1、1朱世杰恒等式及其应用大南湖中心学校 扶璋 什么是朱世杰恒等式?先用归纳的合情推理,猜想出朱世杰恒等式,再证明它. 1046323412 krrikiKnCCC 证明:由组合的第二个性质 用裂项相消法来1111 kiKkikiKkikiKki C证明时，可令 i=1，2，3， ， ， ， ， ，,r 则有11KKC232.以上 r 个等式两边分别相加得11krKkrkrK移项并且代换11321 KkrkrCC KC1可得朱世杰恒等式 10krrikiK一 用朱世杰恒等式求数列的和1.1 朱世杰恒等式可以求前 n 个自然数的和, 平方和, 立方和.= 用朱世杰恒等式与用等差数列求和公式殊途同归S
2、3212)1(事实上 ， 。2)1(2112132 nCCPPnn )()()(1 112123122 nni PPiS 6)2(2)(3)(21122 nnnCn为了求 ,先分析通项niS13 23 )1()(1nan 6)(4)(6 2123323413 CCi nnn 26)12(3)(124)()1(6)2(14632 nnnnnCn= )(1 有了这些准备工作之后，对于自然数中前 n 个偶数, 奇数的平方和就有了熟悉激活陌生的基础1.2 用朱世杰恒等式求连续积组成的数列之和12+23+n(n+1)= =322123)( nnCC 3)2(1n123+234+n(n+1)(n+2)=6
3、( )34/)(2)1(643nnC 5)4(3)2(124)(4)()( 53451 nnCCii nnn 宏观角度去猜想,n 个连续自然数乘积相加,其结果是(n+1)个连续自然数的乘积再除以(n+1).用微观角度去猜想也能得出殊途同归的结果 .11.3 某些特殊数列的求和例 1 ,求和Nji, ?)()2()1jijiii解:原式= 2 221231 jiiijiii CCC -2( =2( -()2i )(/)313 jjiiji )1(=(1/3) . 3(2jj这说明在使用朱世杰恒等式时,如果不符合朱世杰恒等式的条件,一定要创造朱世杰恒等式的条件,再使用,方可得出正确的结果.二 用朱
4、世杰恒等式求偶数列(奇数列) 的幂之和S?)2(.6422n首先, 我们探求和的规律性, 探索通项是求和的“通行证”nin iSa 12 )(4)1(4)(众所周知 1+2+3+.+n= 3)2(1.32, nn)()1(3)2(14 nnS3我们把自然数中前 n 个偶数的平方和转化成两个数列的差, 从而创造性的激活了新数列的求和问题. 实质是把陌生的问题转化成熟悉的问题.类比到自然数中前 n 个奇数的平方和, 可否用“熟悉激活陌生”的数学思想呢?例 1 求和 )12()(5322 n分析: 自然数中前 2n+1 个奇数的平方和等于自然数中前 n+1 个自然数的平方和再减去前 n个偶数的平方和
5、, 这也是熟悉激活陌生的策略; 第二种激活例 1 的方法是运用朱世杰恒等式.解法 1: 原式= 3)12(6)4(2)1()2(121 nnmknn= 3)(n解法 2: 分析通项是求和的“通行证”: 14)12(2nn iinini i 11212124()(=1+n+42( +4()21223 nnCC )12nC=n+1+ 3(6(8(6)(4n这就殊途同归地得出我们予想的结果.两种解法比较可以看出“新想法是旧成分的新组合” 。解法 1 是用减法，而解法 2 用加法。正如爱因斯坦说的“从新的角度去看旧的问题却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。 ”三 用朱世杰恒等式解高考题例
6、 1 是否存在常数 a,b.c 使得等式 12+23+34+n(n+1)= 对一切自然)(312cbna数n 都成立?解: .)(2)1(32 123123 nnCPnS =2 )(1232Cn可见 a=1,b=3,c=2 使得一切自然数 n 都成立.例 2 (1989 年全国高考数学试题 ) 是否存在常数 a,b,c 使得等式 12 对一切自 然数都成立?)(12)(322 cbna解: )103(12) 326)(66)(2 4212332354 nn CCCSna nnn可见 a=3,b=11,c=10 使得等式对一切自然数都成立.4笔者根据以上两例创造性地用类比迁移法发现、并证明其发现
7、、猜想是正确的.波利亚说:“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强. 但是这里质量仍然比数量更为重要. 清晰的类比较模糊的相似更有价值,”又说:“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易,这需要经验、鉴别能力和好运气,但是,当我们成功地解决了一个好问题以后,我们应当去寻找更多的好问题.好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长.找到一个以后,你应当在周围找找;很可能在附近就有几个.” 笔者创造性地得出例 3,并用朱世杰恒等式成功地证明了它.例 3 是否存在常数 a,b,c 使得等式 2333 (60)1()(21 annn+bn_c)对一切自然数 n 都成立 . 2解:对通项
8、构造等式 )()()()()(3 na).291(60)2( 21848 345134 nn CSCS nn故存在常数 a=12,b=39,c=29 使得等式对一切自然数 n 都成立.四 用证明朱世杰恒等式的类似方法证明全国统编教材的习题很多数学教师认为朱世杰恒等式对高中数学教学是无用的,事实上并非如此,请看全国统编的人教社高中第二册(下 B)第 120 页复习参考题十的 B 组题 3 的(2)例 4 求证: .11321 mnmmnmn CC用朱世杰恒等式可猜想这就是倒序的朱世杰恒等式,但是想象、猜想都不是证明,我们用证明朱世杰恒等式的类似方法证明它.证明 1:由组合的第二个性质有 用裂项相
9、消法1111 miimiimii C证明时,令 时则有 .,32ni(其中 )移项最后得mnmniimnnmnmm CCC111123211 1mC出 .即:0ii .11321 mnmmn证明 2: 由等比数列求和公式 xxxx mnmnnm )()(1)()()()1()( 1 根据二项式定理比较上面等式两端展开式中含 项的系数即得:.11321 mnmmnmn CC5证明 3: 由组合的性质 mnmnmn CC1211 = =mnC3112 13mn12=: 这种方法是连续地应用组合的第二个性质,.1 mnm也是更简单的证明方法.我们是在朱世杰恒等式的前提下,作为它的应用而证明出教材的一道难题.综上所述,用朱世杰恒等式不但可以求前 N 个自然数的和、平方和、立方和,而且还可以求几个连续自然数的积之和,更可以求特殊自然数列奇次幂(偶次幂) 的和,最后用它来解高考题或推广的高考题.其方法多为构造法,最后用证它的类似方法来证教材中的一道难题.总之,本文以朱世杰恒等式为工具,以构造组合数公式为策略,以构造法为方法,创造性地解决了很多特殊数列求和的问题.参考文献1傅世球 类比、联想、猜想及其数学创造 (J)兰州 数学教学研究 2002 年 4 期2傅世球构造法与数学美(J) 北京数学通报 1996 年 12 期 P .7
