生成函数与指数生成函数的研究与应用.doc

1、生成函数与指数生成函数的研究与应用- I -生成函数与指数生成函数的研究与应用作者：陈功学号：ZY1021104摘 要本文系统的论述了生成函数与指数生成函数组合数学和计算数学中研究与应用.生成函数又称母函数，它是在幂级数和多项式理论的基础上建立的.生成函数可分为普通型生成函数和指数型生成函数，他们在计算问题中有各自的应用范围.本文首先介绍了生成函数的基本理论，包括基本概念、性质及其系数计算的一些技巧.其次介绍了普通型生成函数和指数型生成函数的基本模型及其应用范围.最后则具体讨论了生成函数法在求解递推关系和整数分拆中的应用.通过本文的总结，可以使人们对生成函数有一个比较清晰的认识，更加系统的掌握

2、生成函数这一数学工具.关键词： 生成函数；普通型生成函数；指数型生成函数生成函数与指数生成函数的研究与应用- II -目 录1 生成函数与指数生成函数的研究与应用 .I1 前言 12 基本知识 22.1 基本概念 22.2 基本性质 32.3 生成函数的计算 43 通型生成函数模型 73.1 问题的提出 73.2 普通型生成函数模型及其应用 74 指数型生成函数模型 .114.1 问题的提出 .114.2 指数型生成函数模型及其应用 .114.3 指数型生成函数系数的计算技巧 .135 生成函数在递推关系中的应用 .165.1 生成函数法在常系数线性齐次递推关系上的应用 165.2 生成函数法

3、在常系数线性非齐次递推关系上的应用 186 生成函数在整数分拆中的应用 .22结 论 .24目前国内外许多数学研究者都对生成函数的应用范围进行了大量的研究，成果显著.但在这些文献中，知识点不够系统全面.本文汲取了他们的劳动成果，通过大量的比较研究，比较系统的给出了生成函数的基本理论及其应用模型. 24生成函数与指数生成函数的研究与应用- 1 -1 前言生成函数又称母函数，是计数问题中既简单又精巧的数学模型，也是组合数学的一个重要理论和工具.1720 年前后 De Moivre 首先使用了组合生成函数,通过使用生成函数得到斐波那契数的一个公式.1748 年欧拉在他的著作中对分拆问题使用了生成函数

4、，而他同时对概率生成函数的工作是 18 世纪后期发展起了的组合生函数理论的原始动力.最早提出生成函数的人是法国数学家 LaplaceP.S.在其 1812 年出版的概率的分析理论中明确提出“生成函数的计算” ，书中对生成函数思想奠基人Euler L 在 18 世纪对自然数的分解与合成的研究做了延伸与发展，生成函数的理论由此基本建立.曹汝成在生成函数中提出了车问题及其解法，Alan Tucker 在应用组合数学中提出了生成函数系数的具体解法及一个求和的算法，RichardA.Brualdi 具体提出了生成函数与递推函数的关系等.每本著作中作者所提的概念、所引用的符号以及表述方法都有一些共同点和差

5、异.本文主要是系统的总结生成函数的基本理论和应用问题，使人们对生成函数有一个清晰的认识，比较简便的学会生成函数这一数学工具.本文第二部分主要回顾了生成函数的基本概念及其性质，计算生成函数系数的一些技巧.在第三部分和第四部分中主要介绍了普通型生成函数和指数型生成函数的基本模型及其应用范围.第五部分和第六部分则具体讨论了生成函数在递推关系和整数分拆中的应用.生成函数与指数生成函数的研究与应用- 2 -2 基本知识2.1 基本概念计数问题是组合数学的一个重要内容，而生成函数又是解决计数问题的一个重要的一般性的处理方法.幂级数 是我们所熟悉的多项式，我们定义 为数列210)(xaxP )(xP的生成函

6、数，通常记为 1 .,210anG生成函数的中心思想是：首先使用多项式或幂级数把需要研究的数列合为一个整体，通过研究多项式或幂级数的性质以及使用合并同类项的方法，来研究数列的性质，从而得到相关的结论.例如 数列 的生成函数是 ,2,10n210)(xxf这个生成函数的值为 xf21)(用了非常简洁紧凑的方式显示了上述数列的序列信息.xf21)(下面列举了几个常见的生成函数 2.(1) 2(2) 32!)2(1!)(1xnxnxn(3) 202(4) 11xaax(5) k22生成函数与指数生成函数的研究与应用- 3 -(6) kxxxx 232231(7) kxxxx )1()43()2()(

7、13(8) kxkxxxx )2()5()()(6 324(9) ke!1!212.2 基本性质首先假定，序列 ， 的生成函数分别为iajb210)(xaxP2bQ因为生成函数与数列之间是一一对应的关系，所以研究两个数列之间的关系可以转化为研究其生成函数的关系，这样就给解题带来了许多便利.线性性质(1) 若 ，则 ncab)(xcP(2) 若 ，则 )(QC乘积性质 (3) 若 = ，则 nciinba1 )()(xPx移位性质(4) 若 ，则 )(0ikabik )()(xQi(5) 若 ，则 ）iknkiiaPx10)()(6) 若 ，则 =iinab0)(Q1生成函数与指数生成函数的研究

8、与应用- 4 -(7) 若 ，则 = ，其中 是收敛的ikinab)(xQxP-1)(ikia换元性质(8) 若 ，则 nc)(cx求导与积分性质(9) 若 ，则 nab)()(PQ(10) 若 ，则 =1nxxdt012.3 生成函数的计算计算生成函数系数的方法是把比较复杂的生成函数化简为简单的二次式类型，或若干个二项式类型的生成函数的积，这样就比较容易得出所需的 的系数.我们需kx要用到牛顿二项式定理及其生成函数的性质.牛顿二项式定理，设实数 ，对一切 有ayx,iaai0)(其中 = ，ia!1na当 时，变成我们所熟悉的二项式定理nnxCxnCx ,2,1,)+(1 n 特别的当 时，

9、akxkn0kx1nk110例 1 求解 。5212 )( xx解 52102 生成函数与指数生成函数的研究与应用- 5 -=51x=61)(= )162161)( 21 kxxxx利用牛顿二项式求得生成函数的系数.例 2 已知 ，求解 的值.)(3kGxA)(xA解= 3 23)2(1kGk= 2346xx， 和 在 2.1 中已注明，本题利用生成函数的加法运算及)2(1kG2kG其性质求得.例 3 在 中的系数， ？12x543)(x系 数 是 多 少kx解 5432)(= 210x= 5中 的系数是 即 15，所以 的系数是 15.51x221512x同理可得 =kx10105kk生成函

10、数与指数生成函数的研究与应用- 6 -生成函数与指数生成函数的研究与应用- 7 -3 通型生成函数模型3.1 问题的提出在现实生活中我们经常遇见类似于这样的问题：5 个苹果，4 个橘子，3 个梨，从中选出 4 个水果的组合数，及其组合方案.当然，通过列举法可以来解决上述问题，但当水果的种类和数量变多时，应用列举法就困难许多.在本节，我们在组合问题中引入了生成函数法，使解题的过程更加简便.3.2 普通型生成函数模型及其应用(1) 求 的 组合数，这是普通集合的组合问题.,210nak例 1 现在有 n 个不同的球，求从中选出三个球的组合数.解 显然根据以前的学习，我们可以得到三个球的组合数为 ，

11、一般的对于 r3n组合数有 ， .我们知道 是二项式 中 的系数，所以我们可以用rn)(rnnx)(1r多项式因子 的乘积来表示题意信息，因子相乘后拆开的系数就是对应的所选1x的组合数，即可用生成函数 来解决此题.nx)(1(2)求 , , 的 组合数.aibjckm例 2 下面我们来解决 3.1 中所提出的问题.解 我们可以用方程整数解的方法来对这一组合问题建模，3.1 中的问题我们可以表示为 = 4 的形式，其中 分别代表选取苹果，橘子，梨的个321kik)3,21(数，0 5, 0 4, 0 3.基于多项式，我们想要建立多项式因子的乘积，使得当这些因子乘开时，得到所有 的乘积，拆开后所得

12、多项式中 的系数就是选出 4 个水果的组合数，321kx 4x所以我们需要三个因子，每个因子应该包含 的可能取值.ik即 生成函数与指数生成函数的研究与应用- 8 -（1+ + + ） ， （1+ + + ） ， （1+ + ）x2354x2x34x23我们所需的生成函数是上述三个因子的乘积，对于组合方案：我们可用 代表x苹果， 代表橘子， 代表梨，展开多项式因子的乘积，使得 = ，即yz 321kzy5= 5 的 ， ， 的可能的取值是我们所求的组合方案，如当 = 1， = 321k12k3 2k1， = 2 时的组合方案为：一个苹果，一个橘子，两个梨.当水果的种类变多，数量变大时，就转化为

13、下面（3）中的问题.(3)求 的 组合数.,210naak由例二可知，就是将问题转化为不定方程 的非负整数解kxxn321的问题.例 3 从 元集中可重复的选取 个元作组合，每个元至少取一次，求作n)(nr成的可重复的组合的个数.解 设所求组合的个数为 ，则 是 展开式中 的系P )()32nxxArx数， nn)1()= kknxx0= nkk01= rnrx1所以 1nP)(nr综合以上分析，我们可得下面定理.定理 3.13 从 元集合 = ， ， , . 中取 个元素的组合数为 ，若nS1a23kkb限定元素 出现的次数的集合为 ，则该组合数序列的生成函数为iaiM)(n生成函数与指数生

14、成函数的研究与应用- 9 -niMmix1)(例 4 现有无限多的一分，二分，五分，一角，五角的硬币.确定这些硬币凑成分钱的方法数的生成函数 .n)(xQ解 设凑成 分钱的方法数为 ，则 是方程 = 的非niki 54321015een负整数解的个数.即其生成函数为=（ ） （ ） （ ） （)(xQ321x6421x15051x） （ ）010 03520化简得=)(x 5010521xx在组合型分配问题中我们也可以使用这个数学模型，由此可得下面定理.定理 3.23 (组合型分配问题)把 个相同的球放入 个不同的盒子 ， kn1a2， ，. ， 中，限定盒子 的容量集合为 ，则其分配方案数的

15、生成3aniaiM)1(函数为niMmix1)(在 3.1 节的问题中我们有 =4，其中 0 5, 0 4, 0 3.32k1k2k这相当于把 4 个相同的球放入 3 个不同的盒子中，盒子的容量集合分 ，5,421M， .,321M,213我们称对重复选择问题进行建模的生成函数为普通型生成函数 3.生成函数与指数生成函数的研究与应用- 10 -生成函数与指数生成函数的研究与应用- 11 -4 指数型生成函数模型4.1 问题的提出利用 3.1 节中所提出的问题，求从这 12 个水果中取 4 个水果进行排列的排列数.我们还是用 代表苹果， 代表橘子， 代表梨，展开成多项式因子的乘积，即使得xyz=

16、 ，其中 0 5, 0 4, 0 3.即 =5 中 、 、 的321kzy51k2k321k12k3可能的取值是我们所求的组合方案，例如当 =1， =1， =2 时就是选取一个苹果，1一个橘子，两个梨，以此类推.展开式中 4 次方项有， ， ， ， ， ， ， ，xy3zx2yzx23xyz2， ， ， ， ， ，2343z从这 12 个水果中选取 4 个进行排列，其排列数应是每一组合的排列数之和.例如 项表示选一个苹果，一个橘子，两个梨，它所对应的排列数为2xyz !214明白上述意思后，我们就不难得出上面所说的取四个元素的排列数.即 )!312!413!2!2!1!341(! =80通过一

17、一列举展开式中 4 次方项，再算出每个组合的排列数之和，这种方法既麻烦又复杂，漏掉任意一项就会非常麻烦.本节我们将引入指数型生成函数，它可以使排列问题的计算变得简单方便.4.2 指数型生成函数模型及其应用首先我们给出指数型生成函数的定义，对于序列 ， ， ，. ，我们定0a12义 = )(xQ!32!10xax生成函数与指数生成函数的研究与应用- 12 -称为序列 的指数型生成函数 1.ia由生成函数的思想我们可以试着应用指数型生成函数来解决 4.1 中提出的问题.我们令=（ ） （ ） （ ）)(xQ!54!32!1xx !43!21x!32!1x各多项式因子相乘后，取 的系数，得 80.我

18、们还可以发现 的系数正是从中选! !r取 个水果的排列数 .r)12(r这并不是巧合，在排列问题中，我们不能将=4 321k其中 0 5, 0 4, 0 3，的每个整数解在可能的排列计数中记为 1.实际1k2k上每个整数解必须贡献 ，用生成函数表示， 的系数将是带有下面系数的!4321 4x所有形式积=!321k321kx其中 0 5, 0 4, 0 3，上式中 的指数和等于 4，而我们知道指数型生1k2k成函数正好产生这种形式的形式积.可见指数型生成函数可以解决一般的有重复的排列问题，并且计算方便.例 1 这 5 个字母组成的 位数单词的个数，其中 出现奇数次，edcba, kdb,出现偶数

19、次，其它的没有次数要求.e解 所求的生成函数为)!32!1)(!53!1)(!32!1() xxxxQ )!64!2)(!5!( 展开式中 的系数就是 位数单词的排列数.!kxk例 2 将 个不同的小球放入 个不同的盒子中去，且要求每个盒子均不为空的n生成函数与指数生成函数的研究与应用- 13 -方法数.解 将 个不同小球放入 个不同的盒子中，相当于 个不同元素的 次重复排nkkn列，即多重集合 的 排列数，且要求每个元素至少取一次.,210naa由此可得= )(xQkx)!32!1综合以上分析，我们可以得到下面定理.定理 4.11 多重集合 = 的 排列中，若限定元素M,321naak出现的

20、次数集合为 ( )，则排列数的指数型生成函数为iainiMmix1)!(在排列型分配问题中我们也可以使用这个数学模型.例 1 中的问题我们可以转化为，把 个不同的球放 5 个不同的盒子中，盒子的k容量集合分别为 ， ，,3210aM,310b ,3210c， ，可以得到相同的解.,530d 64e定理 4.21 把 个不同的球 1，2，3，. 放入 个不同的盒子 ， k n1a2， ，. ， 中，限定盒子 的容量集合为 ，则其分配方案数的生成3aniaiM)(函数为 niMmix1)!(4.3 指数型生成函数系数的计算技巧指数型生成函数的基本展开式是 !32!1)(xxQ我们知道(4.1)!3

21、2!1xex生成函数与指数生成函数的研究与应用- 14 -他们有相似的形式，我们考虑用它来化简求解过程. 现在用 来代替 ，可得nx(4.2)!32!1xnxenx并且我们可得(4.3)!64!22xex(4.4)!75!311x利用公式(4.1)-(4.4) 可以使系数的计算过程变得相对简单.对于例 1)!32!1)(!53!1)(!32!() xxxxQ)!64!2)(!5!1( = xxxxx eee 2112= )434(5所以展开式中 的系数就是 中 的系数，简!kx )1431(25 xxxeee !k化了解题过程.例 2 求解 。232242 )!1()!1() xxxG解 23

22、2242 )!()!() = xxe21= )1(4= +!210nxn4求得 生成函数与指数生成函数的研究与应用- 15 -)24(1nna生成函数与指数生成函数的研究与应用- 16 -5 生成函数在递推关系中的应用递推关系是计算数学的一个重要工具，但其求解一般比较困难.本章介绍了生成函数法，使用它可以简单有效的解决这类问题中的某些部分.5.1 生成函数法在常系数线性齐次递推关系上的应用定义 5.14 序列 相邻的 项间有如下关系：na1k， ， knn acc21 Rci(0i )kn我们称为序列 的常系数线性齐次递推关系.使用生成函数法解常系数线性齐次递推关系的基本思想是：把关于 的常系

23、数na线性齐次递推关系转化为 的生成函数 ，通常采取错位相减法，再利用代数方na)(xQ法求解 ，将其展成幂级数的形式， 的系数 就是我们所求.)(xQnna例 1 )2(1)(7)ffnf,20解 = (5.1)(xQnxfxff )()(12= (5.2)7G 1770(5.3)(12x nxfxf )2()(2将(5.1)-(5.3)相加得 22 )0(1)(7()071()07)( ffffffx nxn2x解得 2 1+7)(xG生成函数与指数生成函数的研究与应用- 17 -= x314=0)(nn即 nf43)(例 25 递推关系 被称为斐波那契关系，由斐波那契关系和初始21nna

24、条件 所得到的数 成为斐波那契数.我们知道斐波那契数在数学领域的应10a用广泛，下面我们用生成函数法来求解 .n解 我们令 = 为 ， ， ，. 的生成函数，此时，)(xP210xa01a2我们有= (5.4)( nx210= (5.5)xPnaxa1= (5.6)( 2 x220将(5.4)-(5.6)相加得=)1)(2xP nnxaaxa )()()( 212012010由于 ，以及21nn )(10我们有 = =1)(2xPxa)(010得 bxabxax15)1(1)(2其中 = ， ，因为a51(2)5b051nxax生成函数与指数生成函数的研究与应用- 18 -051nxbaxb可

25、得 的幂级数的展开式中 的系数 为)(xPn)(51nnba其中 ， .)51(2a)1(2b在上述两例中我们使用了错位相加减的方法，我们发现，使用生成函数的方法来求解 比传统的方法容易得多.n5.2 生成函数法在常系数线性非齐次递推关系上的应用定义 5.26 序列 相邻的 项间有如下关系：na1kjiknn acc21 ),0,(kncRii 其中 是常数， 均为非负整数，我们称为序列 的常系数线性非齐次递推关ji, na系.使用生成函数法解常系数线性非齐次递推关系的基本思想是：设序列 的生na成函数为 ，把关于 的常系数线性非齐次递推关系代入0)(nxaGna的右端，得到 的方程，解出 的

26、解.再将其展成幂级数的形式，0)(nx)(G)(xG的系数 就是我们所求.a例 3 ，其中 .nhn41 2,01h解 0)(nxG1)43(nnh生成函数与指数生成函数的研究与应用- 19 -01436nnxhx2)(G2)1(436)(xx11nn因此 hnn436)(例 48 在一个非常富有的国家，一天国王想要奖赏他的一个臣子，就问他想要什么.这个臣子拿出一张 8 8 的棋盘，说他的要求并不高，第一个格子放一颗大麦粒，第二个格子放 2 颗，第三个格子放 颗， ，第六十四格放 颗，国王以为2 632粮仓富足，这不是什么问题就答应了，其实并不是这样的.现在让我们来计算一下一共需要多少颗大麦粒

27、.解 设前 个格子上的大麦粒数为 ，由题意可得 = 且 ，则我们kkaka1ka令 2321)(xxP为 ， ， ，. 的生成函数.我们将 代入上式右端，整理得1a23 1kka= +)(x)(x2可得 )1()(xxP2)1()( 223 xx01)kk我们可得 生成函数与指数生成函数的研究与应用- 20 -1085.12964a这样还是比较抽象，我们假设每秒运送 粒大麦粒，则需时间 T= (年)1590.33087.5.1，5.2 节的例子中所使用的求解方法可以推广到求解任意的常系数 阶线性齐k次或非齐次递推关系中.即：我们所使用的生成函数可以化为 的形式，其中)(xQP是次数小于 的多项

28、式， 是常数项为 1 的 次多项式.再利用部分分式的方)(xPk)(xQk法将其化为下述分式和的形式其中 是实数， 是常数， 是正整数kaxb)1(bt利用公式 将其展开，合并同类项，就可得到幂级数的形iiki0)(式.生成函数与指数生成函数的研究与应用- 21 -6 生成函数在整数分拆中的应用在这一节中我们将讨论生成函数在整数分拆中的应用.个相同对象的一个分拆定义为：把这些对象分成各种组合，这些组合中对象k的的数量可以相同也可不同.类似的我们可以定义整数 的分拆，就是把 分解成若nn干个整数的组合，并且与其顺序无关.当然会有许多不同的分拆方案，我们称所有这些拆分方案的数目为拆分数(或分拆数)

29、.例如正整数 4 对应的分拆可以为1+1+1+1，1+1+2，1+3 ，2+2 ，4，分拆数为 5下面我们来构造整数分拆的生成函数模型.(1)我们可以把正整数分拆看作是，由 个 1， 个 2， 个 3，. ， 个 所aaka组成的和.则 = + + +n123k由第三节的分析可得其生成函数为 )() 2422 ii xxxxP11363 kiki)()1()(32kxx展开式中 的系数为 的所有分拆数.)(xPnx(2)正整数 的各分布量都属于集合 的生成函数.M在前面 3.2 节中所讨论的例四就可以看作 的各分布量属于集合n1，2， 5，10 ，50 的分拆数，由此而得的生成函数 )1)(1

30、)(1() 150564232 xxxxP )3502010 501052xxx与之前所得的生成函数相同.即 MiixP1)(生成函数与指数生成函数的研究与应用- 22 -例 1 求满足 ，且 的整数解的个数.10321x 60,52,31xx解 我们可以把上述问题看成是整数的分拆数问题，即把 10 分解成满足的三个整数的和.60,52,31x我们可得 )1)()() 6543252 xxxxP 117463 则 中 的系数为所求的整数解的个数.)(x10由以上可知，分拆数的生成函数比较容易求的，但遗憾的是，目前还没有比较简单的方法来求解其生成函数的系数.下面给出几个定理，在求解生成函数系数的

31、过程中可能会有所帮助.定理 6.19 成不同整数的和，其拆分数等于 被拆分成奇整数的和的拆分数.n证明：设 拆分成不同整数的拆分数的生成函数为n )1()1()1( 5432xxxP 50483642 )1()1(753xx定理 6.29 不超过 次的整数的和，其拆分数等于 被拆分成不被 所除尽的i n1i整数的和的拆分数.定理 6.310 成 个正整数的和，其分拆数等于 被分拆成最大数为 的正整数k k的和的分拆数.在组合数学中，我们可以把许多实际问题都看成是某一或一些整数的特殊分拆数的问题.利用上述方法，可以有效的解决此类问题.生成函数与指数生成函数的研究与应用- 23 -结 论目前国内外许多数学研究者都对生成函数的应用范围进行了大量的研究，成果显著.但在这些文献中，知识点不够系统全面.本文汲取了他们的劳动成果，通过大量的比较研究，比较系统的给出了生成函数的基本理论及其应用模型.本文将生成函数分为普通型生成函数和指数则型生成函数.通过问题引入、问题分析、问题解决、问题延伸的步骤分别系统的总结了普通型生成函数模型和指数型生成函数模型的应用范围.比较全面的总结了生成函数法在递推关系和整数分拆中的应用.其中，部分分式的方法有待于进一步研究和讨论.