1、第 50 卷 第 9 期 西 安 交 通 大 学 学 报 Vol.50 No.9 2016 年 9 月 JOURNAL OF XIAN JIAOTONG UNIVERSITY Sep. 2016 - 收稿日期： 2016-02-25。 作 者简介： 周奇才（1962 ） ，男，教授，博士生导师。 基 金项目： 国家自然科学基金资助项 目（51375345）。 网络出版时间： 网络出版地址： 桁架结构拓扑及截面尺寸优化设计方法 周奇才 ， 吴 青龙 ， 熊 肖磊 ， 王璐 （同济 大学 机械 与能 源工 程学院 ， 201804， 上海 ） 摘要：为克服传统基结构 设计方法对最优解的束缚 ，实现
2、桁架结构的拓扑布 局及尺寸优化，提出了 将连续 体与 离散 杆系 相结 合的桁 架结 构优 化设 计方 法。 从连 续体 出发， 基 于 SKO 连续体 拓扑 优化 方 法得到 了最 优拓 扑布 局； 以二值 图像 细化 算法 为基 础，提 出了 基于 有限 单元 8 邻 域 网格 模型 的骨架 提取算 法， 通过 剥离 冗余 单元， 得到 了连续 体拓 扑优 化 结果 的中 心传 力骨 架； 以 单元 主应 力为 判据， 精确找 到骨 架中 的关 键点 ， 并连接 关键 点形 成了初始 桁 架结 构； 基于 拉格 朗日 乘 数法和 Kuhn-Tucker 条件，以初始桁架中杆件 的内外半径为
3、设计变量， 结构体积为约束条件，结 构柔度为目标函数，建 立了桁架结构杆件尺寸优 化的数学模型，并推导出 其优化迭代准则。最后， 以一悬臂结构为例对该 优化方法的应用进行了说 明，并使用一经典算例与 其他文献中的方法进行了 对比，结果表明该优化 方法得 到的 桁架 结构 具有 优化的 拓扑 构型 和力 学特 性，杆 件布 局、 尺寸 合理 ，应力 均匀 。 关键词 ：桁架 ； 连 续体 ； 拓扑优 化； 骨架 提取 ；尺寸 优 化 中图分 类号 ：TH11 文 献标志 码： A 文 章编号 ：0253-987X(2016)09-0000-00 Optimal Design of Topolog
4、y and Section Size of Truss Structures ZHOU Qicai, WU Qinglong, XIONG Xiaolei, W ANG Lu (School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai, 201804, China) Abstract: To achieve the topology and section size optimization of the truss structures without being restricted by the traditional g
5、round structure method, a new optimization method combining continuum with discrete bars is proposed. Starting from continuum and using SKO topology optimization method, an optimal topological layout is obtained. Then based on the FEM 8-neighbourhood elements and binary image thinning method, a skel
6、eton extraction algorithm is put forward to remove the redundant element of the optimal topology and get its central force flow skeleton. Through principal stress calculation of the elements, the key points of the skeleton is found precisely, and the initial truss structure is obtained by connecting
7、 these key points. For the optimization of bar section size, a mathematical model is established using section sizes as the design variables, truss volume as the constraint condition and truss flexibility as the objective function. And based on this model the optimization criteria are derived accord
8、ing to the Lagrange multiplier method and Kuhn-Tucker condition. Finally this truss design method is illustrated and verified by two examples. Results show that the optimal structures achieve excellent layout, appropriate bar section sizes and uniform stress distribution. Keywords: truss; continuum;
9、 topology optimization; skeleton extraction; section size optimization 桁架结构 因具有 造价低 、 重量轻、 施工简 便的 特 点而 在工 程领 域中 得到了 广泛 应用 。桁 架结 构的 优 化设 计包 扩 结 构的 拓扑和 布局 优化 及杆 件的 尺寸 优 化 。在 桁 架拓 扑和 布局优 化 方面，Michell 于 1904 年提出 的 Michell 桁架 理论以及 Prager 于 1977 年建 立的经 典布 局理 论为 其 奠定 了 理论 基础， 而 Dorn 等 2016-06-12 15:04:24 h
10、ttp:/ 西 安 交 通 大 学 学 报 第 50 卷 http:/ http:/ 提 出的 基结 构法 则标志 了 桁 架拓 扑优 化工 作的 真正 开始 1-2 。 在随后的若干年中，几乎全 部研究都是基 于基 结构 展开 的。 这 些研究 主要 包括 基于 尺寸 优化 的拓扑优化 3-4 ， 基于独立变量的拓扑 优化，以及集 拓 扑、 形状 和尺 寸于 一体的 布 局优化 5 。 基 于基 结构 进 行拓 扑优 化， 所得 的优化 解本 质上 是给 定基 结构 中的 一个 子集 ， 因此 基结构 的采 用其 实一 开始 就限 制 了优 化解 的范 围， 并且真 正的 最优 解很 可能
11、没有 包含 在该 范围 内。 为 消除基 结构 的限 制， 一些 非基 结 构 法的 桁架 拓扑、 布局优 化 方法 相继 出现。 例 如 ： Giger 等 利用数 学图论 对桁 架结构 进行 参数化 建模 ， 结合 遗传算 法实现 摆脱了基 结构的桁 架拓扑 优化 6 ； Mroz 等 借鉴 生物 生长 规则 ，由基 础结 构出 发， 不断 添加杆 件生 成了 最优 拓扑 结构 7 ； Azid 等采 用遗 传算 法 的 思 想， 在给 定载 荷和约 束作 用点 的情 况下 ，突 破基结 构束 缚实 现了 桁架 的智能 布局 优化 设计 8 。 在 杆 件尺 寸优 化方 面， 广泛使 用的
12、 是满 应力 法， 采 用 满 应力 准则 调整 截面 尺寸， 使每 根杆 件充 分发 挥其 承载性 能， 达到 满应 力状 态 9-10 。 本 文 提出 一种与上 述 方法均 不 相 同的桁架 结构 优化 设计 方法 ： 将连 续体拓 扑优 化和 离散 体拓 扑优 化 相 结 合， 避免 了 传 统桁架 优化 中基 结构 对优 化结 果的限 制， 可 最大 限度 地 寻求结 构的 最优 拓扑 分布 ； 将 桁架 结构 拓扑 优化 和尺寸 优化 分离 开来 ，使 用连 续体 优化 寻求 结构 的 最优拓 扑， 使用 骨架 提取 算法 抽 离骨 架得 到桁 架布 局，最 后建 立桁 架杆 件尺
13、 寸优 化 的 数学 模型， 使用 拉格朗 日 乘数 法和 Kuhn-Tucker 条件 推导 出 杆件 截面 尺寸的 优化 迭代 准则 。 优 化方 法的流 程如 图 1 所 示。 给定设 计区域 及约束 载荷 连续体 拓扑优 化 骨架提 取形成 桁架 杆件尺 寸优化图 1 桁架拓扑优化流程 1 连续体拓 扑优化 连 续 体拓 扑优 化采用 SKO （soft kill option ）方 法 ， 这 是一种 基 于生 物自适 应生 长规 律的 启发 式连 续体结构 拓扑优 化方 法， 最早是由 德国 的 Karlsruhe 研究中 心提 出的 11-12 。 SKO 算法流 程图 如图 2
14、 所 示，其 核心 迭代 关系 式为 ( +1) = ( ) ( ( ) ( ) ) （1） 式 中： ( ) 、 ( ) 分 别为 单元 在第 次迭代时 的应 力、 温度； s 为迭 代步 长因 子； 为权重系 数； ref ( ) 是第 次 迭代时 的参 考应 力。 给定 设计区 域 及约 束载荷 有限 元分析 提取 分析结 果 变形满足？ 更新 结构信 息 收敛 ？ 后处 理 有限 元分析 恢复上一次迭代 的结构信息 Y N Y N 开始 结束图 2 SKO 算法流程图 SKO 算法通过每次有限元 分析中单元的应力 情 况 不断 更新 单元 温度 ，进而 改变 结构 中单 元的 材料 信
15、 息， 最终 删除 软化 的单元 ， 获 得优 化的 拓扑 结构。 2 骨架提取 连续体拓 扑优化 后的结 果 包含较多 的冗余 单元 信息 ，为 将其 转换 为 桁架结 构， 需去 除多 余的 单元 信 息， 找到 中心 骨架 。目前 ，在 结构 优化 领域 尚 未 见 到 对 连续 体拓 扑优 化结果 进行 简化 进而 提取 中心 骨架 的相 关文 献。 本 文 借鉴 图像 处理 中的 二值 图像 细化算法 13 ，结合有限元模型中的网格特性，提 出 一种基 于有 限单 元 8 邻域网 格 模型 的骨 架提 取算 法。 该 算法 可直 接应 用于 各种低 阶和 具有 中间 节点 的高 阶
16、四边 形单 元， 但要 求有限 元模 型具 有规 则的 网格 划 分， 并 且 在骨 架提 取算法 中使 用的 均为 单元 顶点 节 点， 中间 节点 不参 与骨架 提取 运算 。该 算法 不适 用于 使用 三角 形单 元 或自由 网格 划分 形成 的不 规则 有限元 模型 。 连续体拓 扑优化 后的结 果 中包含优 化单元 （优 化 后保 留下 来 的 单元 ）和背 景单 元（ 优化 后删 除的 单元） 。 在 有限 元模 型中 ， 每一个 优化 单元 周围 都可 视 为有 8 个 单元 与之 相邻 接（边 界上 的单 元可 假设 背景单 元与 之相 邻 接） ， 称为 该 单元的 8 邻域
17、。通过 对每 个单 元的 8 邻域 单元 的判断 ，可 将冗 余优 化单 元转化 为背 景单 元， 最 终 剩下的 单元 即为 骨架 单元 。 单元模 型和 单元 的 8 邻域 如图 3 所 示。 第 9 期 周奇才， 等： 桁架结构拓 扑及截面尺寸优化设计方法 y3 http:/ http:/ 图 3 单元模型和单元的 8 邻域 2.1 骨架 提取 算法 流程 骨架提 取算 法的 流 程如图 4 所示 。 该 算法 的思 想 为： 每次 迭代 首先 找出优 化模 型的 边界 及边 界单 元 集合 ( ) ； 判断该 边界上 的单 元是否 为骨架 单元 ， 将非骨架单元存入 ( ) ；当一轮迭
18、代完成 后 ，判断 ( ) 是否为 空集 ， 若为 空集 ， 表明模 型中 已经 没有 非 骨 架 单元， 则剩 余优 化单元 ( ) 即为 骨架 单元 ， 若不 为空集 ， 则将 ( ) 中的 单元 抹 去成为 背景 单元 ， 并进 入下一 轮迭 代。 图 4 骨架提取算法流程图 2.2 8 邻域 单元 查找 模型 要判断当前 单 元是 否 为骨架 单元， 需要先 找出 当 前 单元 对应 位置的 8 邻 域单元 及其 对应 单元 信 息。 如图 5 所示 ，假 设当 前单元 的 8 邻域 单元 按图 示 的 1 8 的顺序排列，则需要 依 次判断出 1 8 所 在的 8 个 位置 的单 元
19、分 别是背 景单 元还 是优化 单 元。 图 5 8 邻域单元查找模型 为 查 找出 当前 单元的 8 邻域 单 元， 首先 对 有限 元网格 模型 约定 如下 基本 定义。 定义 1 网格(G) 、单元(E) 、线(L) 的 表达 形式 为 ( , , ), ( , ), ( ) （2） 分别表 示网 格由 单元 、线 、节点 组成 ，单 元由 线、 节点组 成， 线由 节点 组成 。 定义 2 、 、 表示 网格 中所 有单元 、 线 、 节点 的 集合 = 1 , 2 , , = 1 , 2 , , = 1 , 2 , , （3） 定义 3 若构成四节点平面单元 的节点集为 1 , 2
20、, 3 , 4 ，则 可表示 为 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) （4 ） 定义 4 同时 含有 节点 , , 的单元的 集合 表示 为 ( , , ) （5） 定义 5 单元 的 8 邻域： 单元 的 上下 左右 4 个 相邻单元 及对 角线 上的 4 个相邻 单 元组 成的 集合 即 为单元 的 8 邻域 单元 = 1 , 2 , 8 （6 ） 在上述 定义 的基 础上 ，当 前单元 的 8 邻域 单 元查找 方法 如下 。 （ 1 ） 首先找到当前单元 的 节点集 1 , 2 , 3 , 4 。 （2） 通过 算法式（7） 定位 1 、 3 、 5 、 7 所 在位置 的单 元
21、1 = ( 1 ) ( 2 ) 3 = ( 2 ) ( 3 ) 5 = ( 3 ) ( 4 ) 7 = ( 4 ) ( 1 ) （7） 式中： = ， 表示 当前 单元； 、 为集合 的交 、 差运算 符。 （3） 通过 算法式（8） 定位 2 、 4 、 6 、 8 所 在位置 的单 元 2 = ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 1 ) 4 = ( 3 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 2 ) 6 = ( 4 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 8 = ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) （8） 至此，可获得当前单元 的 8 邻域单元 = 1 , 2 , 8 。 找到对
22、应的 8 邻 域单元 后， 提 取单元 信息 并存 储， 为单 元判断 做准 备。 2.3 骨架 单元 判断 算法 若 判断某 单元为 非骨架 单 元，则 将 其抹去 成为 背景单 元。 判断 算法 如下 。 首先， 作出 以下 定义 。 y4 西 安 交 通 大 学 学 报 第 50 卷 http:/ http:/ 定义 6 若 单元 为优化 单元 ， 则有| |=1；若 为 背景单元 ，则 有| |=0 。 定义 7 A( ) 为当前 单元 的 8- 邻域单 元中 优化 单 元的数 目： A( ) = | | 8 =1（9） 定义 8 定义B( ) 为当前单元 的 8 邻域单元按 1 -
23、2 - 8 - 1 的顺序 转一周 从背 景 单元变 为优 化 单元的 次数 B( ) = 1 2 ( ( +1) | | + | 1 | | 8 | 7 =1 ) （10） 在 上 述定义 6 定义 8 的基础 上 ，若 当前 单元 的 8 邻域 单元 满足 条件式（11）或 式（12 ） 或者，则 认为 为非骨 架单 元 2 A( ) 6 B( ) = 1 | 2 | | 4 | | 6 | = 0 | 4 | | 6 | | 8 | = 0 （11） 2 A( ) 6 B( ) = 1 | 2 | | 4 | | 8 | = 0 | 2 | | 6 | | 8 | = 0 （12） 式中
24、： 条件 2 A( ) 6 用于 保证 删除 的单元 为边 界单元，同时保证骨架的端点不会被删除；条件 ( ) = 1 保证删 除单 元不 会破 坏骨 架的连 通性 ；式 （11 ） 的后 2 个条 件保 证删 除的单 元处 于模 型的 右侧 边界、 下侧 边界 和左 上角 边界； 式（12） 的后 2 个 条 件保 证删 除的 单元 处于模 型的 左侧 边界 、上 侧边 界 和右 下角 边界 。在 上述条 件约 束下 ，即 可保 证从 边缘向 内部逐 步删 除非 骨架 单元， 得到 最终 的骨架。 3 形成桁架 结构 得到连续 体优化 拓扑结 构 的骨架后 ，即找 到了 优 化拓 扑的 中心
25、 路径 。此时 ，只 要找 到骨 架中 的关 键 节点 ，依 据连 续体 优化模 型的 拓扑 关系 ， 连 接关 键节点 就可形 成具有 优化 拓扑和 布局 的桁 架结 构。 由于连续 体优化 拓扑模 型 的复杂性 和骨架 提取 算法的 缺陷 ，得 到的 骨架 可能会 有如 下问 题： （1） 骨 架不 一定 是标 准的直 线 ； （2） 在 拓扑 分支 的交 界处 骨架将 会呈 现复 杂性 和不规 则性 ； （3） 骨 架可 能不 经过 约束和 载 荷作 用点 。 针对以上 问题， 骨架关 键 节点的提 取需综 合考 虑 约束 和载 荷作 用点 、骨架 、优 化的 连续 体拓 扑结 构 及其
26、 应力 分布 情况 来进行 确定 。关 键点 确定 的 基 本 原则 是： 尽量 使得 到的桁 架结 构在 关键 点的 受力 状 态与 连续 体中 该点 的应力 状态 一致 ，即 杆件 的布 局方向 与单 元主 应力 方向 保持一 致。 具体 方法 如下： （1） 在提取 骨架 时， 人 为设 定 所有 载荷 和约 束 作 用点 为骨 架点 ，并 依据骨 架提 取结 果， 选择 与骨 架直接 相连 的约 束作 用点 为桁架 的约 束关 键节 点； （2） 为 保证 形成 的桁 架结构 是 直杆 相连，将骨 架中的 拐点 作为 关键 节点 ， 连接拐 点形 成初 始桁 架。 由于 拓 扑分 支交
27、 界处 骨架的 复杂 性， 交界 处将 形成 复杂的 过渡 桁架 ； （3 ） 桁架 结 构主 要是 轴向拉 压 受力， 而单 元体 的 主 应力 方向 上， 切向 应力为 0， 表 现为 拉压 状态 ， 因此需 绘制 拓扑 优化 结果 的主应 力矢 量图 ， 依据 单 元的主应力 方向选择 合适 的关键点， 对第（2 ）步 中得到 的初始 桁架 进行 简化 和 修正 ， 形成 最终 的桁 架布局 。 4 桁架结构 尺寸优 化算法 初始得到 桁架结 构仅具 有 优化的拓 扑构型 ，要 得 到最 优桁 架结 构还 需对结 构中 杆件 的尺 寸进 行进 一 步优 化。 下面 将以 桁架中 杆件 的
28、截 面内 径和 外径 为 设计 变量 、 体 积为 约束条 件、 桁架 结构 柔度 为目 标 函数 建立 桁架 杆件 截面的 优化 数学 模型 ； 基 于拉 格朗日 乘数法 和 Kuhn-Tucker 条件 并结合有限元 理 论， 推导 出 设计 变量 的优化 迭代 准则 ；根 据体 积约 束， 使 用泰 勒展 开式 推导出拉 格朗 日乘 子的 表达 式。 4.1 优化 数学 模型 以桁架中 杆件的 截面内 、外半径为 设计变 量， 体 积为 约束 条件 ，桁 架结构 柔度 为目 标函 数的 优化 数学模 型为 1,1 1,2 2,1 2,2 , ,1 ,2 1 22 ,2 ,1 0 min
29、,1 ,2 max ( , , , , . , , . , , ) () . . = 1, 2, . , 1, 2 () 13 ij n n n TT i ii i n i ii i ii find r r r r r r r min C st i n j V r rl V r rrr = = = = = = = = （ ） R R U KU u k u KU F 式中： ,1 、 ,2 为杆件 i 的内、 外 半径；R 为 所 有杆 件 内外半 径组 成的矢量 ； 为 桁架中 杆件的 数量 ；C 为结构 柔度 ； U 为结构 节点 的位移 矢量； K 为结构的 总刚度 矩阵 ； 为 i 单
30、元节点 的位移 矢量 ； 为 i 单第 9 期 周奇才， 等： 桁架结构拓 扑及截面尺寸优化设计方法 y5 http:/ http:/ 元的刚度矩 阵；F 为结构载荷矢量； 为 结构体积； 为约束 体积 ； min 、 max 为半径 的下限 和 上限 。 4.2 优化 准则 推导 对 式（13 ） 表 示 的 数学 模 型采用拉 格朗日 乘数 法，构 建如 下拉 格朗 日函 数 2 1 11 22 2 min ,1 2 3 ,1 ,2 3 11 2 4 ,2 max 4 1 ( )( ) ( )( +( 14 T nn i ii ii n i i LC VV x r rx rr x rr x
31、 = = = =+ + + + + + - ） ） （ ） KU F 式中 ： 1 、 1 、 2 、 3 、 4 为拉格 朗日 乘子 ， 其中 1 为矢量 ； 1 、 2 、 3 、 4 为松弛 变量 。 针 对设计变量 R 取得极值 R 时的情况，当 ,1 = min 时 ，设计 变量 半径的 下限起 约束作 用， 有 2 0 ， 3 = 0 ； 当 ,2 = max 时，设计变量半径的 上限起 约束 作用 ， 有 4 0 ， 3 = 0；当 min = = = = = = = KU KU F(15) 当 R 取得 极值 R 时， 满足 式（15 ）中 , 0 ij L r = 的情 况，
32、即 11 , , , 0 T ij ij ij ij LC V rr r r =+= KU （16 ） 将 T C = U KU 代入 式（16） ，得到 , , , 1 11 , , 0 17 T TT ij ij ij ij TT ij ij ij L rr r r V r rr =+ += （ ） U KU K UU UU K KU UK 由刚度 矩阵 的对 称性 可知 11 , , ; TT TT ij ij ij ij rr rr = = UU UU U KK U KK （18 ） 将 式（18）代 入（17） ， 并考 虑 1 为结构 平衡 约 束拉格朗日乘子，因结构 平衡始终满足
33、，故 1 可取 任意值 ，这里 取 1 = 2 ，式 （17 ）可简 化为 1 , , 0 T ij ij ij LV rrr = += K UU（19 ） 整理后 得 1 , 0 T ii ii ij ij v rr += k uu（20 ） 在有限 元理 论中 ，二 维杆 单元的 刚度 矩阵 为 22 22 22 ,2 ,1 22 22 () ii i i l lm l lm Er r lm m lm m l l lm l lm lm m lm m = k （21） 单 元刚度 矩阵 i k 和单 元体积 i v 对 杆单元 内、 外 半径的 偏导 数为 ,1 ,2 ,1 ,2 22 ;
34、ii ii ii i i ii rr r A rA = = kk kk（22 ） ,1 ,2 ,1 ,2 2; 2 ii ii ii ii vv lr lr rr = = （23 ） 式（20 ）可化 为 ,1 1 ,1 ,2 1 ,2 2 2 0, 1 2 2 0, 2 i T i i i ii i i T i i i ii i r lr j A r lr j A = += u ku u ku （24） 整理后 得 1 0 T i ii i i lA = u ku（25 ） 式中： =2 T i ii i e u ku ， i e 为 单元 i 的应 变能 。 故由式 （25 ） 可得 y6
35、 西 安 交 通 大 学 学 报 第 50 卷 http:/ http:/ 1 2 1 i i i e f v = =（26 ） 式 （26） 即 为通 过拉 格朗日 函 数和 Kuhn-Tucker 条件 推导 出的 杆 件截 面尺寸 优化 准则 ，它 反映 了单 元 截面 尺寸 与应 变能 在优化 过程 中应 满足 的关 系。 将 作 为迭 代准 则， 可以 得到杆 件 截面 尺寸 的迭 代公 式 () () () () , min , max ( 1 ) () () , min , min () () max , min () , () , () , () kk kk i ij i ij
36、 k kk ij i ij kk i ij frr fr r r r f rr r f rr + = （27） 式中 ： 为阻尼 系数 。 引入 可减缓 优化 进程 ， 保证 数值计 算的 收敛 性和 稳定 性。 4.3 拉格 朗日 乘子 计算 由式 （26）有 () () () 1 2/ kkk i ii f ev = ， 要 计算 得到 () k i f 首 先需要 求得 拉格朗 日乘子 1 。 1 是拉 格朗 日 函数中 体积约 束所引 入的 乘子， 故 1 的取值需满 足 体积约束。设计变量由第 k 次迭代的 () , k ij r 更新到第 1 k + 次迭代 的 ( 1) , k
37、ij r + 时，桁 架结构 体 积由 () k V 更新为 ( 1) k V + ，将 ( 1) k V + 在 () k V 领域内泰勒展开并 保留到一 阶项， 有 () , , ( 1) ( ) ( 1) ( ) , 1 , () k ij ij n k k kk ij ij i ij rr V VV rr r + = = = + （28） 将 22 ,2 ,1 0 () n i ii i V r rl = = 及 ( +1) ( ) ( ) , = k kk ij i ij r fr 代入式（28 ） 并化简 ，可得 () ( 1) ( ) 1 4 k kk E VV + = +（29
38、 ） 假 设 ( 1) k V + 正好满足 体积约束要 求，即 ( 1) k VV + = ， 则可以 求得 () 1 * () 4 = k k E VV +（30 ） 5 算例说明 5.1 算例 1 算法 流程 示意 5.1.1 问题 描述 如图 6 所示，在 一 个 1.6 m1 m 的 区 域 内设 计一 桁架 结构， 区 域 左 侧为 约束 端， 右 侧边缘 中部作 用一 方向 向下 、 大小 为 50 kN 的力 F 。 图6 算例示意图 5.1.2 优化 设计 流程 （1 ）在设 计区 域上 建立 连续 体 有限 元模 型， 依据 设计要 求施 加约 束、 载荷 并进 行有限 元
39、分 析。 有限 元模 型和结 构 的 von-Mises 应力 云图如 图 7 所示 。 图 7 初始连续体有限元模型 及应力云图 （2）使 用 SKO 算法 对连 续体模 型进 行拓 扑优 化，得到优化的连续体拓扑结构及优化结构的 von-Mises 应力云 图， 如图 8 所示 。 图 8 SKO 法优化后的有限元 拓扑及应力云图 （3） 人 为设 定优 化模 型中 的约束 和载 荷作 用点 为 骨架 点， 并 使 用骨 架提取 算法 提取 优化 模型 的骨 架，见 图 9a；再 选择 与骨架 直 接相 连的 约束 点（A 、 B）、 载 荷 点 （ C）和 骨架 的拐 点 作为 关键 点， 连接 关 键 点 形成 初始 桁架 ，如图 9b 所示 。 (a) 骨架 (b) 初始桁架 图 9 骨架及初始桁架 绘制拓 扑优 化结 果的 主应 力矢量 图， 如 图 10 所 示 。因 桁架 结构 是轴 向受拉 压的 杆件 ，因 此可 依据 单 元的 主应 力图 对初 始桁架 进行 调整 和简 化。 在本第 9 期 周奇才， 等： 桁架结构拓 扑及截面尺寸优化设计方法 y7 http:/ http:/ 例中， 对图 中 、 、 区域 的 关键 点布 局进行 调整 。从 区域 的
