第 第 第三 三 三届 届 届中 中 中国 国 国大 大 大学 学 学生 生 生数 数 数学 学 学竞 竞 竞赛 赛 赛赛 赛 赛区 区 区赛 赛 赛 试 试 试题 题 题参 参 参考 考 考答 答 答案 案 案 ( 数 数 数学 学 学类 类 类, 2011) 一 一 一、 、 、 ( 本 题 15 分) 已 知 四 点A(1;2;7), B(4;3;3), (5; 1;6), ( 7; 7;0). 试 求 过 这 四点的球面方程. 解 解 解答 答 答: 设所求球面的球心为 (x;y;z), 则 (x 1) 2 +(y 2) 2 +(z 7) 2 = (x 4) 2 +(y 3) 2 +(z 3) 2 = (x 5) 2 +(y +1) 2 +(z 6) 2 = (x 7) 2 +(y 7) 2 + z 2 :(8 分) 即 3x+ y 4z = 10; 4x 3y z = 4; ( 7 1)x+( 7 2)y 7z = 20: . (10 分) 解得 (x;y;z) = (1; 1;3). 而 . (14 分) (x 1) 2 +(y 2) 2 +(z 7) 2 = 25: 于是所求球面方程为 (x 1) 2 +(y +1) 2 +(z 3) 2 = 25: . (15 分) 第1 页 ( 共 13 页)
