1、方程的根与函数的零点,温州大学拜城实验高中 肖生春,华罗庚说： “数缺形时少直观，形缺数时难入微”,【引例】 解方程,引入新课,问题1观察说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系.,x1=-1，x2=3,x1=x2=1,无实数根,两个交点 (-1,0),(3,0),一个交点 (1,0),没有交点,思考： 方程实根与对应的函数图象的关系？,结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.,引入新课,问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及相应的二次函数y= ax2+bx+
2、c(a0)的图象与x轴交点 的关系，上述结论是否仍然成立？,x1=-1，x2=3,x1=x2=1,无实数根,两个交点 (-1,0)，(3,0),一个交点 (1,0),没有交点,判别式, 0,= 0, 0,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,两个不相等的 实数根x1 、x2,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,x1,x2,x1,(x1,0), (x2,0),(x1,0),结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.,函数零点的定义,等价关系：,方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有
3、零点,问题3 函数的零点与方程的根有什么联系？,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点,注意：零点是自变量的值，而不是一个点,3,- 3,函数零点的定义,D,求函数零点的步骤：(1)令f(x)=0 (2)解方程f(x)=0 (3)写出零点.,第1组,第2组,探究3 现在有两组镜头（如图），哪 一组能说明她的行程一定曾渡河?,函数零点存在性的探究,观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象： 在区间（-2, 1）上有零点_； f(-2)=_，f(1)=_， f(-2)f(1)_0（“”） 在区间(2，4)上有零点_； f(2)=_，f(4)=_， f(2)
4、f(4)_0（“”）,探究:,问题4:在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点？,1,4,5,3,-3,5,问题5:在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点？,观察函数的图象并填空: 在区间a,b上f(a)f(b)_0(“”)在区间(a,b)上_(有/无)零点； 在区间b,c上f(b)f(c) _ 0(“”)在区间(b,c)上_(有/无)零点； 在区间c,d上f(c)f(d) _ 0(“”)在区间(c,d)上_(有/无)零点；,有,有,有,函数零点存在性的探究,c,c,如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0
5、，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根,函数零点存在性定理,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根,函数零点存在性定理：,思考探究：下列判断是否正确，不正确的请画图举出反例。 （1）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） （2）已知函数y=f (x)在区间a,
6、b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ） （3）已知函数y=f (x)在区间a,b 满足f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）,思考探究：下列判断是否正确，不正确的请画图举出反例。 （1）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ） （2）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ） （3）已知函数y=f (x)在区间a,b 满足f (a) f(b) 0，则f(x)在
7、区间(a,b)内存在零点. （ ）,图1,图2,图3,由表可知f(2)0，从而f(2)f(3)0， 函数f(x)在区间(2,3)内有零点,由于函数y=lnx和y=2x-6在定义域 (0,+)内是增函数， 所以函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，因此它仅有一个零点,用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表：,解法1：,零点存在性定理的应用：,问题6：如何说明零点的唯一性？,-1.3069,1.0986,3.3863,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,f(x)=lnx+2x- 6,-4,例1 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数，并确定零点所在的区间n,
8、 n+1 (nZ) .,5.6094,解法2：估算f(x)在各整数处的取值的正负：,解法3：,将函数f(x)= lnx+2x-6的零点的个数转化为函数 y= lnx与y=-2x +6的图象交点的个数,y=-2x +6,y= lnx,例1 求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数，并确定零点所在的区间n, n+1(nZ) .,-,+,零点存在性定理的应用：,+,-,但在确定区间的时候，由于画图,不够精确，容易带来错误，所以多用在判断零点个数上.,那么函数在区间1, 6上的零点至少有（ ）个A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个2、函数f (x)= x 3 3x + 5的零点所在的大致区间为（ ）A. ( 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5),C,B,1、已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：,零点存在性定理的应用：,函数零点与方程根的关系:,函数,方程,零点,根,函数方程思想；数形结合思想,求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间,课堂小结,一个关系：,三种题型：,两种思想：,数学日记,年月日 星期天气,
