1、函 数 对 称 性 的 探 究绍 兴 县 越 崎 中 学 数 学 组 徐 民 江函 数 是 中 学 数 学 教 学 的 主 线 ， 是 中 学 数 学 的 核 心 内 容 ， 也 是 整 个 高中 数 学 的 基 础 。 函 数 的 性 质 是 竞 赛 和 高 考 的 重 点 与 热 点 ， 函 数 的 对 称 性是 函 数 的 一 个 基 本 性 质 ， 对 称 关 系 不 仅 广 泛 存 在 于 数 学 问 题 之 中 ， 而 且利 用 对 称 性 往 往 能 更 简 捷 地 使 问 题 得 到 解 决 ， 对 称 关 系 还 充 分 体 现 了 数学 之 美 。 本 文 拟 通 过 函
2、数 自 身 的 对 称 性 和 不 同 函 数 之 间 的 对 称 性 这 两 个方 面 来 探 讨 函 数 与 对 称 有 关 的 性 质 。1 、 函 数 自 身 的 对 称 性 探 究定 理 1 .函 数 y = f (x )的 图 像 关 于 点 A (a ,b )对 称 的 充 要 条 件 是f (x ) + f (2 a x ) = 2 b证 明 ： （ 必 要 性 ） 设 点 P(x ,y )是 y = f (x )图 像 上 任 一 点 ， 点 P( x ,y )关 于 点 A (a ,b )的 对 称 点 P（ 2 a x ， 2 b y ） 也 在 y = f (x )图
3、像 上 ， 2 b y = f (2 a x )即 y + f (2 a x )=2 b 故 f (x ) + f (2 a x ) = 2 b ， 必 要 性 得 证 。（ 充 分 性 ） 设 点 P(x 0 ,y 0 )是 y = f (x )图 像 上 任 一 点 ， 则 y 0 = f (x 0 ) f (x ) + f (2 a x ) =2 b f (x 0 ) + f (2 a x 0 ) =2 b ， 即 2 b y 0 = f (2 a x 0 ) 。故 点 P（ 2 a x 0 ， 2 b y 0 ） 也 在 y = f (x ) 图 像 上 ， 而 点 P与 点 P关 于
4、 点 A (a,b )对 称 ， 充 分 性 得 征 。推 论 ： 函 数 y = f (x )的 图 像 关 于 原 点 O对 称 的 充 要 条 件 是 f (x ) + f ( x )= 0定 理 2 . 函 数 y = f (x )的 图 像 关 于 直 线 x = a对 称 的 充 要 条 件 是f (a +x ) = f (a x ) 即 f (x ) = f (2 a x ) （ 证 明 留 给 读 者 ）推 论 ： 函 数 y = f (x )的 图 像 关 于 y 轴 对 称 的 充 要 条 件 是 f (x ) = f ( x )定 理 3 . 若 函 数 y = f (x
5、 ) 图 像 同 时 关 于 点 A (a ,c)和 点 B (b ,c)成 中 心 对称 （ ab ） ， 则 y = f (x )是 周 期 函 数 ， 且 2 | a b |是 其 一 个 周 期 。 若 函 数 y = f (x ) 图 像 同 时 关 于 直 线 x = a 和 直 线 x = b 成 轴 对 称（ ab ） ， 则 y = f (x )是 周 期 函 数 ， 且 2 | a b |是 其 一 个 周 期 。 若 函 数 y = f (x )图 像 既 关 于 点 A (a ,c) 成 中 心 对 称 又 关 于 直 线 x=b 成 轴 对 称 （ ab ） ， 则
6、y = f (x )是 周 期 函 数 ， 且 4 | a b |是 其 一 个 周期 。 的 证 明 留 给 读 者 ， 以 下 给 出 的 证 明 ： 函 数 y = f (x )图 像 既 关 于 点 A (a ,c) 成 中 心 对 称 ， f (x ) + f (2 a x ) =2 c， 用 2 b x 代 x 得 ：f (2 b x ) + f 2 a (2 b x ) =2 c（ * ）又 函 数 y = f (x )图 像 直 线 x =b 成 轴 对 称 ， f (2 b x ) = f (x )代 入 （ * ） 得 ：f (x ) = 2 c f 2 (a b ) +
7、x （ * * ） ， 用 2 （ a b ） x 代 x 得f 2 (a b )+ x = 2 c f 4 (a b ) + x 代 入 （ * * ） 得 ：f (x ) = f 4 (a b ) + x ,故 y = f (x )是 周 期 函 数 ， 且 4 | a b |是 其 一 个 周期 。2 、 不 同 函 数 对 称 性 的 探 究定 理 4 . 函 数 y = f (x )与 y = 2 b f (2 a x )的 图 像 关 于 点 A (a ,b )成 中 心 对称 。定 理 5 . 函 数 y = f (x )与 y = f (2 a x )的 图 像 关 于 直 线
8、 x = a成 轴 对 称 。 函 数 y = f (x )与 a x = f (a y )的 图 像 关 于 直 线 x +y = a成 轴 对称 。 函 数 y = f (x )与 x a = f (y + a)的 图 像 关 于 直 线 x y = a成 轴 对称 。定 理 4 与 定 理 5 中 的 证 明 留 给 读 者 ， 现 证 定 理 5 中 的 设 点 P(x 0 ,y 0 )是 y = f (x )图 像 上 任 一 点 ， 则 y 0 = f (x 0 )。 记 点 P( x ,y )关于 直 线 x y = a的 轴 对 称 点 为 P（ x 1 ， y 1 ） ， 则
9、 x 1 = a + y 0 , y 1 = x 0 a， x 0 = a + y 1 , y 0 = x 1 a 代 入 y 0 = f (x 0 )之 中 得 x 1 a = f (a + y 1 ) 点P（ x 1 ， y 1 ） 在 函 数 x a = f (y + a)的 图 像 上 。同 理 可 证 ： 函 数 x a = f (y + a)的 图 像 上 任 一 点 关 于 直 线 x y = a的 轴对 称 点 也 在 函 数 y = f (x )的 图 像 上 。 故 定 理 5 中 的 成 立 。推 论 ： 函 数 y = f (x )的 图 像 与 x = f (y )的
10、 图 像 关 于 直 线 x = y 成 轴 对 称 。3 、 三 角 函 数 图 像 的 对 称 性 列 表函 数 对 称 中 心 坐 标 对 称 轴 方 程y = sin x ( k , 0 ) x = k +/2y = co s x ( k +/2 ,0 ) x = k y = tan x (k /2 ,0 ) 无注 ： 上 表 中 k Z y = tan x 的 所 有 对 称 中 心 坐 标 应 该 是 (k /2 ,0 )， 而 在 岑 申 、 王 而冶 主 编 的 浙 江 教 育 出 版 社 出 版 的 2 1 世 纪 高 中 数 学 精 编 第 一 册 （ 下 ） 及陈 兆 镇
11、 主 编 的 广 西 师 大 出 版 社 出 版 的 高 一 数 学 新 教 案 （ 修 订 版 ） 中 都认 为 y = tan x 的 所 有 对 称 中 心 坐 标 是 ( k , 0 )， 这 明 显 是 错 的 。4 、 函 数 对 称 性 应 用 举 例例 1 ： 定 义 在 R上 的 非 常 数 函 数 满 足 ： f (1 0 +x )为 偶 函 数 ， 且 f (5 x ) =f (5 +x ),则 f (x )一 定 是 （ ） （ 第 十 二 届 希 望 杯 高 二 第 二 试 题 ）(A)是 偶 函 数 ， 也 是 周 期 函 数 (B)是 偶 函 数 ， 但 不 是
12、周 期 函 数(C)是 奇 函 数 ， 也 是 周 期 函 数 (D)是 奇 函 数 ， 但 不 是 周 期 函 数解 ： f (1 0 +x )为 偶 函 数 ， f (1 0 +x ) = f (1 0 x ). f (x )有 两 条 对 称 轴 x = 5 与 x =1 0 ， 因 此 f (x )是 以 1 0 为 其 一 个 周 期 的周 期 函 数 ， x =0 即 y 轴 也 是 f (x )的 对 称 轴 ， 因 此 f (x )还 是 一 个 偶 函数 。故 选 (A) 例 2： 设 定 义 域 为 R的 函 数 y = f (x)、 y = g(x)都 有 反 函 数 ，
13、 并 且 f(x1)和 g-1(x 2)函 数 的 图 像 关 于 直 线 y = x对 称 ， 若 g(5) = 1999， 那 么f(4)=（ ） 。（ A） 1999； （ B） 2000； （ C） 2001； （ D） 2002。解 ： y = f(x 1)和 y = g-1(x 2)函 数 的 图 像 关 于 直 线 y = x对称 ， y = g-1(x 2) 反 函 数 是 y = f(x 1)， 而 y = g-1(x 2)的 反 函数 是 :y = 2 + g(x), f(x 1) = 2 + g(x), 有 f(5 1) = 2 +g(5)=2001故 f(4) = 20
14、01,应 选 （ C）例 3.设 f(x)是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， 且 f(1+x)= f(1 x),当 1 x 0时 ，f (x ) = x ， 则 f (8 .6 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ （ 第 八 届 希 望 杯 高 二 第 一 试 题 ）解 ： f(x )是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 x = 0 是 y = f(x )对 称 轴 ；又 f(1 +x )= f(1 x ) x = 1 也 是 y = f (x ) 对 称 轴 。 故 y = f(x )是 以 2为 周 期 的 周 期 函 数 ， f (8 .6 ) = f (8 +0 .6 )
15、 = f (0 .6 ) = f ( 0 .6 ) = 0 .3例 4 .函 数 y = sin (2 x + )的 图 像 的 一 条 对 称 轴 的 方 程 是 （ ） (9 2 全 国 高 考理 ) (A) x = (B) x = (C) x = (D) x =解 ： 函 数 y = sin (2 x + )的 图 像 的 所 有 对 称 轴 的 方 程 是 2 x + = k + x = ,显 然 取 k = 1 时 的 对 称 轴 方 程 是 x = 故 选 (A)例 5. 设 f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 且 f(x+2)= f(x),当 0 x 1时 ，f (
16、x ) = x ， 则 f (7 .5 ) = （ ）(A) 0 .5 (B) 0 .5 (C) 1 .5 (D) 1 .5解 ： y = f (x )是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 点 （ 0 ， 0 ） 是 其 对 称 中 心 ；又 f (x +2 )= f (x ) = f ( x )， 即 f (1 + x ) = f (1 x )， 直 线 x = 1 是 y = f (x ) 对 称轴 ， 故 y = f (x )是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 。 f (7 .5 ) = f (8 0 .5 ) = f ( 0 .5 ) = f (0 .5 ) = 0 .5 故 选 (B)
