1、北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1至 2页，第卷 3至 5页，共 150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题 共 40 分）一、本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1 ）已知复数 为纯虚数，那么实数 的值为 (1+)ia a（A） （ B） （C） （D）012（2）集合 ，若 ，则 的取值范围是2,5xx| ABIa（A） （ B） （C） （D
2、）5a4a54a（3）某单位共有职工 150名，其中高级职称 45人，中级职称 90人，初级职称 15人现采用分层抽样方法从中抽取容量为 30的样本，则各职称人数分别为（A） （ B） 9,18310,5（C） （D）0,79,6（4）执行如图所示的程序框图，输出的 值为S（A） （B）211（C） （ D） 4（5）在极坐标系中，直线 被曲线 截得的线段长为 1cossin（A） （B ） （C ） （D）21 22否是 k4 2ksk=k+1输出 sk=0，s=0开始结束（6）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（A） （B）22（C） （D）310（7）已知三点 P（5，
3、2） 、 （6，0） 、F（6，0）那么以 、 为焦点且过点2F12P 的椭圆的短轴长为（A） （B） （C） （D）36912（8）已知 为平面上的单位向量， 与 的起点均为坐标原点 ， 与 夹角为 . 12e, 1e2Oe3平面区域 由所有满足 的点 组成，其中 ，那么平面区域DOP12uvP,0的面积为（A） （B） （C） （D） 1233234第卷（共 110分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分。（9）在 的展开式中， 的系数值为_.(用数字作答)5)412(x3x（10）已知等比数列 中, ，那么 的值为 na234,2ag8a（11）如图，圆 O 的半径为
4、1，A,B,C 是圆周上的三点，过点 A作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，若 C，则 _； . CAP（12）若 且 ，则 的值为 3sin(),45)4,0(sin2（13）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表：货物 体积（升/件） 重量（公斤/件） 利润(元/件)甲 20 10 8乙 10 20 10运输限制 110 100俯视图侧（左）视图1 1正（主）视图22ABO C P在最合理的安排下，获得的最大利润的值为_.（14）已知函数 ，关于 的不等式 的解集为 ,其()lnfxx00()()fxcx()中 ， 为常数. 当 时， 的取
5、值范围是_;当 时， 的值是_;0(,xc01c12三、解答题：本大题共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13 分）在 中， ， ，且 ABC22AC2cosAB（）求 的长度； （）若 ，求 与直线 相邻交点间的最小距离 ()sin)fx()yfx32y（16） （本小题共 14 分）已知三棱柱 中， 底面 ，1CBAABC， ， ， , 、90BAC132E分别为棱 、 的中点 .F（）求证 ；1AB（）求直线 与 所成的角；EF（）若 为线段 的中点， 在平面 内的射影为 ，求 .G11EFGHA1（17） （本小题共 13 分）现有两个
6、班级，每班各出 4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）.根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能.比赛项目 男单 女单 混双平均比赛时间 25分钟 20分钟 35分钟（I）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（II）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（III）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）.（18） （本小题共 14 分）设函数 1)(xaef， R（）当 时，求 的单调区间；()f（）当 ,0(x时， 0x恒成立，求 a的取
7、值范围；（）求证：当 ),时， 21lnxex（19） （本小题共 13 分）已知抛物线 ，焦点 ， 为坐标原点，直线 （不垂直 轴）2:(0)CypxFOABx过点 且与抛物线 交于 ,AB两点，直线 A与 B的斜率之积为 F p（）求抛物线 的方程；（）若 为线段 的中点，射线 交抛物线 于点 ，求证： .MMCD2OM（20） （本小题共 13 分）数列 中，给定正整数 ， .定义:数列 满足nam(1)-1(miiVana，称数列 的前 项单调不增.1(,2,)iiLna（）若数列 通项公式为： ，求 .na*(1)N， (5)V（）若数列 满足： ，求证1,m,bab的充分必要条件是
8、数列 的前 项单调不增.()Vmbna（）给定正整数 ，若数列 满足： ，且数列()m0,(12,)nmL的前 项和 ，求 的最大值与最小值.(写出答案即可)na2V北京市东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分）（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）BACDCBD二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分）（9） （10） （11） ， （12） （13） 01283256（14） ， ,注：两个空的填空题第一个空填对得 3分，第二个空填对得 2分三、解
9、答题（本大题共 6小题，共 80分）（15） （本小题共 13 分）解：（） Q2coscosCABAB3分045， ， 2B202cos()8cos45ACABC7分（）由 ， 3()sin2)4fx解得 或 ， ， k23xkZ解得 或 ， .124x25412,因为 ，当 时取等号,1212()6k 12k所以 当 时，相邻两交点间最小的距离为 . 133)fx6分（16） （共 14 分）（）证明 因为三棱柱 ， 底面1CBAABC所以 1AC因为 ，90B所以 因为 ，1I所以 1AC平 面因为 ，1B平 面所以 . 分（）解如图建立空间直角坐标系 ，xyzA则 ， ，1,0A0,3
10、B， .2，E,F，所以 ， .10,31，BA21,3，E所以 .,cos11FBA因为 ，001,9Eur所以 直线 与 所成的角为 45. 分F（）解 设 20，G则 , .，E21,3，F所在直线的向量与平面 GEF 的法向量平行.AH设平面 GEF 的法向量为， ，(,)nxyzvFEA1 C1B1AB Czx yG因为 ，GFnE所以 .0213,zyx令 ，则 .z3,n所以 所在直线的单位向量为 .AH23,01e因为 ,1(0)uv所以 .23,cos1eA因为 ，10,ur所以 . .分16H（17） （本小题共 13 分）解：（I）三场比赛共有 种方式，其中按按女单、混双
11、、男单的顺序进行比赛只有36A1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为 16分（II）令 A 表示女单比赛、 B表示男单比赛、C 表示混双比赛.按 ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 12054t按 ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 23t按 BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 3054t按 BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 426t按 CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 5305t按 CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：（分钟） 63520t且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生
12、概率为 ，所以平均等待时间为16 11 分45063（III）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少-13 分（18） （共 14 分）解：（）当 时，则 ，1a()1xfe则 .()xfe令 得0,所以 当 时， ， 在 上单调递减；x()0fx()f,0当 时， ， 在 上单调递增；0h)当 时， 4分xmin()()fxf（）因为 e，所以 01)(xaf恒成立，等价于 xea1恒成立设 xeg， ),，得 xxe2()( ，当 ,0x时， 0)(g，所以 )(在 ,上单调递减，所以 x时， 1)(x因为 xea1恒成立，所以 ), 11分x,00,()f +x 0（）
13、当 ),0(x时， 21lnxex，等价于 012xe设 )(2xeh， ),0求导，得 )12( 2xexx 由（）可知， ),0(时， 恒成立0x所以 ),(x时， ，有 ,2x2e1所以 0h所以 )(x在 上单调递增，当 ),0(x时， 0)(hx,)因此当 ,0时， 21lnex 14分（19） （共 13 分）解：（）因为直线 过点 且与抛物线 交于 ,AB两点， ，ABFC(,0)2PF设 ， 2(,)xy，直线 （不垂直 轴）的方程可设1(,) x为 0pyk所以 ， 211()x2ypx因为直线 OA与 B的斜率之积为 ，所以 12ypx所以 ，得 421()124x分由 消
14、 得 2(),pykxy222()04kpkxpx其中 222()0kpkV所以 ， 124x122Px所以 ，抛物线 8p:8Cy分（）设 ，因为 M为线段 AB的中点，03(,)(,)MxP所以 ， .2201()2kk04(2)ykx所以直线 的斜率为 .OD02opyx直线 的方程为 代入抛物线 的方程，2opk2:8Cyx得 .23()kx所以 .20()因为 ,k所以 . 13分230()ODxkM（20） （共 13 分）解（） . 2分 (5)=8V（）充分性：若数列 的前 项单调不增，即nam21maaL此时有： -112311()()()().mii mVab 必要性：反证
15、法，若数列 的前 项不是单调不增，则存在na使得 ，那么:()im1iia-1-11111()()().mii miiiiiit tiiiimiiiVaaaaba由于 .1,ii，.1()abiiiia与已知矛盾. 9 分（III）最小值为 0.此时 为常数列. 10 分na最大值为 24,.m当 时的最大值：此时 , 11分12124,(0)aa.1240a当 时的最大值：此时 .m2121,(,0)nmaLL由 易证， 的值的只有是大小交替出现时，才能让 取最大xyna (Vm值.不妨设： ， 为奇数， ， 为偶数. 当 为奇数时有：1iia1ii-123234541(1)/12().mii mmiiiiVaa L当 为偶数时同理可证. 13 分
