1、1,21,设晶体每个振子的零点振动能是0.5h。试用德拜模型求晶体的零点振动能。,解：,2,3,23,限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子能量为：,解：,(1)求能量E到EdE之间的状态数； (2)求此二维系统在绝对零度的费米能量。,4,5,6,(8)T0K时的费密能量,n: 电子面密度。,7,24,金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5。试计算绝对零度时锂的电子气的费米能量EF(eV表示)。,解：,25 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成:,若一摩尔的钾有N61023个电子，试求钾的费米温度和德拜温度。,8,解：,比较可得：,9,26,一维周期场中电子的波函数k(x)应当
2、满足布罗赫定理。若晶格常数是a，电子的波函数为：,解：,试求电子在这些状态的波矢。,10,m = l -1,11,28,电子在周期场中的势能,解：(1)n=0, 第一个周期。-a+b到b。,且a=4b，是常数。(1)试画出势能曲线;(2)求此势能的平均值;(3)第一、第二禁带宽度。,12,13,(2)由于势能的周期性，只对一个周期求平均即可。,(3),14,15,30,已知一维晶体的电子能带可写成,式中a是晶格常数。试求： (1)能带宽度； (2)电子在波矢k的状态时的速度； (3)能带底部和能带顶部电子的有效质量。,16,解：,17,(1)能带宽度,(2)电子速度,18,(3)有效质量,19
3、,31,平面正三角形晶格，相邻原子间距为a，试求： (1)正格子基矢和倒格子基矢； (2)画出第一部里渊区，并求此区域的内接圆的半径。,解：,(1)如图所示，选取正格子基矢,20,21,(2),22,32,平面正六方形晶格，六角形两个对边的间距为a，基矢,试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。,23,解：,原胞体积,24,第一布里渊区,25,第二布里渊区,26,第三布里渊区,27,(2),28,29,某晶体中电子的等能量曲面是椭球,求能态密度,解：将电子能量改写为,k空间的一个椭球方程。,半轴a, b, c分别为：,38.,30,椭球在k空间的体积,k空间的状态密度,椭球内的状态数,能态密度
4、,31,例题15,二维矩形晶格, 画出第一、第二布里渊区。,近邻点：,原点：,次近邻点：,再次近邻点：,32,33,例题16,试证0K时N个自由电子气的动能为:,证:,0K时费米分布函数,电子气的动能为:,34,35,例题17,试证0K, E=EF0时, N个自由电子气的能级密度为：,36,例题18,证明在边长为L的正方形中的，单位面积为n个自由电子的电子气的费米能量为：,37,38,例题19,0K时, N个自由电子气所处的状态可以看作排列在K空间一定半径kF0的费米球内，求kF0。(晶体体积为V),39,K空间的状态密度,费米球内的电子数,40,例题20,电子在边长为L的无限深势阱中运动，求
5、出它前四个不同能级的所有的波函数、能量，各能级的简并度是多少？简析势阱形状对简并度的影响。,(1)无限深势阱分布,(2)势阱内的薛定谔方程,41,(3)分离变量，求解薛定谔方程,42,43,晶体中自由电子的本征波函数,晶体中自由电子的本征能量,44,(4)能级分析 基态,简并度为1。,45,第一激发态,简并度为3。,46,第二激发态,简并度为3。,47,第三激发态,简并度为3。,48,对任意形状的方形势阱,在方形势阱中运动的电子，势阱的形状对能级的简并度有影响。在最一般的情况下，当L1L2L3时，简并全部退化。,49,例题21,0K时, K空间费米球的半径kF0为：,(1)当电子浓度 n 增加时, 费米球随之增大。证明：当,费米球和面心立方晶格的第一布里渊区边界相切，其中na是原子密度。,(2)设Cu晶体中的一些Cu原子由Zn原子所代替而形成Cu Zn合金，求费米球与布里渊区相切时， Zn原子数和Cu原子数之比。 Cu为面心立方结构。,解：,(1)面心立方晶格的原子密度na是,50,面型立方晶格,倒格子基矢:,51,52,53,54,当半径为kF的费米球与布里渊区边界相切时，应有：,(2)Zn是二价的，Cu是一价的，因此每一个Zn提供两个自由电子，每一个Cu提供一个自由电子。设：,55,
