1、赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以下简称为“竞赛章程和参赛规则” ，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保
2、证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号（12 位数字全国统一编号）： 参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日（此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意电子版论文中不得出现此页。以上内容请仔细核对，特别是参赛队号，如填写错误，
3、论文可能被取消评奖资格。）赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人备注送全国评奖统一编号（由赛区组委会填写）：全国评阅统一编号（由全国组委会填写）：此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。注意电子版论文中不得出现此页，即电子版论文的第一页为标题和摘要页。利用太阳影子确定地点和日期摘要关键词一 问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的
4、数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点
5、与日期。4附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二 问题分析对于问题一,我们要建立影子长度变化的模型，由于影子长度与测量物体的高度和测量时刻的太阳高度角有关。因为一天中的太阳高度角是不断变化的，可以通过查询网络得知太阳高度角的计算公式，太阳高度角的计算与测量地点的经纬度，测量时间等因素有关，查找网络可以找到某地经纬度的计算公式，将公式及整理，建立影子长度变化的数学模型，可得出太阳影子与经纬度以及时间的关系式，将数
6、据带入即可得到太阳影子的变化公式。注意需要排除大气层中的太阳折射率的影响。对于问题二，建立测量物体的地点模型三 符号说明及模型假设模型假设：1 大气层对太阳光的阻碍作用可忽略不计。2 地球半径按 6371km 计算。3 一天内相邻时刻间太阳直射点的纬度变化忽略不计。四 模型建立与求解问题一：1.1 求出太阳影子的计算公式，建立影子长度的变化模型设太阳高度角为 ，又因为太阳高度角与当地纬度，测量地点的经纬度，太阳赤纬，以及太阳h时角有关通过查阅资料得知几者的关系如下：（1）0.257arcsin0.3987si.012dd其中 表示当地纬度（保留一位小数） ， 表示太阳赤纬度， 太阳赤纬是地球赤
7、道平面和DE地球中心的连线之间的夹角。 表示太阳时角，太阳时角是日面中心的时角，即从观测点天球子午t圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。其计算公式为：（2）.3.6si.14si.sin30758co5co20coDE其中 为日角，计算公式为：(3)023.N其中 表示积日，即就是日期在年内的顺序号，如 1 月 1 日其积日为 1，平年 12 月 31 日的N积日为 365，闰年则为 366， 以此类推， 的计算公式如下：(4)0 Y-98579.64.*9854YINT(5)012tT表示测量的年份， 表示当天的测量时间，INT 表示对数值取整，如YT3.6,IN4.2=IT即可得到太阳高度
8、角的计算公式，如下：（6）harcsinsicoscosDEEt如下图，h 为太阳高度角，由数学知识“正切定理”知影子 、太阳高度角 、杆原长 的函0LhL数关系如下：（7）0/tanhLL0Lh-Instructional Note-AlthoughMathTypesSymbol Palettescontainthemostcommonlyneededmathsymbols, thefontspresent onyourcomputer containmanymore. UsetheInsert Symbol commandontheEdit menutoexploreyour fontsa
9、ndsearchfor symbols.Thisnotewill not beshownagainunlessyoureset all notesusingtheWorkspacePreferencescommandonthePreferencesmenu.-确定-h将不同时间的数值赋值给 ，逐步带入相应公式得出结果最终求出太阳赤纬 ，然后将其带T DE入公式（6）即可计算出太阳高度角 ，再将结果带入到公式（7）即得出最终影子的长度。不同时h间求出的太阳高度角不同，相应的影子长度也将不同，赋予 不同的值即可得到不同时间的影子长T度。1.2 求给定北京时间的杆的影长变化曲线当测量时间为 2015
10、 年 10 月 22 日时， ， 的值为 295，带入可求得 的值为2015YN0N79.6764又已知测量时间从 9 点到 15 点。故分别令 的值为 9,10,11,12,13,14,15，带入可分别求得 的Tt值，根据公式(1) 到(6) 将数据带入可求得太阳高度角 的值，再将求得的太阳高度角 h 的数值带入h公式（7） ，即可求得对应时刻的太阳高度角的数值，将数据通过 Matlab 进行拟合，编写程序即可得到影子长度随时间变化的曲线图。图像如下：问题二2.1 首先建立影子长度随时间变化的模型，已知某段时间内影子长度与对应时间的数值 ，将数据进行拟合，通过运用最小二乘法建立影子长度关于时
11、间的二次方程， （1）213+iizx其中 z 表示影子长度， ， ， 为系数，根据附件 1 中的数据，用 matlab 软123件进行数据拟合，其中对时间进行分化，0 点为第 1 分钟，1 点为第 60 分钟，1 点 30 分为第 90分钟，以此类推，将数据带入 Matlab 中得出拟合曲线方程如下：（2）20.460.524.75ztt（3）1 3=-=， ，对此拟合曲线求导得：（4）.87.1t当 时， ，此时直杆的影长最短，即此时是当地时间的 12 点，此时太阳直射点经0z756t度和当地经度相同，由上述对时间的分化可知， 即为北京时间的 12 点 36 分。56故当地与北京的时差为
12、36 分钟。当地时间比北京时间晚，故在北京的西边。可得出当地经度为（4）=120-.1=2015 年春分日时，北京时间为 3 月 21 日，太阳直射点纬度为 0，北京时间 4 月 18 日时，N=29，带入公式 .527N可得出当天太阳直射点纬度为07.8即太阳直射点的经纬度分别为西经 ，北纬1拟合曲线如下图（红色区域为附件 1 中数据）：上图为影子长度随时间的变化而变化的拟合曲线，上图可反映影长的大致变化由网上查阅可知太阳方位角的计算公式为：， （5）sincoihtDEA由附表二中给出了太阳阴影的坐标 ，故太阳方位角可表示为,ixy， （6）2iyx由公式（5） ，(6)推导可知 太阳高度
13、角的表达式为 （7） sincoar2itDEhyx又已知太阳高度角的正弦值表达式为：， （8）sinhsicoscosDEEt将公式（7）带入公式（8）中可得（9）sincosiarsincoscos2itDEDEEtyx由附件 1 中已知北京时间 14:4215.42 之间的太阳影长的坐标，又因为时角计算公式为 （10）015tT太阳赤纬的计算公式为（11）0.372.56sin.49sin2.17sin358cosco2co3DE将附件 1 中的数据带入公式（7） ， （8） ， （9） ， （10） ， （11）并通过 Matlab 进行编程求解，可得到纬度 的值。故由当地的经纬度可确
14、定当地的位置。下图为测量地点的位置坐标问题三的求解为了能根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标，我们建立数学模型，确定直杆所处的地点和日期，首先我们建立模型求出某地纬度 的计算公式。由于太阳体积较地球体积相比大太多，故可将当地纬度分成两部分来看，一部分是测量时刻，太阳直射点 A 的纬度 ，另一部分 表示当地正午太阳高度角，设 为测量地当天距春分日的天0d数， 为直杆的原长， 为当地正午 12 点时的影长， 表示黄赤交角的度数，即 2326则纬度的0LL计算公式 （1）0arcsiniarctn365.24dL又因为正午时分，某地的太阳高度角的计算公式（2）09-h且任意时刻太阳高度角的计
15、算公式为（3）sinsicoscosDEEt将公式（1） ， （2）,(3)联立可得某地当地纬度和当天距春分日的日差 d 的公式为（4）23623.5arinin9 5.d d ，当 的值大于 时，可得到关于 d 的公式为,带入 Matlab 中进行编程，算出 d 的值，0.257arcsin0.3987si.012dd带入公式(4)即可求出 的值。附录 1：N=295; %输入当年 1 月 1 日距测量日天数X=39.9072 %弧度制表示当地纬度t=9:0.2:15;x=15*(t-12);Y=23.45*sin(2*pi*(284+N)/365); %第 N 天时太阳赤纬度g=sin(X*pi/180)* sin(Y*pi/180)+cos(X*pi/180)*cos(Y*pi/180).*cos(x*pi/180); %太阳高度角的正弦值h=asin(g);s=3./tan(h); %求出影长figureplot(t,s) %画出影长随时间变化的图像xlabel(t),ylabel(s);title(影长随时间变化曲线)
