1、 12003 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读 “对论文格式的统一要求”） A 题 SARS 的传播 SARS（ Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症 , 俗称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。 SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响， 我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （ 1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （ 2）建立
2、你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据供参考。 （ 3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件 3 提供的数据供参考。 （ 4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件 1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年 5月 8日 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几
3、天，XXX老师用解析公式分析了北京 SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期2限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。 1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为 N0，平均每病人每天可传染 K个人（ K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为 L天。则在 L天之内，病例数目的增长随时间 t(单位天 )的关系是： N（ t） = N0 (1+K)t 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规
4、律增长。考虑传染期限 L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达 L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。 参数 K和 L具有比较明显的实际意义。 L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在 15-25之间比较好
5、，为了简单我们把它固定在 20（ 天）上这个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。 参数 K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时 K值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的 K值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，我们在 10天的范围内逐步调整 K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的
6、状态，则 K值需要做更多的调整。 2 计算结果 2.1 对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期，由于诊断标准等不确切，在 3 月 17 日之前，没有找到严格公布的数据。我们以报道的 2 月 15 日作为发现第一例病人的起点， 2 月 27 日从报道推断为 7 例。 3 月 17 日后则都是正式公布的数据。累积病例数在图 1 中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。 4 月 1 日前后（从起点起 45天左右）是疫情高峰时期，在此之前我们取 K=0.16204。此后的 10 天，根据数据的变化将K 逐步调到 0.0273，然后保持 0.0273 算出后面控制期的结果。短期内
7、K 调整的幅度很大，反映社会的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数，很容易算出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。可以看出，香港疫情从起始到高峰大约 45 天，从高峰回落到 1/10 以下（每天几个病例）大约 40 天（ 5 月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到 6 月上中旬）。 2.2 对广东疫情的计算和分析。广东的起点是 02年 11月 16日，到今年 2月下旬达到高峰，经过了约 100天。在今年 2月 10日以前的数据查不到，分析比较困难。总体上看，广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强
8、烈。但广东的回落也比较慢。从 2月下旬高峰期到现在经过了约 70天，还维持着每天 10来个新增病例，而同样过程香港只用了约 40天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到 K值上。比较好的3拟合结果是，在高峰期之前（ t （2-2） 参数 K 和 L具有比较明显的实际意义。 L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数
9、都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。 参数 K 显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率， 与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时 K 值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的 K 值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整 K 值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短
10、期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则 K 值需要做更多的调整。 2 计算结果 根据所建模型，首先对香港和广东的疫情 发展情况数据进行分析并确定 K值。 对香港疫情的计算和分析表明， 以2月15 日香港发现第一例病人为起点，在4月1 日前后达到疫情高峰之前取 0.16204K = ， 此后的10天 K 值将逐步被调到 0.0273，然后保持该值不变算出后面控制的结果。 对广东疫情的计算和分析表明，以 02 年 11 月 16 日为起点，在 101t (4-1) ( 1) ( () 1) ()Nt Kt Nt+= + ()tL (4-2) 其中 K
11、 是 t的函数，随 t按指数方式减少。假设 K 满足： btKae= ，其中 ,ab是待定系数； (4-3) 模型计算：首先利 用4月20日5月7 日的数据确定 ,ab的值，然后利用 ,ab的值预测以后北京的疫情走势。 已知数据如表4-1： 日期 已确诊病例累计 日期 已确诊病例累计4 月 20 日 339 4 月 29 日 1347 4 月 21 日 482 4 月 30 日 1440 4 月 22 日 588 5 月 1 日 1553 4 月 23 日 693 5 月 2 日 1636 4 月 24 日 774 5 月 3 日 1741 4 月 25 日 877 5 月 4 日 1803
12、4 月 26 日 988 5 月 5 日 1897 4 月 27 日 1114 5 月 6 日 1960 4 月 28 日 1199 5 月 7 日 2049 表4-1 1、利用4月20日5月7 日的数据确定 ,ab的值 北京的病例起点 在3月1 日，而仅仅 在4月20 日之后才有确切的病例数统计，因此采用一种循环往复计算、逐次迭代的方法使 ,ab的值逐步收敛，具体计算方法如下： 1）首先假 定4月20 日以前已确诊病例均为0，即使用式(4-2)计算 K 如下： 日期 t 已确诊病例累计 K 日期 t 已确诊病例累计 K 4 月 20 日 51 339 0.421829 4 月 29 日 60
13、 1347 0.0690424 月 21 日 52 482 0.219917 4 月 30 日 61 1440 0.0784724 月 22 日 53 588 0.178571 5 月 1 日 62 1553 0.0534454 月 23 日 54 693 0.116883 5 月 2 日 63 1636 0.0641814 月 24 日 55 774 0.133075 5 月 3 日 64 1741 0.0356124 月 25 日 56 877 0.126568 5 月 4 日 65 1803 0.0521354 月 26 日 57 988 0.12753 5 月 5 日 66 1897
14、0.033214 月 27 日 58 1114 0.076302 5 月 6 日 67 1960 0.045408144 月 28 日 59 1199 0.123436 5 月 7 日 68 2049 表4-2 通过 t与 K 的值按照式(4-3)线性拟和得到： ln a= 4.1470； b =-0.11158；相关系数 r =0.935643 2）利用上述 ,ab的值计算3月1日到4月19日的 K ，仍然利用式 (4-2)反过来计算这段时间的的病例人数（计算到小数） ，结果如下： 日期 病例人数 日期 病例人数 日期 病例人数 日期 病例人数3 月 1 日 2.84E-36 3 月 18
15、日 1.03E-12 4 月 4 日 0.186451 4 月 21 日 482 3 月 2 日 1.63E-34 3 月 19 日 9.8E-12 4 月 5 日 0.423894 4 月 22 日 588 3 月 3 日 8.43E-33 3 月 20 日 8.42E-11 4 月 6 日 0.906726 4 月 23 日 693 3 月 4 日 3.9E-31 3 月 21 日 6.56E-10 4 月 7 日 1.830477 4 月 24 日 774 3 月 5 日 1.62E-29 3 月 22 日 4.64E-09 4 月 8 日 3.498433 4 月 25 日 877 3
16、 月 6 日 6.02E-28 3 月 23 日 2.98E-08 4 月 9 日 6.349681 4 月 26 日 988 3 月 7 日 2.01E-26 3 月 24 日 1.75E-07 4 月 10 日 10.97833 4 月 27 日 1114 3 月 8 日 6.02E-25 3 月 25 日 9.34E-07 4 月 11 日 18.13615 4 月 28 日 1199 3 月 9 日 1.62E-23 3 月 26 日 4.57E-06 4 月 12 日 28.71236 4 月 29 日 1347 3 月 10 日 3.91E-22 3 月 27 日 2.04E-05
17、 4 月 13 日 43.68834 4 月 30 日 1440 3 月 11 日 8.5E-21 3 月 28 日 8.4E-05 4 月 14 日 64.0697 5 月 1 日 1553 3 月 12 日 1.66E-19 3 月 29 日 0.000318 4 月 15 日 90.80355 5 月 2 日 1636 3 月 13 日 2.92E-18 3 月 30 日 0.001107 4 月 16 日 124.6921 5 月 3 日 1741 3 月 14 日 4.62E-17 3 月 31 日 0.003571 4 月 17 日 166.3148 5 月 4 日 1803 3
18、月 15 日 6.59E-16 4 月 1 日 0.010677 4 月 18 日 215.9699 5 月 5 日 1897 3 月 16 日 8.48E-15 4 月 2 日 0.029679 4 月 19 日 273.6421 5 月 6 日 1960 3 月 17 日 9.84E-14 4 月 3 日 0.076924 4 月 20 日 339 5 月 7 日 2049 表4-3 从上表可以看到，由 于4月3 日前的病例人数非常接近于0，所 以4月19日到3月 1 日的病例人数直接用式(4-2)计算是很合理的。由同样的道理，在以后的迭代过程当 中4月19 日以前的病例人数都将直接使用式
19、(4-2)进行计算。 3）循环计算，将上表中的病例人数当作真实的病例人数，利用式(3-1)重新计算4月20日5月7日的 K 值如下： 日期 t 已确诊病例累计 K 日期 t 已确诊病例累计 K 4 月 20 日 51 339 0.421833 4 月 29 日 60 1347 0.0693694 月 21 日 52 482 0.219922 4 月 30 日 61 1440 0.0790754 月 22 日 53 588 0.17858 5 月 1 日 62 1553 0.0540764 月 23 日 54 693 0.116896 5 月 2 日 63 1636 0.065327154 月
20、24 日 55 774 0.133107 5 月 3 日 64 1741 0.0365284 月 25 日 56 877 0.126629 5 月 4 日 65 1803 0.0540564 月 26 日 57 988 0.127648 5 月 5 日 66 1897 0.034884 月 27 日 58 1114 0.076427 5 月 6 日 67 1960 0.0484934 月 28 日 59 1199 0.123797 5 月 7 日 68 2049 表4-4 通过 t与 K 的值按照式(4-3)线性拟和得到： ln a= 3.94757； b =- 0.10799；相关系数 r
21、= 0.93059 4）再次利用重新计算后得到的 ,ab值计算3月1日到4月19日的 K ，再利用式(4-2)再次计算这段时间的的病例人数（计算到小数） ： 日期 病例人数 日期 病例人数 日期 病例人数 日期 病例人数3 月 1 日 2.3E-34 3 月 18 日 5.59E-12 4 月 4 日 0.251419 4 月 21 日 482 3 月 2 日 1.09E-32 3 月 19 日 4.7E-11 4 月 5 日 0.548794 4 月 22 日 588 3 月 3 日 4.67E-31 3 月 20 日 3.6E-10 4 月 6 日 1.131453 4 月 23 日 69
22、3 3 月 4 日 1.8E-29 3 月 21 日 2.51E-09 4 月 7 日 2.209758 4 月 24 日 774 3 月 5 日 6.22E-28 3 月 22 日 1.6E-08 4 月 8 日 4.100141 4 月 25 日 877 3 月 6 日 1.94E-26 3 月 23 日 9.3E-08 4 月 9 日 7.248641 4 月 26 日 988 3 月 7 日 5.45E-25 3 月 24 日 4.95E-07 4 月 10 日 12.24509 4 月 27 日 1114 3 月 8 日 1.38E-23 3 月 25 日 2.42E-06 4 月
23、11 日 19.82156 4 月 28 日 1199 3 月 9 日 3.15E-22 3 月 26 日 1.08E-05 4 月 12 日 30.83042 4 月 29 日 1347 3 月 10 日 6.5E-21 3 月 27 日 4.47E-05 4 月 13 日 46.20078 4 月 30 日 1440 3 月 11 日 1.21E-19 3 月 28 日 0.00017 4 月 14 日 66.87618 5 月 1 日 1553 3 月 12 日 2.03E-18 3 月 29 日 0.000598 4 月 15 日 93.74051 5 月 2 日 1636 3 月 1
24、3 日 3.08E-17 3 月 30 日 0.001951 4 月 16 日 127.5417 5 月 3 日 1741 3 月 14 日 4.23E-16 3 月 31 日 0.005911 4 月 17 日 168.8233 5 月 4 日 1803 3 月 15 日 5.25E-15 4 月 1 日 0.016679 4 月 18 日 217.873 5 月 5 日 1897 3 月 16 日 5.91E-14 4 月 2 日 0.043956 4 月 19 日 274.6938 5 月 6 日 1960 3 月 17 日 6.03E-13 4 月 3 日 0.10848 4 月 20
25、 日 339 5 月 7 日 2049 表4-5 5）不断重复上述过程，直到 ba, 的值收敛。 第一次迭代： ln a= 4.14708； b =-0.11158；相关系数 r =0.935643 第二次迭代： ln a= 3.94757； b =- 0.10799；相关系数 r = 0.93059 第三次迭代： ln a= 3.94058； b =- 0.10786；相关系数 r = 0.93045 第四次迭代： ln a= 3.94038； b =-0.107858；相关系数 r = 0.93045 第五次迭代： ln a= 3.9403763； b =-0.10785791；相关系数
26、r = 0.93045 第六次迭代： ln a= 3.9403762； b =-0.10785791；相关系数 r =0.93045 上面的过程可以看到， ba, 的值在几次迭代之后就很快收敛，最后取： ln a= 3.940376； b =-0.1078579； 162、利用 ,ab的值预测以后北京的疫情走势 利用1中求得的 ba, 值以及式(4-3)计 算5月7日到6月23 日各天的 K 值，然后利用 K 值以及式(4-1)计 算5月7日到6月23 日各天的已确症病例累计。 结果如下（列 出5月7 日以后的数据） ： 日期 t 已确诊病例累计 K 日期 t 已确诊病例累计 K 5 月 8
27、日 69 2105.671 0.030143 6 月 1 日 93 2455.909 0.0022645 月 9 日 70 2156.755 0.027061 6 月 2 日 94 2456.272 0.0020335 月 10 日 71 2202.476 0.024294 6 月 3 日 95 2456.544 0.0018255 月 11 日 72 2243.119 0.02181 6 月 4 日 96 2456.747 0.0016385 月 12 日 73 2277.601 0.01958 6 月 5 日 97 2456.896 0.0014715 月 13 日 74 2307.301
28、 0.017578 6 月 6 日 98 2457.006 0.0013215 月 14 日 75 2332.776 0.015781 6 月 7 日 99 2457.086 0.0011865 月 15 日 76 2354.859 0.014167 6 月 8 日 100 2457.145 0.0010645 月 16 日 77 2373.656 0.012719 6 月 9 日 101 2457.186 0.0009565 月 17 日 78 2389.477 0.011418 6 月 10 日 102 2457.216 0.0008585 月 18 日 79 2402.552 0.010
29、251 6 月 11 日 103 2457.237 0.000775 月 19 日 80 2413.628 0.009203 6 月 12 日 104 2457.252 0.0006915 月 20 日 81 2422.44 0.008262 6 月 13 日 105 2457.263 0.0006215 月 21 日 82 2429.727 0.007417 6 月 14 日 106 2457.27 0.0005575 月 22 日 83 2435.565 0.006659 6 月 15 日 107 2457.275 0.00055 月 23 日 84 2440.345 0.005978 6
30、 月 16 日 108 2457.278 0.0004495 月 24 日 85 2444.098 0.005367 6 月 17 日 109 2457.281 0.0004035 月 25 日 86 2447.187 0.004818 6 月 18 日 110 2457.282 0.0003625 月 26 日 87 2449.567 0.004325 6 月 19 日 111 2457.283 0.0003255 月 27 日 88 2451.468 0.003883 6 月 20 日 112 2457.284 0.0002925 月 28 日 89 2452.871 0.003486 6
31、 月 21 日 113 2457.285 0.0002625 月 29 日 90 2453.957 0.00313 6 月 22 日 114 2457.285 0.0002355 月 30 日 91 2454.792 0.00281 6 月 23 日 115 2457.285 0.0002115 月 31 日 92 2455.429 0.002522 表4-6 与实际数据对比如下： 日期 实际值 预测值 日期 实际值 预测值 5月8日 2136 2105.671 6 月 1 日 2522 2455.909 5月9日 2177 2156.755 6 月 2 日 2522 2456.272 175
32、月10日 2227 2202.476 6 月 3 日 2522 2456.544 5月11日 2265 2243.119 6 月 4 日 2522 2456.747 5月12日 2304 2277.601 6 月 5 日 2522 2456.896 5月13日 2347 2307.301 6 月 6 日 2522 2457.006 5月14日 2370 2332.776 6 月 7 日 2523 2457.086 5月15日 2388 2354.859 6 月 8 日 2522 2457.145 5月16日 2405 2373.656 6 月 9 日 2522 2457.186 5月17日 2
33、420 2389.477 6 月 10 日 2522 2457.216 5月18日 2434 2402.552 6 月 11 日 2523 2457.237 5月19日 2437 2413.628 6 月 12 日 2523 2457.252 5月20日 2444 2422.44 6 月 13 日 2522 2457.263 5月21日 2444 2429.727 6 月 14 日 2522 2457.27 5月22日 2456 2435.565 6 月 15 日 2522 2457.275 5月23日 2465 2440.345 6 月 16 日 2521 2457.278 5月24日 24
34、90 2444.098 6 月 17 日 2521 2457.281 5月25日 2499 2447.187 6 月 18 日 2521 2457.282 5月26日 2504 2449.567 6 月 19 日 2521 2457.283 5月27日 2512 2451.468 6 月 20 日 2521 2457.284 5月28日 2514 2452.871 6 月 21 日 2521 2457.285 5月29日 2517 2453.957 6 月 22 日 2521 2457.285 5月30日 2520 2454.792 6 月 23 日 2521 2457.285 5月31日 2
35、521 2455.429 表 4-7 早期模型以及我们所得到的 K 值随时间的变化规律如图4-1、图4-2所示。 早期模型中K值随时间变化规律00.020.040.060.080.10.120.140.1625 45 65 85天数K值图 4-1 改进的模型中K值随时间的变化规律1020304050K值18图 4-2 可以看到，该预测曲线已经能与实际疫情发展曲线较好地拟和（如图4-3） 。 预测值与实际值对比图05001000150020002500300050 60 70 80 90 100 110 120天数确症病例累计人数实际预测图 4-3 五、 对改进后模型的评估 (略 ) 六、 对模
36、型的进一步改进 在这一节中，我们根据第五节提出的两个改进意见分别建立两个改进后的模型，并考察以下改进对模型实用性的影响。 改进 1 根据人民网2和中华人民共和国卫生部官方网站所提供的资料，我们找到了部分 3 月 1 日到 4 月 20 日之间的确症病例人数，如表 6-1 所示： 日期 确症病例3 月 27 日 8 4 月 3 日 12 4 月 7 日 19 表 6-1 19利用这些数据，重复使用第四节中提到的确定 K 值的方法，得到 3 月 1日到 4 月 20 日的病例人数： 3月1日 0 3 月 18 日 0 4 月 4 日 13.75 3月2日 0 3 月 19 日 0 4 月 5 日
37、15.5 3月3日 0 3 月 20 日 0 4 月 6 日 17.25 3月4日 0 3 月 21 日 0 4 月 7 日 19 3月5日 0 3 月 22 日 0 4 月 8 日 21.38 3月6日 0 3 月 23 日 0 4 月 9 日 23.76 3月7日 0 3 月 24 日 0 4 月 10 日 26.14 3月8日 0 3 月 25 日 0 4 月 11 日 28.52 3月9日 0 3 月 26 日 2 4 月 12 日 30.89479 3月10日 0 3 月 27 日 8 4 月 13 日 46.2755 3月11日 0 3 月 28 日 8.571429 4 月 14
38、 日 66.95778 3月12日 0 3 月 29 日 9.142857 4 月 15 日 93.82387 3月13日 0 3 月 30 日 9.714286 4 月 16 日 127.6205 3月14日 0 3 月 31 日 10.28571 4 月 17 日 168.8907 3月15日 0 4 月 1 日 10.85714 4 月 18 日 217.9224 3月16日 0 4 月 2 日 11.42857 4 月 19 日 274.7201 3月17日 0 4 月 3 日 12 4 月 20 日 339 表 6-2 再通过对 4 月 20 日 5 月 7 日的数据拟合得到 ba,
39、 的值： ln a= 4.050406； b =-0.10953 利用这个结果预计以后北京的疫情走势与实际情况相比如表6-3和图6-1所示。 日期 实际值 预测值 日期 实际值 预测值 5月8日 2136 2105.368 6 月 1 日 2522 2449.699 5月9日 2177 2156.085 6 月 2 日 2522 2450.037 5月10日 2227 2201.395 6 月 3 日 2522 2450.289 5月11日 2265 2241.594 6 月 4 日 2522 2450.477 5月12日 2304 2275.634 6 月 5 日 2522 2450.615
40、 5月13日 2347 2304.894 6 月 6 日 2522 2450.716 5月14日 2370 2329.943 6 月 7 日 2523 2450.789 5月15日 2388 2351.613 6 月 8 日 2522 2450.841 5月16日 2405 2370.02 6 月 9 日 2522 2450.879 5月17日 2420 2385.481 6 月 10 日 2522 2450.906 5月18日 2434 2398.23 6 月 11 日 2523 2450.925 5月19日 2437 2409.007 6 月 12 日 2523 2450.939 5月20
41、日 2444 2417.561 6 月 13 日 2522 2450.948 205月21日 2444 2424.618 6 月 14 日 2522 2450.954 5月22日 2456 2430.257 6 月 15 日 2522 2450.959 5月23日 2465 2434.863 6 月 16 日 2521 2450.962 5月24日 2490 2438.469 6 月 17 日 2521 2450.964 5月25日 2499 2441.429 6 月 18 日 2521 2450.965 5月26日 2504 2443.701 6 月 19 日 2521 2450.966 5
42、月27日 2512 2445.511 6 月 20 日 2521 2450.967 5月28日 2514 2446.841 6 月 21 日 2521 2450.967 5月29日 2517 2447.867 6 月 22 日 2521 2450.968 5月30日 2520 2448.653 6 月 23 日 2521 2450.968 5月31日 2521 2449.25 表6-3 改进1对疫情走势预测的影响230023502400245025002550260026502700020406080天数累计确症病例数实际值进一步改进1预测值图 6-1 可以看到改进后的模型对最后疫情走势的预测
43、为 2451 人，与第四节中提出的模型在预测效果（2457人）上几乎没有什么差别。 改进 2 改进 2 的模型中认为 3 月 1 日 4 月 20 日的 K 值是保持不变的。 采用第四节中相同的循环往复计算、逐次迭代的方法来求得 ,ab的值，只是不再计算4月20日前的 K 值，直接用 4 月 20 日的 K 值替代。最后得到的结果是： ln a= 4.024149； b =-0.109342 利用这个结果预计以后北京的疫情走势与实际情况相比如表6-4和图6-2所示。 日期 实际值 预测值 日期 实际值 预测值 215月8日 2136 2106.136 6 月 1 日 2522 2455.909
44、 5月9日 2177 2157.55 6 月 2 日 2522 2456.272 5月10日 2227 2203.179 6 月 3 日 2522 2456.544 5月11日 2265 2242.91 6 月 4 日 2522 2456.747 5月12日 2304 2276.552 6 月 5 日 2522 2448.577 5月13日 2347 2305.471 6 月 6 日 2522 2448.908 5月14日 2370 2330.226 6 月 7 日 2523 2449.155 5月15日 2388 2351.643 6 月 8 日 2522 2449.339 5月16日 24
45、05 2369.836 6 月 9 日 2522 2449.474 5月17日 2420 2385.118 6 月 10 日 2522 2449.573 5月18日 2434 2397.719 6 月 11 日 2523 2449.645 5月19日 2437 2408.372 6 月 12 日 2523 2449.697 5月20日 2444 2416.827 6 月 13 日 2522 2449.734 5月21日 2444 2423.803 6 月 14 日 2522 2449.76 5月22日 2456 2429.377 6 月 15 日 2522 2449.779 5月23日 246
46、5 2433.93 6 月 16 日 2521 2449.792 5月24日 2490 2437.494 6 月 17 日 2521 2449.801 5月25日 2499 2440.42 6 月 18 日 2521 2449.807 5月26日 2504 2442.667 6 月 19 日 2521 2449.812 5月27日 2512 2444.455 6 月 20 日 2521 2449.815 5月28日 2514 2445.769 6 月 21 日 2521 2449.817 5月29日 2517 2446.78 6 月 22 日 2521 2449.818 5月30日 2520
47、2447.552 6 月 23 日 2521 2449.819 5月31日 2521 2448.137 表6-4 改进2对疫情走势预测的影响200021002200230024002500260065 85 105天数累计确症病例数实际值进一步改进2预测值图 6-2 该改进方案对最终疫情人数的预测为2450人，同样并未与改进前的模型有显著差别。 22以上两种方式的改进都对 4 月 20 日前的 K 值进行了很大的调整，但对最后的疫情走势似乎影响都不大，这也从一个侧面说明这个模型的稳定性。事实上，由于各方面的原因， 我们对 SARS 疫情发展初期的数据统计是极其不完整和不可靠的，因此我们的模型必
48、须不对早期（具体来说是 4 月 20 日之前）的数据具有较强的依赖性，而令人欣喜的是通过这两个改进得出的结论恰恰说明了这一点。 七、根据模型所得的结论及对 SARS 防治工作的指导意义(略) 八、SARS 疫情对经济的影响分析(略) 九、 建立传染病数学模型的重要性 (略 ) 23SARS 传播的随机数学模型建立与应用分析 一引言(略 ) 二（赛题附件 1）(略) 三SARS 传播的宏观模型建立及分析(略) 四SARS 传播的个体马尔可夫模型建立及分析 我们知道，以往对于流行病模型的研究主要有确定性模型和随机性模型；确定性模型的研究是比较成熟的， 主要通过建立确定性微分方程来对传染病系统进行各
49、种分析（例如SIR模型），而随机模型的研究相对较少；事实上，后者模型的建立完善具有相当的优点，这在第三节的宏观随机模型中已经有过说明。以下我们提出对SARS的感染和传播建立个体随机模型，并对其性态进行详细分析。 对 SARS 的传播进行个体模型分析需要分三个步骤：首先建立病程模型，然后是时间模型，最后是空间模型。本节提出建立的个体马尔可夫模型将着重于实际问题的应用解决，而宏观模型的理论推导在第三节中已经做过细致讨论。 41 SARS 病程模型及假设 411 普通 SIR 模型分析 为了对SARS的传播和发展进行建模研究，首先就需要对SARS的个人病程进行分析。最常见的传染病模型为 SIR 模型1，在该模型中定义了易感者Susceptible、感染者 Infected 和免疫者 Removed 三种人群，各状态的转移关系简单的用下图表示为： 而实际的SARS病程是相当复杂的，通过对SARS病程的认识，我们认为基本的SIR模型主要有如下不足： 未考虑潜伏期人群L，这是病毒性传染病的一定具有的病程阶段； 未考虑人为干预造成的影响，如现在对非典的控制措施（隔离、消毒等）； 将死亡人数和康复免疫者并为一类，不易对死亡人数进行研究； 易感者 S 感染者 I 免疫者 R 感染 康复或
