1、第 1 页总 12 页天大北洋教育知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义【典型例题】 【例 1】下列各式 1） 2221,2)5,3,4)5(),6,7)13xa，其中是二次根式的是_（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、a101a212、在 、 2b、 x、 2、 3中是二次根式的个数有 _个【例 2】若式子 13x有意义， 则 x 的取值范围是 来源:学*科*网 Z*X*X*K举一反三：1、使代数式 4x有意义的 x 的取值范围是（ ）A、x3 B、x3
2、C、 x4 D 、x3 且 x42、使代数式 有意义的 x 的取值范围是 213、如果代数式 有意义，那么，直角坐 标系中点 P（m，n）的位置在（ ）mnA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限【例 3】若 y= 5x+ x+2009，则 x+y= 第 2 页总 12 页解题思路：式 子 a（a0）， 50,x ，y=2009，则 x+y=2014举一反三：1、若 1x2()xy，则 xy 的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若 x、y 都是实数，且 y= ，求 xy 的值423、当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出这个最小值。a21a已知 a 是 整数部分，b 是 的小
3、数部分，求 的值。5512ab若 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 。3 3若 的整数部分为 x，小数部分为 y，求 的值.17x2知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性： 是一个非负数a()0注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中 经常用到2. ()()2注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a()203. 注意：（1）字母不一定是正数2|()（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必 须用它的算术平方根代替第 3 页总 12 页（3）可移到根号内的因式，必 须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4.
4、 公式 与 的区别与联系aa20|()()()a20（1） 表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一切实数（2） 表示一个数的算术平方根的平方， a 的范围是非负数()a（3） 和 的运算结果都是非负的2【典型例题】 【例 4】若 22340abc，则 cba 举一反三：1、若 ，则 的值为 。0)1(32nmmn2、已知 为实 数，且 ，则 的值为（ ）yx, 023yxyxA3 B 3 C1 D 13、已知直角三角形两边 x、y 的长满足x 24 0， 则第三边长为.6524、若 与 互为相反数， 则 。1ab2b205_ab（公式 的运用）)()(2【例 5】 化简： 21(3)a的
5、结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1 在实数范围内分解因式: = ； = 23x42m429_,_xx2 化简： 31第 4 页总 12 页3 已知直角三角形的两直角边分别为 和 ，则斜 边长为 25（公式 的应用）)0a(a2【例 6】已知 ,则化简 的结果是2x24xA、 B、 C、 D、 2x举一反三：1、根式 的值是( )23)A-3 B3 或-3 C3 D92、已知 a0）4二次根式的除法法则：两个数的算 术平方根的商，等于 这 两个数的商的算术平方根。= （a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右 边变形至等式的左边，同时
6、还要考虑字母的取值范围，最后把运算 结果化成最简二次根式【典型例题】 【例 16】化简(1) (2) (3) (4) ( ) (5) 9168115229xy0,1263第 9 页总 12 页【例 17】计算（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）【例 18】化简：(1) 364 (2)29ba(3) 2964xy (4) 25169xy )0,()0,()0,(【例 19】计算：(1) 13 (2) 128 (3) 1 （4） 8【例 20】能使等式 成立的的 x 的取值范 围是（ ）xA、 B、 C、 D、无解202知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】 需要
7、先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同 类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关 键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时 ，二次根式的被开方数 应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】 【例 20】计算（1） ； （2） ；1132750.3715430225537（3） ； （4）1127538213263278417第 10 页总 12 页【例 21】 （1） （2）243xyxyab（3） （4）32171083aa112aabb（5） （6）35814aa 2xyxy知识点七：二次根式计算二次根
8、式的混合计算与求值【知识要点】 1、确 定 运 算 顺 序 ；2、灵 活 运 用 运 算 定 律 ； 3、正 确 使 用 乘 法 公 式 ；4、大 多 数 分 母 有 理 化 要 及 时 ；5、在 有 些 简 便 运 算 中 也 许 可 以 约 分 ，不 要 盲 目 有 理 化 ；【典型习题】 1、 2、 (2 +4 3 )abab3)2(5 12 48第 11 页总 12 页3、 （-4 ） 4、12xy2162xy 673)27(知识点八：根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当 时，如果 ，则 ；如果 ，则 。0,ababab2、平方法 当 时，如果 ，则 ；如果 ，则 。2 23、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之 间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小 时， 经常运用如下性质： ；0abb0ab8、求商比较法它运用如下性质 ：当 a0，b0 时，则： ； 11【典型例题】 【例 22】 比较 与 的大小。 （用两种方法解答）35【例 23】比较 与 的大小。231【例 24】比较 与 的大小。15413第 12 页总 12 页【例 25】比较 与 的大小。765【例 26】比较 与 的大小 738
