？（21；p= ）72此类问题还有研究空间，欢迎有兴趣的读者积极探索。12 345
