1、,3.1.1 方程的根与函数的零点,问题情境:,(1)y=x2+2x-3与x2+2x-3=0,(2)y=x2+2x+1与x2+2x+1=0,(3)y=x2+2x+3与x2+2x+3=0,问题1：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)
2、的图象,判别式 = b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x1 、x2,问题2:二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有何关系?,结论:,二次函数图象与x轴交点的横坐标 就是相应方程的实数根。,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。,方程f(x)=0有实数根,函数零点的定义：,等价关系,观察二次函数f(x)=x22x3的图象:,2,1 f(2)0
3、f(1)0 f(2)f(1)0 （2,1）x1 x22x30的一个根,2,4 f(2)0 f(2)f(4)0 （2,4）x3 x22x30的另一个根,观察对数函数f(x)=lgx的图象:,0.5 , 1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0 （0.5 , 1.5) x1 lgx=0的一个根.,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。,结论,例,练习2、
4、求函数y=x2-5x+1的零点。,变式：判断函数y=x3-5x+1是否有零点。,练一练:,练习1、利用函数图象判断下列方程有没有根， 有几个根。,(2)5x2+2x=3x2+5,(1)lnx-2=0,练习4、求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间 (-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内。,变式：若函数y=5x2-7x-1在区间a,b上的图象是 连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有 零点，则f(a)f(b)的值( ) A、大于0 B、小于0 C、无法判断 D、等于零,总结：函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线： （1） f(a)f(b)0 函数
5、y=f(x)在区间(a,b)内有零点；,（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)f(b)0。,由表3-1和图3.13可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0，,说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。,由于函数f(x)在定义域 (0,+)内是增函数，所以 它仅有一个零点。,解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.13）,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,例题1 求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。,判断方法：,证明：,练习应用,1、课本P88练习 1,2,
6、利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,（1）f(x)= x33x+5；,（2）f(x)=2x ln(x2)3；,（3）f(x)=ex1+4x4;,（4）f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.,课本P88练习 2,解：作出函数的图象，如下：,因为f(1)=10,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)= x33x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(,） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。,f(x)= x33x+5,解：作出函数的图象，如下：,因为f(3)30,所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间(3,4)上有零点。又因为
7、f(x) =2x ln(x2)3是(2，）上的增函数， 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。,f(x)=2x ln(x2)3,解：作出函数的图象，如下：,因为f(0)3.630,所以f(x)= ex1+4x4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex1+4x4是( ， ）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。,f(x)=ex1+4x4,解：作出函数的图象，如下：,因为f(4)40, f(2)20, 所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间 (4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有 一个零点。,f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x,小结与思考,函数零点的定义,三个等价关系,函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断,作业：,P92 习题3.1 第2题,
