1、1 数学必修 1-5 常用公式及结论 必修 1： 一、集合 1、含义与表示：（ 1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （ 2）集合的分类；有限集，无限集 （ 3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集： 对任意 xA ，都有 xB ，则称 A 是 B 的子集。记作 AB 真子集： 若 A 是 B 的子集，且在 B 中至少存在 一个元素不属于 A，则 A 是 B 的真子集， 记作 AB 集合相等：若： ,A B B A,则 AB 3. 元素与集合的关系 ：属于 不属于： 空集： 4、集合的运算：并集： 由属于 集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫并集，记为
2、AB 交集： 由集合 A 和集合 B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为 AB 补集： 在全集 U 中，由所有不属于集合 A 的元素组成的集合叫补集， 记为 UCA 5集合 12 , , , na a a 的子集 个数共有 2n 个；真子集有 2n 1 个；非空子集有 2n 1 个； 6.常用数集：自然数集： N 正整数集： *N 整数集： Z 有理数集：Q 实数集： R 二 、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 f ( x ) = f ( x ) ，偶函数 f (x ) = f ( x )（注意定义 域） 2、性质： （ 1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （ 2）偶函数的图象关于 y
3、轴成轴对称图形； （ 3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （ 4）如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为 D 的函数 f ( x )，若任意的 x1, x2 D，且 x1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x )是增函数 f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性 : 同增异减 三、二次函数 y = ax2 +bx + c（ 0a ） 的性质 1、顶点坐标公式： a bacab 44,2 2， 对称轴： abx 2 ， 最
4、大（小）值： abac44 2 2.二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式 2( ) ( 0 )f x a x b x c a ; (2) 顶 点 式2( ) ( ) ( 0 )f x a x h k a ; (3)两根式 12( ) ( ) ( ) ( 0 )f x a x x x x a . 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （ 1） a m a n = a m + n ， （ 2） nmnm aaa ， （ 3） ( a m ) n = a m n （ 4）( ab ) n = a n b n （ 5） nnnbaba （ 6） a 0 = 1 ( a 0)（ 7）nn aa
5、1（ 8） m nmn aa （ 9）m nmnaa 1 2、根式的性质 （ 1） ()nn aa . （ 2）当 n 为奇数时， n naa ； 当 n 为偶数时， ,0|,0n n aaaa aa. 3 4、指数函数 y = a x (a 0 且 a 1)的性质： （ 1）定义域： R ； 值域： ( 0 , + ) （ 2）图象过定点（ 0， 1） 5.指数式与对数式的互化 ： lo g ba N b a N ( 0, 1, 0)a a N . 五、对数与对数函数 1 对数的运算法则： （ 1） a b = N b = log a N（ 2） log a 1 = 0（ 3） log a
6、a = 1（ 4） log a a b = b（ 5） a log a N = N （ 6） log a (MN) = log a M + log a N （ 7） log a (NM ) = log a M - log a N （ 8） log a N b = b log a N （ 9）换底公式： log a N = aNbbloglog （ 10） 推论 log logm n aa nbbm( 0a ,且 1a , ,0mn ,且 1m , 1n , 0N ). （ 11） log a N = aNlog1（ 12）常用对数： lg N = log 10 N （ 13）自Y 0 X 1
7、a 1 0 Y X 1 0 0 且 a 1)的性质： （ 1）定义域： ( 0 , + ) ； 值域： R （ 2）图象过定点（ 1， 0） 六、幂函数 y = x a 的图象 :（ 1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 . 例如： y = x 2 21xxy 11 xxy 七 .图象平移： 若将函数 )(xfy 的图象右移 a 、上移 b 个单位， 得到函数 baxfy )( 的图象； 规律：左加右减，上加下减 八 . 平均增长率的问题 0 Y X 1 a 1 X 0 Y 1 0 1 0 a = b 坐标法： a b （ b 0 ） x1 y2 x2 y1 = 0 2211 yxy
8、x （ y1 0 ，y 2 0） 4、垂直向量 规定：零向量与任一向量垂直。设 a =（ x1， y1）， b =（ x2， y2） 向量法： a b a b = 0 坐标法： a b x1 x 2 + y1 y 2 = 0 5.平面两点间的距离公式 ,ABd =|AB AB AB 222 1 2 1( ) ( )x x y y (A 11( , )xy ， B 22( , )xy ). （ 二 ） 、向量的加法 （ 1）向量法：三角形法则 （首尾相接首尾连） ，平行四边形法则 （起20 点相同连对角） （ 2）坐标法：设 a =（ x1， y1）， b =（ x2， y2），则 a +b =
9、（ x1+ x2 ， y1+ y2） （ 三 ） 、向量的减法 （ 1）向量法：三角形法则 （首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量） （ 2）坐标法：设 a =（ x1， y1）， b =（ x2， y2），则 a -b =（ x1 - x2 ， y1- y2） （ 3） 、重要结论： | |a | - |b | | |a b | |a | + |b | （ 四 ） 、两个向量的夹角计算公式：（ 1）向量法： cos = | ba ba（ 2）坐标法：设 a =（ x1， y1）， b =（ x2， y2），则 cos =22222121 2121 yxyxyyxx （ 五 ） 、平面向量
10、的数量积计算公式：（ 1）向量法： a b = |a | |b | cos （ 2）坐标法：设 a =（ x1， y1）， b =（ x2， y2），则 a b = x1 x2 + y1 y2 （ 3） a b 的几何意义： 数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积 （六） .1、 实数与向量的积的运算律： 设 、 为实数，那么 (1) 结合律： ( a)=()a;(2)第一分配律： ( + )a= a+ a; (3)第二分配律： (a+b)= a+ b. 2.向量的数量积的运算律： (1) a b= b a （交换律） ; (2)（ a）
11、b= （ a b） = a b= a（ b） ;(3)（ a+b） c= a c +b c. 3.平面向量基本定理 ： 如果 e1、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得 a= 1e1+ 2e2 不共线的向量 e1、 e2叫做表示这一平面内所有向21 量的一组 基底 （七） .三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 11A(x,y) 、 22B(x,y) 、 33C(x,y) ,则ABC 的重心的坐 标是 1 2 3 1 2 3( , )33x x x y y yG 必修 5 一 、解三角形： ABC 的六个元素 A,
12、 B, C, a , b, c 满足下列关系 ： 1、角的关系 ： A + B + C = ， 特殊地，若 ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列，则 B = 60， A + C = 120 2、诱导公式的应用： sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = -cosC , sin ( 22 BA ) = cos2C , cos ( 22 BA ) = sin2C 3、边的关系： a + b c , a b 0 时，有 22x a x a a x a . 22x a x a x a 或xa . （ 四 ） .指数不等式与对数不等式 (1)当 1a 时 , ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ; ( ) 0l o g ( ) l o g ( ) ( ) 0( ) ( )aafxf x g x g xf x g x . (2)当 01a时 , ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ; ( ) 0l o g ( ) l o g ( ) ( ) 0( ) ( )aafxf x g x g xf x g x （五） . 0Ax By C 或 0 所表示的 平面区域 ： 直线定界，特殊点定域。
