3D打印结构拓扑优化理论方法.pdf

1、13D 打 印 结 构 拓 扑 优 化 理 论 方 法鑫 精 合 -孙 峰 、 李 广 生1. 结 构 优 化 综 述“ 传 统 的 结 构 设 计 ， 在 某 种 程 度 上 可 以 说 是 一 种 艺 术 ， 要 求 人 们 根 据 经 验 和 通 过判 断 去 创 造 设 计 方 案 ” 1。 目 前 以 力 学 、 有 限 元 法 等 为 理 论 基 础 的 CAD/CAE 技 术 作为 校 验 的 手 段 应 用 于 结 构 设 计 中 。 同 时 ， 伴 随 着 计 算 机 技 术 的 高 速 发 展 ， 各 类 复 杂 工程 结 构 问 题 已 广 泛 开 展 了 结 构 分 析

2、 方 法 的 应 用 。 相 比 较 传 统 的 结 构 设 计 方 法 而 言 ， 以有 限 元 法 为 核 心 内 容 包 括 CAD 技 术 、 多 体 系 统 动 力 学 等 在 内 的 现 代 设 计 方 法 作 为 更为 科 学 的 手 段 取 代 了 以 往 的 艺 术 行 为 。 结 构 优 化 又 称 结 构 综 合 ， 其 研 究 内 容 指 综 合 结构 分 析 方 法 和 数 学 规 划 理 论 ， 在 满 足 规 定 约 束 条 件 下 ， 使 设 计 目 标 达 到 最 优 。 与 结 构分 析 相 比 ， 结 构 优 化 使 得 人 们 在 结 构 设 计 中 不

3、 再 局 限 于 被 动 地 对 给 定 结 构 方 案 进 行 分析 校 核 ， 而 是 主 动 地 在 结 构 分 析 的 基 础 上 寻 找 最 优 结 构 。尽 管 结 构 优 化 与 有 限 元 法 几 乎 同 时 起 步 ， 但 其 发 展 却 较 为 落 后 。 其 主 要 原 因 在 于 ：结 构 优 化 作 为 结 构 分 析 的 逆 问 题 ， 理 论 与 方 法 还 不 够 成 熟 ； 从 实 际 需 求 考 虑 ， 产 品 结构 满 足 功 能 要 求 具 有 必 须 性 ， 而 进 一 步 的 结 构 优 化 要 求 则 基 于 可 行 方 案 通 过 优 选 方 式

4、得 以 满 足 。 近 几 年 来 ， 随 着 能 源 危 机 、 环 境 问 题 的 日 益 严 重 ， 各 行 各 业 对 结 构 优 化 需求 在 不 断 提 高 。 以 整 车 结 构 为 例 ， 汽 车 轻 量 化 不 仅 能 降 低 燃 耗 、 改 善 运 动 和 排 气 等 多方 面 性 能 ， 而 且 为 减 振 降 噪 和 实 现 大 功 率 化 创 造 了 条 件 。 车 辆 轻 量 化 程 度 已 成 为 汽 车企 业 技 术 实 力 的 一 项 综 合 反 映 。 发 动 机 发 展 趋 势 最 突 出 的 特 点 在 于 大 功 率 和 高 功 率 密度 ， 大 幅

5、度 减 小 动 力 系 统 的 体 积 和 重 量 是 发 动 机 轻 量 化 、 具 有 强 劲 能 源 动 力 的 保 障 。对 于 航 天 航 空 产 品 而 言 ， 结 构 产 品 对 重 量 的 敏 感 度 更 高 。 例 如 在 卫 星 上 ， 甚 至 有 结 构重 量 减 少 一 克 ， 则 运 载 火 箭 的 重 量 减 少 一 吨 的 说 法 。2. 连 续 体 结 构 拓 扑 优 化 理 论 方 法 综 述拓 扑 优 化 的 主 要 思 想 是 将 寻 求 结 构 的 最 优 拓 扑 问 题 转 行 为 在 给 定 的 设 计 区 域 内寻 求 材 料 的 最 优 分 布

6、问 题 。 如 图 1 所 示 ， 自 从 程 耿 东 院 士 和 Olhof 以 及 Bendsoe 和Kikuchi2相 继 引 入 材 料 微 结 构 概 念 和 均 匀 化 方 法 以 来 ， 有 关 结 构 拓 扑 优 化 理 论 与 方 法的 研 究 呈 现 出 丰 富 多 彩 的 发 展 局 面 ， 形 成 了 一 系 列 各 具 特 色 的 解 决 方 法 ： 变 密 度 法 3、水 平 集 法 4、 拓 扑 导 数 法 5、 相 场 法 6、 渐 进 结 构 法 7以 及 中 国 学 者 隋 允 康 等 8提 出 的独 立 连 续 映 射 法 等 。 曾 任 国 际 多 学

7、科 优 化 协 会 主 席 Sigmund 等 9指 出 ： 随 着 这 些 拓 扑优 化 手 段 的 不 断 发 展 和 进 步 ， 它 们 之 间 的 差 异 也 越 来 越 小 。 因 此 ， 他 建 议 目 前 各 自 独立 的 拓 扑 优 化 研 究 机 构 应 该 联 合 起 来 ， 共 同 致 力 于 提 出 一 种 最 优 的 拓 扑 优 化 手 段 。 近年 来 ， 移 动 组 件 构 件 法 10-11的 提 出 ， 体 现 了 各 类 方 法 融 合 统 一 的 趋 势 。2图 1 典 型 拓 扑 优 化 算 例均 匀 化 法 是 最 先 提 出 的 连 续 体 结 构

8、拓 扑 优 化 方 法 ， 其 基 本 思 想 是 将 微 结 构 引 入到 连 续 介 质 中 ， 通 过 微 结 构 的 增 减 以 确 定 最 优 拓 扑 结 构 。 方 法 以 微 结 构 的 尺 寸 参 数 作为 设 计 变 量 ， 将 拓 扑 优 化 问 题 转 化 为 较 为 容 易 解 决 的 尺 寸 优 化 问 题 。 均 匀 化 法 在 力 学与 数 学 理 论 方 面 较 为 严 密 ， 但 方 法 设 计 变 量 数 目 多 ， 微 结 构 形 状 和 角 度 变 量 难 以 确 定 ，优 化 结 果 易 产 生 多 孔 材 料 而 不 易 加 工 制 造 ， 种 种

9、不 利 因 素 都 成 为 均 匀 化 法 在 工 程 应 用上 推 广 的 障 碍 。作 为 均 匀 化 法 的 延 伸 算 法 ， 变 变 密 度 法 引 入 单 元 密 度 与 材 料 弹 性 模 量 等 的 假 设函 数 关 系 ， 不 涉 及 微 结 构 设 计 与 均 匀 化 过 程 。 程 序 实 现 简 单 且 计 算 效 率 较 高 。 常 见 的插 值 模 型 包 括 固 体 各 向 同 性 惩 罚 微 结 构 模 型 (solid isotropic microstrcutres withpenalization, SIMP)12， 材 料 属 性 有 理 近 似 模 型

10、 (rational approximation of materialproperties, RAMP)13。 为 解 决 变 密 度 法 中 存 在 的 棋 盘 格 现 象 和 网 格 依 赖 性 等 数 值 问 题14， 研 究 者 提 出 了 很 多 有 效 措 施 ： 采 用 高 阶 有 限 元 活 非 协 调 元 15-16、 敏 度 过 滤 法 17、密 度 过 滤 法 18、 周 长 约 束 法 19、 局 部 密 度 斜 率 控 制 20和 最 小 密 度 下 限 控 制 21等 。 为 使变 密 度 法 的 优 化 结 果 更 加 便 于 工 程 应 用 ， 研 究 者 们

11、 做 出 了 大 量 的 努 力 并 取 得 了 丰 硕 的成 果 。 例 如 ： Duysinx 和 Bensond22在 拓 扑 优 化 中 考 虑 了 应 力 约 束 ， 并 根 据 程 耿 东 院士 和 郭 旭 23提 出 的 松 弛 法 消 除 了 应 力 奇 异 现 象 。 通 过 密 度 过 滤 和 Heaviside 投 影 ， 最初 的 SIMP 方 法 演 变 为 两 场 、 三 场 类 方 法 。 例 如 王 凤 稳 等 24提 出 了 使 用 多 种 Heaviside映 射 方 法 ， 使 得 最 终 的 优 化 结 果 更 加 清 晰 和 稳 健 。 此 类 方 法

12、 的 拓 展 研 究 科 参 考 文 献25-29上 述 连 续 体 结 构 拓 扑 优 化 方 法 中 的 设 计 变 量 通 常 假 设 为 连 续 变 化 的 物 理 量 或 数学 变 量 ， Xie 和 Steven 提 出 的 进 化 式 结 构 优 化 方 法 (evolutionary structural optimization,ESO)是 一 种 基 于 离 散 变 量 的 拓 扑 优 化 方 法 。 ESO 法 基 本 思 想 是 通 过 逐 步 删 除 无 效 或低 效 的 单 元 并 使 得 剩 余 结 构 稳 定 ， 从 而 得 到 最 优 结 构 。 ESO 法

13、的 优 点 在 于 易 于 实 现 。但 为 了 保 证 剩 余 结 构 稳 定 ， 通 常 需 要 进 行 多 次 结 构 重 分 析 ， 优 化 效 率 低 。 Querin 等 30提 出 的 双 向 进 化 式 结 构 优 化 方 法 (bi-directional evolutionary structural optimization,BESO) 通 过 同 时 生 长 和 删 除 克 服 了 该 缺 点 。同 均 匀 化 法 以 微 孔 结 构 尺 寸 为 设 计 变 量 和 变 密 度 法 以 相 对 密 度 为 设 计 变 量 不 同 ，隋 允 康 等 31提 出 的 独 立

14、 连 续 映 射 (independent, continuous, mapping, ICM)法 以 独 立 于单 元 具 体 物 理 参 数 的 变 量 来 表 征 单 元 的 “ 有 ” 与 “ 无 ” ， 即 “ 独 立 拓 扑 变 量 ” 。 ICM 法3将 拓 扑 变 量 从 尺 寸 、 密 度 等 低 层 次 变 量 中 抽 象 出 来 ， 以 恢 复 拓 扑 变 量 的 独 立 性 。 同 时 ，ICM 法 保 持 了 变 密 度 法 设 计 变 量 连 续 可 微 的 优 点 ， 使 得 传 统 基 于 梯 度 的 连 续 变 量 优 化算 法 得 以 发 挥 应 用 。 I

15、CM 中 的 mapping， 即 映 射 具 有 两 个 方 面 的 含 义 ： “ 离 散 连 续 ”映 射 和 “ 连 续 离 散 ” 映 射 。 “ 离 散 连 续 ” 映 射 指 的 是 传 统 拓 扑 变 量 向 独 立 连 续 拓扑 变 量 的 映 射 过 程 。 与 变 密 度 法 比 较 ， 过 滤 函 数 作 用 类 似 于 密 度 刚 度 插 值 格 式 ， 但同 时 具 有 一 定 的 区 别 ， 主 要 体 现 在 ： (1) 变 密 度 法 中 的 插 值 函 数 反 映 的 是 密 度 与 材 料弹 性 模 量 的 关 系 ， 而 ICM 法 中 的 拓 扑 变

16、量 是 一 个 纯 粹 意 义 上 的 数 学 量 ， 可 直 接 作 用于 单 元 刚 度 阵 等 上 以 表 征 单 元 物 理 量 的 有 无 ， 这 使 得 设 计 变 量 与 物 理 量 的 关 系 更 为 简捷 ； (2) ICM 法 的 拓 扑 变 量 采 用 不 同 的 过 滤 函 数 单 独 作 用 于 单 元 体 积 、 单 元 刚 度 阵 、单 元 质 量 阵 等 上 ， 使 得 设 计 变 量 与 物 理 量 的 关 系 更 为 灵 活 。 上 述 两 点 不 同 正 是 反 映 了ICM 法 与 变 密 度 法 在 设 计 变 量 选 取 上 的 根 本 区 别 ，

17、也 是 ICM 法 中 设 计 变 量 独 立 性 的具 体 体 现 。 磨 光 、 过 滤 过 程 是 ICM 法 映 射 法 则 的 具 体 体 现 。 该 过 程 遵 循 了 数 学 关 系映 射 反 演 (relation mapping inverse, RMI) 原 理 ， 在 优 化 求 解 中 ， 通 过 数 学 变 换 将 原 有难 以 求 解 的 优 化 模 型 变 换 为 易 于 求 解 的 二 次 规 划 问 题 ， 故 而 具 有 方 法 论 上 的 高 度 。 彭细 荣 等 32在 过 滤 函 数 参 数 选 取 、 优 化 模 型 构 造 、 单 元 删 除 策

18、略 等 上 面 进 行 了 更 细 致 的研 究 ， 使 改 进 后 的 ICM 法 更 加 稳 健 实 用 。 ICM 这 些 年 的 研 究 进 展 集 中 体 现 在 专 著 33中 。 水 平 集 法 (Level Set Method, LSM)是 由 Osher和 Sethian34提 出 的 采 用 高 一 维 水 平集 函 数 (Level Set Function, LSF)隐 式 追 踪 动 态 界 面 的 一 种 数 值 方 法 ， 并 于 2000 年 首 次被 Sethian和 Wiegmann35引 入 到 拓 扑 优 化 设 计 中 。 如 图 2所 示 为 某

19、结 构 的 水 平 集 描 述 。基 于 LSM 的 拓 扑 优 化 方 法 不 仅 能 够 设 计 出 具 有 光 滑 边 界 的 结 果 ， 还 可 避 免 棋 盘 格 现象 和 应 力 奇 异 现 象 等 ， 因 此 在 被 王 煜 等 36和 Allaire 等 37完 善 了 灵 敏 度 分 析 理 论 之 后得 到 了 迅 速 的 发 展 。 为 实 现 对 多 相 材 料 结 构 的 结 构 拓 扑 优 化 设 计 ， 王 煜 和 王 晓 明 38创 新 性 提 出 了 “ 彩 色 ” LSM。 为 了 消 除 优 化 结 果 对 初 始 孔 洞 数 量 的 依 赖 性 ， 梅

20、玉 林 和王 晓 明39以 及 Allaire 等 将 拓 扑 导 数 与 形 状 导 数 相 结 合 ， 实 现 了 在 结 构 中 自 动 开 孔 的目 的 ， 并 因 此 显 著 提 高 了 优 化 收 敛 速 率 。 传 统 基 于 LSM 的 拓 扑 优 化 方 法 采 用 的 都 是离 散 的 LSF， 所 以 在 优 化 过 程 中 需 要 求 解 Hamilton-Jacobi 方 程 ， 这 时 不 仅 要 进 行 速 度场 扩 散 和 重 新 初 始 化 等 操 作 ， 还 要 限 制 优 化 步 长 以 满 足 Courant-Friedrichs-Lewy 条 件 。为

21、 解 决 这 一 问 题 ， 为 解 决 这 一 问 题 ， Wang、 王 煜 、 罗 震 和 魏 鹏 等 40-42先 后 采 用 全 局 径 向基 函 数 和 紧 支 径 向 基 函 数 插 值 构 造 出 参 数 化 的 LSF， 并 选 取 基 函 数 的 插 值 系 数 为 设 计 变量 ， 进 而 通 过 十 分 简 单 的 参 数 优 化 方 式 实 现 了 对 低 一 维 结 构 的 拓 扑 优 化 ， 无 需 求 解 偏 微分 方 程 。 近 年 来 ， 基 于 LSM 的 拓 扑 优 化 方 法 研 究 更 加 注 重 以 工 程 实 际 为 导 向 ， 其 中 比 较热

22、 门 的 两 个 研 究 方 向 就 是 将 LSM应 用 于 非 规 则 区 域 拓 扑 优 化 设 计 和 应 力 相 关 拓 扑 优 化 设计 。 前 一 个 研 究 方 向 属 于 弥 补 LSM 自 身 的 不 足 ， 相 关 的 研 究 有 ： Chen 等 43基 于 布 尔 操作 的 思 想 利 用 R 函 数 对 参 数 化 的 LSF 进 行 处 理 ， 实 现 了 非 规 则 设 计 区 域 内 的 形 状 拓 扑 联合 优 化 ； Xing 等44使 用 FEM 求 解 用 于 驱 动 拓 扑 优 化 的 偏 微 分 方 程 ， 突 破 了 常 用 的 有 限 差分 法

23、 对 设 计 区 域 的 苛 刻 限 制 ； James 等 45-46把 等 参 映 射 方 法 应 用 于 到 拓 扑 优 化 中 ， 将 非 规则 设 计 区 域 拓 扑 优 化 问 题 转 化 到 规 则 区 域 内 求 解 ； 周 明 东 和 王 煜 47从 CAD 的 构 造 实 体 几何 （ Constructive Solid Geometry， CSG） 表 示 法 得 到 启 发 并 创 建 了 基 于 CSG 的 LSF， 在设 计 区 域 中 成 功 引 入 了 工 程 特 征 约 束 。 后 一 个 研 究 方 向 属 于 发 挥 LSM 自 身 的 优 势 ， 相

24、关的 研 究 有 ： 郭 旭 等 提 出 了 基 于 LSM 和 XFEM 的 应 力 相 关 拓 扑 优 化 方 法 ， 该 方 法 不 仅 能得 到 具 有 光 滑 边 界 的 优 化 结 果 ， 还 能 高 精 度 地 计 算 结 构 应 力 响 应 ， 很 好 地 克 服 了 前 述 密度 法 在 处 理 此 类 问 题 上 的 不 足 ； 王 煜 等 和 张 维 声 等 48在 拓 扑 优 化 中 同 样 使 用 了 LSM 和4XFEM 的 组 合 ， 并 相 继 提 出 了 有 效 的 应 力 约 束 方 法 ； 夏 奇 等 49采 用 FEM 分 析 结 构 力 学 响应 ，

25、应 力 计 算 精 度 通 过 使 用 与 零 水 平 集 相 适 应 的 拉 格 朗 日 网 格 来 保 证 。图 2 结 构 的 水 平 集 描 述3. 连 续 体 结 构 拓 扑 优 化 应 用随 着 目 前 连 续 体 结 构 拓 扑 优 化 方 法 的 深 入 研 究 ， 相 关 的 工 程 应 用 也 在 逐 步 开 展 ，尤 其 是 在 一 些 对 结 构 设 计 性 能 要 求 和 产 品 重 量 控 制 要 求 较 高 的 行 业 如 航 空 航 天 、 车辆 、 微 机 械 等 。 近 年 来 ， 随 着 商 品 化 结 构 优 化 软 件 如 Altair 公 司 的 O

26、ptiStruct， FE-Design公 司 的 TOSCAStructure 等 的 引 入 ， 使 拓 扑 优 化 技 术 的 广 泛 应 用 成 为 可 能 。 目 前 在 各行 业 产 品 结 构 设 计 中 ， 静 态 最 大 刚 度 设 计 是 拓 扑 优 化 应 用 较 为 成 熟 领 域 之 一 ， 一 些 考虑 到 加 工 特 性 如 拔 模 约 束 、 最 大 最 小 尺 寸 约 束 、 对 称 约 束 等 功 能 在 商 品 化 软 件 中 的 实现 更 加 使 优 化 结 果 具 有 较 强 的 可 加 工 性 。 早 期 的 柔 性 机 构 设 计 采 用 的 是

27、伪 刚 体 模 型 ，最 终 结 果 仍 靠 设 计 者 模 仿 传 统 机 构 确 定 ， 但 难 免 造 成 结 构 复 杂 而 不 适 合 微 型 机 械 的 具体 要 求 。 连 续 体 结 构 拓 扑 优 化 设 计 方 法 为 柔 性 机 构 设 计 开 辟 了 新 途 径 。 如 图 3 所 示 ，在 此 方 面 较 为 典 型 是 丹 麦 的 Sigmund 开 展 结 构 热 电 综 合 设 计 ， 通 过 优 化 变 形 实 现了 微 驱 动 器 和 微 传 感 器 期 望 的 精 微 运 动50-51。 在 综 合 考 虑 结 构 动 静 态 性 能 要 求 方 面 ，如

28、 图 4 所 示 为 某 弹 体 外 壳 拓 扑 优 化 设 计 ， 优 化 模 型 中 包 括 了 结 构 静 态 柔 顺 度 与 动 态 频率 目 标 ， 并 采 用 OptiStruct 软 件 建 立 了 多 目 标 的 理 想 点 模 型 52。 朱 灯 林 等 53以 动 态 柔顺 度 为 目 标 ， 实 现 了 硬 盘 驱 动 臂 的 拓 扑 设 计 。 舒 磊 等 54提 出 了 复 合 域 结 构 的 重 构 拓 扑优 化 方 法 ， 方 法 应 用 于 X 形 汽 车 车 架 设 计 和 结 构 与 固 定 装 置 并 行 设 计 两 个 设 计 工 程 问题 。 Kim

29、等 55最 先 将 拓 扑 优 化 技 术 运 用 到 梁 的 截 面 优 化 中 ， 刘 书 田 等 56考 虑 到 梁 的 翘曲 效 应 ， 以 梁 的 平 均 柔 顺 度 为 优 化 目 标 ， 实 现 了 复 杂 载 荷 下 的 梁 截 面 拓 扑 优 化 设 计 。5图 3 电 热 驱 动 的 微 传 感 器图 4 某 弹 体 外 壳 的 拓 扑 优 化 设 计引 ：1 钱 令 希 著 . 工 程 结 构 优 化 设 计 M. 北 京 : 水 利 电 力 出 版 社 , 1983.2 Bendsoe MP, Kikuchi N. Generating optimal topologi

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