1、- 1 -题目： 文件保存问题摘 要本文就文件如何分配储存使所需软盘数最少问题建立数学模型进行分析.对问题建立 0-1 整数规划模型，同时运用穷举法配用软盘的个数的范围进行检验对少量的文件数目进行依次穷举，运用 lingo 语言编写程序求出最优解.得出相应的答案.而针对有大量文件数目的文件保存问题时，我们为了避免麻烦不再采取穷举的方法，而是运用二分逼近法分析取一个范围进行求解.这样使得问题变得简单.求出最优解，找出最为合理的一种方案. 最后就模型问题的优缺点进行分析并讨论了问题推广的价值.本题的最优求解，即：1 2 3 4 5 6 7 8 9 使用空间第一个盘 55 253 372 388 4
2、06 1474第二个盘 46 62 87 108 114 164 432 461 1474第三个盘 137 364 851 1352表 1关键词： 0-1 整数规划，穷举法，最优解，二分逼近法- 2 -一、问题的重述将 16 个不能压缩的大小分别为：46KB，55KB，62KB，87KB，108KB，114KB，137KB，164KB，253KB，364KB，372KB，388KB，406KB，432KB，461KB，851KB 的文件分别存放在若干个软盘上(软盘的数量足够多)，每个空白软盘的容量是 1.44MB，试建立优化模型在用最少的软盘的同时将所有文件分别储存进去. 二、模型假设模型假设
3、：1、所有文件不能分割，不可以压缩或拆分；2、在 1M =1024KB 的情况下考虑问题； 3、各个软盘之间无明显差别；4、不考虑文件的重要程度；5、文件间不存在相互制约限制，即文件可以随意分配存储，不存在某几个文件必须存放在同一个软盘中；6、软盘数目足够多，对于问题不用考虑软盘不够用的情况.三、模型的符号说明符号说明：n : 文件的个数(由题可知为 16)；m: 分配文件所需的软盘的数目；q : 软盘的空间大小(由假设知 1.44*1024=1474)；个 文 件 的 大 小 ；第 iai:存储标记变量；ijc- 3 -：为剩余软盘的空间大小.z四、问题分析软盘存储文件是用计算机优化存储文件
4、的一种存储方式.它主要是以提高软盘空间的综合使用率来做到同样多的软盘可以存储更多的文件.换句话说，就是提高软盘利用率尽量减少软盘的剩余空间.而我们将以 0-1 整数规划模型，同时借助穷举法解决问题，得出最优的分配方案，使文件均存储在确定的软盘中，且软盘数目最少.在具体建模过程，为研究问题的方便，我们将使用的软盘从 1 开始按自然数顺序依次编号，同时也对文件按从小到大的顺序编号，然后利用文件存储必须满足的条件，如一张软盘存储文件的总容量必须小于软盘的最大使用空间文件的个数是确定的，且软盘的数目对于解决问题是足够多的，暂不做复杂的要求，文件存储在某个软盘中，基于都编号的原因，我们可认为是存储是一一
5、配对的原则，如此将简化模型的复杂度.即做出如下约束条件：1、若第 个文件放在第 个软盘中记为 =1，其余不储存文件 的软盘ijijai=0( )可得约束条件：ikaj01或ija2、 由于软盘空间大小固定，可知加入软盘文件大小总和不能超过软盘空间大小即得约束条件： mjqcaniij.1,*13、 由假设可知文件不可分割，每个文件有且只能分配在一个软盘中即得约束条件： mjic116.,4、文件理想情况下所需要的软盘数目的约束条件： - 4 -qamni1同时 的范围是mn五、模型建立与求解1、模型建立：对问题进行分析可知，若所用软盘的数量越少，则文件分配后软盘所剩余的总空间一定越小，则由此建
6、立分配方案关于所需软盘数目的函数关系，可得模型为：目标函数： min ijnimjcaqz*1约束条件： .01.1,.(,11是 整 数或 ）（ ）mqamcnjcaniijmijniij上述建立了 0-1 整数规划模型来求解所给文件分配最优化问题， 2、模型求解：根据题意可以把 n(n 的数值比较小时)个文件随即分配到 m 个软盘中，此时 m 取最小值即为 ，若有解，则软盘数目必定大于或等于 ，则取qani1值时，用 lingo 软件可以编程求解，若此时取的 m 值使该题无解.接着取- 5 -，继续先前的步骤计算直到 ，在这其中必然会有第一个使得1mnmlingo 软件运行成功的某一个确定
7、的 值，因此那就即使所求之最优解 .若此时所求得结果必然是模型的最优解了.通过 lingo 软件运行结果显示，就可以求出用到的最少软盘量以及各个文件的具体分配磁盘方案.当 n 的数值比较大时，我们采取二分法的分析方法对题目进行模型优化求解即根据题意可以把 n 个文件随意分配到 m 个软盘中，此时 m 取最小值也为，将 m 值带入以上约束条件中，仍然运用 lingo 软件求解若有解，qani1则软盘数目必定大于或等于 ，则取 值时，用 lingo 软件可以编程求解，若m此时取的 m 值恰好经 lingo 软件编程求解实现结果，即 m 即为最小的软盘数目若此时取的 m 使该题无解，则选取 m=n
8、进行计算，必然成立，我们接着取用 m=进行计算，若结果的正确显示 lingo 运行可选择的结果时，则说明软盘的最2n少个数存在于( ， )内， 否则软盘的最少个数 m 存在于( ，n)qani12 2n中取值，依次类推重复以上步骤继续计算这样不断的二分逼近，最后求得的整数 m 即为最少软盘量了针对本题而言，由于文件个数 16 为一个小整数值，故采用穷举法通过lingo 软件可以求得当 时就可以解决此问题了，即3m1 2 3 4 5 6 7 8 9 使用空间第一个盘 55 253 372 388 406 1474第二个盘 46 62 87 108 114 164 432 461 1474第三个盘
9、 137 364 851 1352表 2所求的结果符合题目要求，且所需的软盘数最少，为最优选择.- 6 -六、模型的推广及优缺点分析我们建立的模型可以给出一个文件保存问题的方案，能够给出明确的软盘最少数目及其各张软盘对文件的分配结果.在我们的假设前提下，能给出最优的方案，选用我们的方案不仅可以解决此问题，还可以对其它类似的问题进行推广，可以将要保存的文件数推广到 N 个.下面对模型的优缺点进行分析：1、模型的优点：(1)我们的模型很简单直观易懂，要实现的想法也很明确，利用此模型能够帮助使用者使用尽量少的软盘装下要保存的文件.(2 ) 文中的方法对文件数量不是很大时，具有适用性，简洁性，实用性和
10、可操作性.(3)有很好的推广价值.2、模型的缺点(1) 由于缺乏这方面的数据，我们有些权重的确定有一定的主观因素.(2) 由于我们的假设是固定的，我们设计最优方案时，是按我们的假设来考虑的，并没有考虑到方便查找或其他方面的因素，(3) 模型的求解对要保存的文件数量非常大时，需要的步骤数要较多，且需要运算的次数较多.3、模型的推广对于一般情况即 N 个文件需要保存时，我们可以按如下步骤求解：- 7 -先确定所需软盘的下界 及上界 ，再用二分逼近法确定最qamNi1Nm终的 m 值，然后列出存储文件的最优组合七、参考文献1 刁在筠，刘桂真，素洁，马建华 运筹学第三版 高等教育出版社.2朱德通 最优
11、化模型与实验 同济大学出版社.3姜启源，谢金星，叶俊 数学模型第三版 高等教育出版社.4刘琼荪 何中市 傅鹏 任善强 数学实验 高等教育出版社.5谢金星 薛毅，优化建模与 LINGO/LINDO 软件，北京：清华大学出版社，2004 年6韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005 年- 8 -八、附件lingo 程序及结果.sets:A/116/:u;B/1m/;links(A,B):x;endsetsdata:u=46 55 62 87 108 114 137 164 253 364 372 388 406 432 461 851;v=1474;enddatamin=sum
12、(A(i):u(i)*x(i,m);for(B(j):sum(A(i):u(i)*x(i,j)=v);for(A(i):sum(B(j):x(i,j)=1);for(links:bin(x);End- 9 -当 时 程序如下，即：3msets:A/116/:u;B/13/;links(A,B):x;endsetsdata:u=46 55 62 87 108 114 137 164 253 364 372 388 406 432 461 851;v=1474;enddatamin=sum(A(i):u(i)*x(i,3);for(B(j):sum(A(i):u(i)*x(i,j)=v);for(
13、A(i):sum(B(j):x(i,j)=1);for(links:bin(x);End当 时，程序正确运行结果，即：3mGlobal optimal solution found.- 10 -Objective value: 1352.000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostV 1474.000 0.000000U( 1) 46.00000 0.000000U( 2) 55.00000 0.000000U( 3) 62.00000 0.000000U( 4) 87.0000
14、0 0.000000U( 5) 108.0000 0.000000U( 6) 114.0000 0.000000U( 7) 137.0000 0.000000U( 8) 164.0000 0.000000U( 9) 253.0000 0.000000U( 10) 364.0000 0.000000U( 11) 372.0000 0.000000U( 12) 388.0000 0.000000U( 13) 406.0000 0.000000U( 14) 432.0000 0.000000U( 15) 461.0000 0.000000U( 16) 851.0000 0.000000X( 1, 1
15、) 0.000000 0.000000X( 1, 2) 1.000000 0.000000X( 1, 3) 0.000000 46.00000X( 2, 1) 1.000000 0.000000X( 2, 2) 0.000000 0.000000X( 2, 3) 0.000000 55.00000X( 3, 1) 0.000000 0.000000- 11 -X( 3, 2) 1.000000 0.000000X( 3, 3) 0.000000 62.00000X( 4, 1) 0.000000 0.000000X( 4, 2) 1.000000 0.000000X( 4, 3) 0.0000
16、00 87.00000X( 5, 1) 0.000000 0.000000X( 5, 2) 1.000000 0.000000X( 5, 3) 0.000000 108.0000X( 6, 1) 0.000000 0.000000X( 6, 2) 1.000000 0.000000X( 6, 3) 0.000000 114.0000X( 7, 1) 0.000000 0.000000X( 7, 2) 0.000000 0.000000X( 7, 3) 1.000000 137.0000X( 8, 1) 0.000000 0.000000X( 8, 2) 1.000000 0.000000X(
17、8, 3) 0.000000 164.0000X( 9, 1) 1.000000 0.000000X( 9, 2) 0.000000 0.000000X( 9, 3) 0.000000 253.0000X( 10, 1) 0.000000 0.000000X( 10, 2) 0.000000 0.000000X( 10, 3) 1.000000 364.0000X( 11, 1) 1.000000 0.000000X( 11, 2) 0.000000 0.000000X( 11, 3) 0.000000 372.0000X( 12, 1) 1.000000 0.000000X( 12, 2)
18、0.000000 0.000000X( 12, 3) 0.000000 388.0000X( 13, 1) 1.000000 0.000000- 12 -X( 13, 2) 0.000000 0.000000X( 13, 3) 0.000000 406.0000X( 14, 1) 0.000000 0.000000X( 14, 2) 1.000000 0.000000X( 14, 3) 0.000000 432.0000X( 15, 1) 0.000000 0.000000X( 15, 2) 1.000000 0.000000X( 15, 3) 0.000000 461.0000X( 16,
19、1) 0.000000 0.000000X( 16, 2) 0.000000 0.000000X( 16, 3) 1.000000 851.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 1352.000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 122.0000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.00000012 0.000000 0.00000013 0.000000 0.00000014 0.000000 0.00000015 0.000000 0.00000016 0.000000 0.00000017 0.000000 0.000000- 13 -18 0.000000 0.00000019 0.000000 0.00000020 0.000000 0.000000
