1、76第五节 测量误差基础知识一、测量误差概述1测量误差产生的原因测量时，由于各种因素会造成少许的误差，这些因素必须去了解，并有效的解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。实践证明，产生测量误差的原因主要有以下三个方面。（1）人为因素。由于人为因素所造成的误差，包括观测者的技术水平和感觉器管的鉴别能力有一定的局限性，主要体现在仪器的对中、照准、读数等方面。（2）测量仪器的原因。由于测量仪器的因素所造成的误差，包括测量仪器在构造上的缺陷、仪器本身的精度、磨耗误差及使用前未经校正等因素。（3）环境因素。外界观测条件是指野外观测过程中，外界条件的因素，如天气的变化、植被的不同、地面土质松紧的差异、地形
2、的起伏、周围建筑物的状况，以及太阳光线的强弱、照射的角度大小等。测量时受环境或场地之不同，可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着。热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下，因此必须在温湿度控制下，不可用手接触工件及量具、工件加工后待冷却后才测量。但为了缩短加工时在加工中需实时测量，因此必须考虑各种材料之热胀系数 作为补偿，以因应温度材料的热膨胀系数 不同所造成的误差。在实际的测量工作中，大量实践表明，当对某一未知量进行多次观测时，不论测量仪器有多精密，观测进行得多么仔细，所得的观测值之间总是不尽相同。这种差异都是由于测量中存在误差的缘故。测量所获得的数值称为观测值。由
3、于观测中误差的存在而往往导致各观测值与其真实值（简称为真值）之间存在差异，这种差异称为测量误差（或观测误差） 。用 L 代表观测值， X 代表真值，则误差=77观测值 L真值 X，即（5-1）XL这种误差通常又称之为真误差。由于任何测量工作都是由观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的，所以，观测误差来源于以下三个方面：观测者的视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。通常我们把这三个方面综合起来称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；反之，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，则可认为精度相同。在相同观测条
4、件下进行的一系列观测称为等精度观测；在不同观测条件下进行的一系列观测称为不等精度观测。由于在测量的结果中含有误差是不可避免的，因此，研究误差理论的目的不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实际问题。例如：在一系列的观测值中，如何确定观测量的最可靠值；如何来评定测量的精度；以及如何确定误差的限度等。所有这些问题，运用测量误差理论均可得到解决。二、测量误差的分类测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类：（一）系统误差在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为系统误
5、差。例如水准仪的视准轴与水准管轴不平行而引起的读数误差，与视线的长度成正比且符号不变；经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，随视线竖直角的大小而变化且符号不变；距离测量尺长不准产生的误差随尺段数成比例增加且符号不变。这些误差都属于系统误差。系统误差主要来源于仪器工具上的某些缺陷；来源于观测者的某些习惯的影响，例如有些人习惯地把读数估读得偏大或偏小；也有来源于外界环境的影响，如风力、温度及大气折光等的影响。78系统误差的特点是具有累积性，对测量结果影响较大，因此，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。方法有两种：一是在观测方法和观测程序上采取一定的措施来消除或减弱系统误差的影响。例如在水
6、准测量中，保持前视和后视距离相等，来消除视准轴与水准管轴不平行所产生的误差；在测水平角时，采取盘左和盘右观测取其平均值，以消除视准轴与横轴不垂直所引起的误差。另一种是找出系统误差产生的原因和规律，对测量结果加以改正。例如在钢尺量距中，可对测量结果加尺长改正和温度改正，以消除钢尺长度的影响。（二）偶然误差在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为偶然误差。例如在水平角测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样；又如在水准测量或钢尺量距中估读毫米数时，可能偏大也可能偏小，其大小
7、也不一样，这些都属于偶然误差。产生偶然误差的原因很多，主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素如不断变化着的温度、风力等外界环境所造成。偶然误差在测量过程中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏着一种必然的规律，这给偶然误差的处理提供了可能性。测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差） 。错误产生的原因较多，可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起的；
8、还有可能是容许误差取值过小造成的。错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。发现错误的方法是：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。在测量的成果中，错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误79差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。下面详细分析偶然误差的特性。三、偶然误差的特性偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差。偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。在测量实践中，根据偶然误差的分布，我们可以明显
9、地看出它的统计规律。例如在相同的观测条件下，观测了 217 个三角形的全部内角。已知三角形内角之和等于 180，这是三内角之和的理论值即真值 X，实际观测所得的三内角之和即观测值 L。由于各观测值中都含有偶然误差，因此各观测值不一定等于真值，其差即真误差 。以下分两种方法来分析：（一）表格法由（5-1）式计算可得 217 个内角和的真误差，按其大小和一定的区间（本例为 d=3） ，分别统计在各区间正负误差出现的个数 k 及其出现的频率k/n（ n=217） ，列于表 5-1 中。从表 5-1 中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数
10、和频率大致相等；最大误差不超过 27。实践证明，对大量测量误差进行统计分析，都可以得出上述同样的规律，且观测的个数越多，这种规律就越明显。表 5-1 三角形内角和真误差统计表正 误 差 负 误 差 合 计误差区间d个 数 k频 率 k/n个 数 k频 率 k/n个 数 k频 率 k/n800336699121215151818212124242727以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.009005941
11、33302216114100.2720.1890.1520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合 计 1080.4981090.5022171.00081（二）直方图法为了更直观地表现误差的分布，可将表 5-1 的数据用较直观的频率直方图来表示。以真误差的大小为横坐标，以各区间内误差出现的频率 k/n 与区间 d的比值为纵坐标，在每一区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，则各矩形的面积等于误差出现在该区间内的频率 k/n。如图 5-1 中有斜线的矩形面积，表示误差出现在+6+9之间的频率，等于 0.069。显然，所有矩形面积的总和等于1。可以设想，如果在相同的条件下，所观
12、测的三角形个数不断增加，则误差出现在各区间的频率就趋向于一个稳定值。当 n时，各区间的频率也就趋向于一个完全确定的数值概率。若无限缩小误差区间，即 d0，则图 5-1 各矩形的上部折线，就趋向于一条以纵轴为对称的光滑曲线（如图 5-2 所示） ，称为误差概率分布曲线，简称误差分布曲线，在数理统计中，它服从于正态分布，该曲线的方程式为式中： 为偶然误差； （0）为与观测条件有关的一个参数，称为误差分布的标准差，它的大小可以反映观测精度的高低。其定义为：在图 5-1 中各矩形的面积是频率 k/n。由概率统计原理可知，频率即真误差2)(ef （5-2）nlim （5-3）82出现在区间 d上的概率
13、P（） ，记为根据上述分析，可以总结出偶然误差具有如下四个特性：（1） 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；（2） 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；dfnkP)(/)( （5-4）83（3） 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；（4） 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即（5-5）0limn式中 ni121在数理统计中，也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示为 E（）=0。图 5-2 中的误差分布曲线，是对应着某一观测条件的，当观测条件不同时，其相应误差分布曲线的形状也将随之改变。例如图 5-3 中，
14、曲线 I、II 为对应着两组不同观测条件得出的两组误差分布曲线，它们均属于正态分布，但从两曲线的形状中可以看出两组观测的差异。当 =0 时， ，21)(1f。 、 是这两误差分布曲线的峰值，其中曲线 I 的21)(2f12峰值较曲线 II 的高，即 1 2，故第 I 组观测小误差出现的概率较第 II 组的大。由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于 1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。因此，曲线 I 表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。而曲线 II 相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。第二节 评定精度的指标研究测量误差理论的主
15、要任务之一，是要评定测量成果的精度。在图 5-3 中，从两组观测的误差分布曲线可以看出：凡是分布较为密集即离散度较小的，表示该组观测精度较高；而分布较为分散即离散度较大的，则表示该组观测精度较低。用分布曲线或直方图虽然可以比较出观测精度的高低，但这种方法即不方便也不实用。因为在实际测量问题中并不需要求出它的分布情况，而需要有一个数字特征能反映误差分布的离散程度，用它来评定观测成果的精度，就是说需要有评定精度的指标。在测量中评定精度的指标有下列几种：84一、 中误差由上节可知（5-3）式定义的标准差是衡量精度的一种指标，但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有
16、限次观测个数 n 计算出标准差的估值定义为中误差 m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为（5-6）nm【例 5-1】有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。试分析两组的观测精度。【解】用中误差公式（5-6）计算得： 3.46534156 0.2023 22222 ）（乙甲 nm从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小，所以观测精度高于乙组。而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。所以在测量工作中，普
17、遍采用中误差来评定测量成果的精度。注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度，只要观测条件相同，则中误差不变。在公式（5-2）中，如果令 f（）的二阶导数等于 0，可求得曲线拐点的横坐标 = m。也就是说，中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。从图 5-3 也可看出，两条观测条件不同的误差分布曲线，其拐点的横坐标值也不同：离散度较小的曲线 I，其观测精度较高，中误差较小；反之离散度较大的曲线 II，其观测精度较低，中误差则较大。85二、相对误差真误差和中误差都有符号，并且有与观测值相同的单位，它们
18、被称为“绝对误差” 。绝对误差可用于衡量那些诸如角度、方向等其误差与观测值大小无关的观测值的精度。但在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。例如，用钢尺丈量长度分别为 100 m 和 200 m 的两段距离，若观测值的中误差都是2 cm，不能认为两者的精度相等，显然后者要比前者的精度高，这时采用相对误差就比较合理。相对误差 K 等于误差的绝对值与相应观测值的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示，即 T观 测 值误 差 的 绝 对 值相 对 误 差式中当误差的绝对值为中误差 m 的绝对值时， K 称为相对中误差。（5-7）DK1在上例中用相对误差来衡量，则两段距离的相对误
19、差分别为 1/5000 和1/10000，后者精度较高。在距离测量中还常用往返测量结果的相对较差来进行检核。相对较差定义为（5-8）DD平 均平 均平 均 返往 1相对较差是真误差的相对误差，它反映的只是往返测的符合程度，显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。三、极限误差和容许误差（一）极限误差由偶然误差的特性一可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，绝对值大于m（中误差）的偶然误差，其出现的概率为 31.7%；绝对值大于 2m 的偶然误差，其出现的概率为 4.5%；绝对值大于 3m 的偶然误差，出现的概率仅为 0.3%。根据式（
20、5-2）和式（5-4）有86上式表示真误差出现在区间（- ，+ ）内的概率等于 0.683，或者说误差出现在该区间外的概率为 0.317。同法可得上列三式的概率含义是：在一组等精度观测值中，绝对值大于 的偶然误差，其出现的概率为 31.7%；绝对值大于 2 的偶然误差，其出现的概率为4.5%；绝对值大于 3 的偶然误差，出现的概率仅为 0.3%。在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。若以 m 作为观测误差的限值，则将有近 32%的观测会超过限值而被认为不合格，显然这样要求过分苛刻。而大于 3m 的误差出现的机会只有 3，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。所以可取 3m 作为偶然误差的
21、极限值，称极限误差， 。3极（二）容许误差在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即 m3容当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即 2容如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。第三节 误差传播定律前面已经叙述了评定观测值的精度指标，并指出在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。但在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的，而由一些可以直接观测的量，通过函数关系间接计算得出，这些量称为间接观测量。例如用水准仪测量两点间的高差 h，通过后视读数
22、 a 和前视读数 b 来求得的， h=a b。由于直接观测值中都带有误差，因此未知 95.021)(222 dedfP 7.333 2 683.021)(2dedfP87量也必然受到影响而产生误差。说明观测值的中误差与其函数的中误差之间关系的定律，叫做误差传播定律，它在测量学中有着广泛的用途。一、 误差传播定律设 Z 是独立观测量 x1， x2， xn的函数，即 )(21nxxfZ， (a)式中： x1， x2， xn为直接观测量，它们相应观测值的中误差分别为 m1， m 2， mn，欲求观测值的函数 Z 的中误差 mZ。设各独立变量 xi（ i=1，2， n）相应的观测值为 Li，真误差分别
23、为 xi，相应函数 Z 的真误差为 Z。则因真误差 xi均为微小的量，故可将上式按泰勒级数展开，并舍去二次及以上的各项，得:（ a）减去（ b）式，得上式即为函数 Z 的真误差与独立观测值 Li的真误差之间的关系式。式中为函数 Z 分别对各变量 xi的偏导数，并将观测值（ xi=Li）代入偏导数后的值，ixf故均为常数。)(21 nxxf ， )()( 2121 nn xfxfxffZ ， 21 nxfxff （b）88若对各独立观测量都观测了 k 次，则可写出 k 个类似于（ c）式的关系式将以上各式等号两边平方后再相加，得上式两端各除以 k，因各变量 xi的观测值 Li均为彼此独立的观测，
24、则 xi xj当 i j 时，亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性可知，上式的末项当 k时趋近于 0，即故上式可写为 根据中误差的定义，上式可写成当 k 为有限值时，即 )()(2)(1)( )2()2()2(1)2( )1()1()1()1( knkkk nxfxfxfZfff xxxZ jinjijin xfxxfxfxfZ 1,22212 kxfkfkxffk jinjijin 1,222122 0limkjik kxfkxfkxfZ nkk 222122limli 22212 nz xfxfxf 89（5-9）22212 nz mxfxfmxf 或（5-10）2221 nz xfxf
25、xf 式中 为函数 Z 分别对各变量 xi的偏导数，并将观测值（ xi=Li）代入偏导ixf数后的值，故均为常数。公式（5-9）或（5-10）即为计算函数中误差的一般形式。从公式的推导过程，可以总结出求任意函数中误差的方法和步骤如下：1列出独立观测量的函数式： )(21nxxfZ， 2求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得 ndxfdxfxfdZ21因 dZ、 dx1、 dx2、都是微小的变量，可看成是相应的真误差 Z、 x1、 x2、，因此上式就相当于真误差关系式，系数 均为常数。ixf3求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式： 22212 n
26、z mxfxfmxf 按上述方法可导出几种常用的简单函数中误差的公式,如表 5-2 所列,计算时可直接应用。表 5-2 常用函数的中误差公式函 数 式 函 数 的 中 误 差倍数函数 kxz和差函数 nxz21 xzkm221n若 时2mz90线性函数 nxkxkz212212nz mkkm二、 应用举例误差传播定律在测绘领域应用十分广泛，利用它不仅可以求得观测值函数的中误差，而且还可以研究确定容许误差值。下面举例说明其应用方法。【例 5-2】在比例尺为 1：500 的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差 md=0.2 mm，求该两点的实际距离 D 及其中误差 mD。解：函
27、数关系式为 D=Md，属倍数函数， M=500 是地形图比例尺分母。mMDd 1.0)2.0(57143两点的实际距离结果可写为 11.7 m0.1 m。【例 5-3】水准测量中，已知后视读数 a=1.734 m，前视读数 b=0.476 m，中误差分别为 ma=0.002 m， mb=0.003 m，试求两点的高差及其中误差。解：函数关系式为 h=a-b，属和差函数，得bhba 04.3.02.581476.3.122两点的高差结果可写为 1.258 m0.004 m。【例 5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为 L=247.50 m，中误差 mL=0.05 m，并测得倾斜角 =1034，其中误
28、差 m =3，求水平距离 D 及其中误差mD。解：首先列出函数式 cosLD水平距离 m30.241cos50.247这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，先求出各偏导值如下：91864 3.510sin5.247310sin8 9.coLD写成中误差形式 mmDLmD 06.348)86.45(0.983. 22222 故得 D=243.30 m0.06 m。【例 5-5】图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为 mi=2 mm，假定视距平均长度为 50 m，若以 3 倍中误差为容许误差，试求在测段长度为 L km 的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。解：已知每站
29、观测高差为： bah则每站观测高差的中误差为： m 2i因视距平均长度为 50 m，则每公里可观测 10 个测站， L 公里共观测 10L 个测站， L 公里高差之和为： Lhh1021L 公里高差和的中误差为： 54往返高差的较差（即高差闭合差）为： 返往 hfh高差闭合差的中误差为： m 1042Lmhf以 3 倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为： 38102Lmfhfh容在前面水准测量的学习中，我们取 （mm）作为闭合差的容许值是Lfh40容考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的 i 角误差等） 。三、 注意事项应用误差传播定律应注意以下两点：92（一）要
30、正确列出函数式例：用长 30 m 的钢尺丈量了 10 个尺段，若每尺段的中误差为 ml=5 mm，求全长 D 及其中误差 mD。全长 ， 为倍乘函数。但实际m 3010l lD10上全长应是 10 个尺段之和，故函数式应为 （为和差函数） 。21l用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为 160lDm若按倍数函数式求全长中误差，将得出 m501lD按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。（二）在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。如有函数式（a）12yz（b）31x；若已知 x 的中误差为 mx，求 Z 的中误差 mz。若直接用公式计算,由（a）
31、式得：（c）2124yyz而 xyxmm231，将以上两式代入（c）式得 xxxzm5)2(4)3(但上面所得的结果是错误的。因为 y1和 y2都是 x 的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。 xmxz 7 57 1)2(3z第四节 等精度直接观测平差当测定一个角度、一点高程或一段距离的值时，按理说观测一次就可以获得。但仅有一个观测值，测的对错与否，精确与否，都无从知道。如果进行多余观测，就可以有效地解决上述问题，它可以提高观测成果的质量，也可以发现和消除错误。重复观测形成了多
32、余观测，也就产生了观测值之间互不相等这样的矛盾。如93何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值，同时对观测质量进行评估，即是“测量平差”所研究的内容。对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差。根据观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。平差的结果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值” ，或“最可靠值” ，有时也称“最或是值” ，一般用 x 表示。本节将讨论如何求等精度直接观测值的最或然值及其精度的评定。一、等精度直接观测值的最或然值等精度直接观测值的最或然值即是各观测值的算术平均值。用误差理论证明如下：设对某未知量进行
33、了一组等精度观测，其观测值分别为 L1、 L 2、 Ln，该量的真值设为 X，各观测值的真误差为 1、 2、 n，则 i=Li-X（ i=1，2， n） ，将各式取和再除以次数 n，得Ln即 Xn根据偶然误差的第四个特性有 XnLlim所以 0limn由此可见，当观测次数 n 趋近于无穷大时，算术平均值就趋向于未知量的真值。当 n 为有限值时，算术平均值最接近于真值，因此在实际测量工作中，将算术平均值作为观测的最后结果，增加观测次数则可提高观测结果的精度。二、评定精度（一） 观测值的中误差1由真误差来计算当观测量的真值已知时，可根据中误差的定义即 nm由观测值的真误差来计算其中误差。942由改
34、正数来计算在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。因此在多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。（1）改正数及其特征最或然值 x 与各观测值 Li之差称为观测值的改正数，其表达式为（5-11）n)2,1( ， vii在等精度直接观测中，最或然值 x 即是各观测值的算术平均值。即nLx显然（5-12）0)(1Lnxvnii上式是改正数的一个重要特征，在检核计算中有用。（2）公式推导已知 ，将此式与式（5-8）相加，得XLi（a）xvi令 ，则x（b）ii对上面各式两端取平方，再求和 2nv， 故由 于 0（c）2nv而 )22(1 1312222 nnnXLXx
35、 ，23) 根据偶然误差的特性，当 n时，上式的第二项趋近于零；当 n 为较大的95有限值时，其值远比第一项小，可忽略不计。故 2n代入（c）式，得 nv根据中误差的定义 ，上式可写为nm22vmn即 1nvm（5-13）上式即是等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式，又称“白塞尔公式”。（二）最或然值的中误差一组等精度观测值为 L1、 L2、 Ln，其中误差均相同，设为 m，最或然值 x即为各观测值的算术平均值。则有 nnLx12根据误差传播定律，可得出算术平均值的中误差 M 为nmnM2221故 nmM（5-14）顾及式（5-10） ，算术平均值的中误差也可表达如下（5-)1(nvM15
36、）【例 5-6】对某角等精度观测 6 次，其观测值见表 5-3。试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。96解：由本节可知，等精度直接观测值的最或然值是观测值的算术平均值。根据式（5-11）计算各观测值的改正数 vi，利用（5-12）式进行检核，计算结果列于表 5-3 中。表 5-3 等精度直接观测平差计算观测值改正数v（）vv（ 2）L1=753213L2=753218L3=753215L4=753217L5=753216L6=7532142.5-2.50.5-1.5-0.51.56.256.250.252.250.252.25x=L/n=753215.5v=0 vv=17
37、.5根据式（5-13）计算观测值的中误差为： “98.165.71nvm根据式（5-14）计算最或然值的中误差为： .0“.M一般袖珍计算器都具有统计计算功能（STAT） ，能很方便地进行上述计算（参考各计算器的说明书） 。由式（5-14）可以看出，算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍，这n/197说明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测次数愈多，精度愈高。所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。当观测的中误差 m 一定时，算术平均值的中误差 M 与观测次数 n 的平方根成反比，如表 5-4 及图 5-4 所示。从表 5-4 及图 5-1 可以看出观测次数 n 与 M 之间的变化关系。 n 增加时， M减小；当 n 达到一定数值后，再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就不太明显了。故不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果的精度，而应设法提高单次观测的精度，如使用精度较高的仪器、提高观测技能或在较好的外界条件下进行观测。表 5-4 观测次数与算术平均值中误差的关系观测次数 n 算术平均值的中误 差 M2 0.71m4 0.50m6 0.41m10 0.32m20 0.22m 图 5-4 观测次数与算术平均值中误差的关系
