1、数学试题（理科） 第 1 页，共 14 页惠州市 2017 届高三第三次调研考试理科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知全集 UR，集合 A1
2、,2,3,4,5，BxR|x2，则图 1 中阴影部分所表示的集合为( )（A）0,1,2 （B）0,1 （C ）1,2 （D）1（2）设函数 ,“ 是偶函数”是“xfy),()(xfy的图像关于原点对称 ”的( )f（A）充分不必要条件 （B）充要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（3）执行如右图 2 所示的程序框图, 则输出的结果为( )（A）7 （B）9 （C）10 （D）11（4）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( )（A） （B） （C）2 （D）3
3、3 2（5） 5 的展开式中 x2y3 的系数是( )(12x 2y)（A）20 （B）5 （C）5 （D）20图 1开 始 0i=,Slg2i1?Si输 出结 束 i是 否图 2数学试题（理科） 第 2 页，共 14 页（6）某四棱锥的三视图如图 3 所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )（A）1 （B） （C ） （D）22 3（7）若 O 为ABC 所在平面内任一点，且满足( )( 2 )0，则ABC 的形状为( )OB OC OB OC OA （A）等腰三角形 （B）直角三角形（C）正三角形 （D ）等腰直角三角形（8）函数 ycos 2x2sin x 的最大值为( )（A） （B ）1
4、（C ） （D ）23432（9）已知 x，y 满足约束条件 ，若 zax y 的最大值为 4，则 a 等于( )0yx（A）3 （B）2 （C）2 （D）3（10）函数 f(x) cos x(x 且 x0)的图象可能为( )(x 1x)（A） （B） （C） （D）（11）如图 4 是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为正方形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线 BE 与直线 CF 异面； 直线 BE 与直线 AF 异面；直线 EF平面 PBC； 平面 BCE平面 PAD.其中正确的有( )（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D ）4 个（1
5、2）已知函数 21()(,gxaxe为自然对数的底数）与 ()2lnhx的图像上存在关于 轴对称的点，则实数 a的取值范围是（ ）（A） 21,e（B） 21,e （C） 21,e（D ） 2,)e图 4图 3数学试题（理科） 第 3 页，共 14 页第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题第23题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若复数 满足 ( 是虚数单位)，则 的共轭复数是 _z1iiz（14）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验根据收集到的数据( 如下表 )：
6、零件数 (个)x10 20 30 40 50加工时间 (分钟)y62 68 75 81 89由最小二乘法求得回归方程 0.67xa，则 a 的值为_y （15）在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，且 ，ABC, ,bc2,c4C则 的面积为_.（16）已知定义在 R上的函数 yfx满足条件32fxfx，且函数34yfx为奇函数，给出以下四个命题：（1）函数 f是周期函数； （2）函数 fx的图象关于点3,04对称；（3）函数 x为 R上的偶函数； （4）函数 为 R上的单调函数其中真命题的序号为_ （写出所有真命题的序号）三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分
7、 12 分）已知数列 na中，点 ),(1na在直线 2xy上，且首项 .1a（）求数列 的通项公式；（）数列 n的前 项和为 nS，等比数列 nb中， 1， 2b，数学试题（理科） 第 4 页，共 14 页数列 nb的前 项和为 nT，请写出适合条件 nST的所有 的值.（18） （本小题满分 12 分）某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率
8、；（）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望（19） （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD是圆柱 OQ的轴截面，点 P在圆柱 OQ的底面圆周上， G是DP的中点，圆柱 的底面圆的半径 2A，侧面积为 83， 120AP（）求证： G；（）求二面角 的平面角的余弦值（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点2:10xyCab12,0,F在椭圆 上1,2A（）求椭圆 的标准方程；C（）是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 有两个不同交点 时，能在CMN、直线 上找到一点 ，在椭圆 上找到一点 ，满足 ？若存在，53
9、yPQP19 题图 QOD BCA G P数学试题（理科） 第 5 页，共 14 页求出直线的方程；若不存在，说明理由（21） （本小题满分 12 分）已知函数 ，且函数 的图象在点 处的切线与直线3ln()xfxabe()fx(1,)e垂直.(210xey（）求 ；,b（）求证：当 时， .(,)x()2fx请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用 2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑（22） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为C4cos轴的正半轴,建立平面直角
10、坐标系,直线 的参数方程是 （ 为参数） x l1cosinxtyt（）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若直线 与曲线 相交于 、 两点,且 ,求直线 的倾斜角 的值lCAB14l（23） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x)|x a|.（）若不等式 f (x)3 的解集为x|1x5，求实数 a 的值；（）在（）的条件下，若 f (x)f (x5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围数学试题（理科） 第 6 页，共 14 页惠州市 2017 届高三第三次调研考试理科数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
11、 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C B A A C A C B D B B1.【解析】因为 AB2,3,4,5，而图中阴影部分为 A 去掉 AB，所以阴影部分所表示的集合为12.【解析】 是偶函数不能推出 的图像关于原点对称，反之可以。()yfx()yfx3.【解析】 否； 否；1,lgl3,iS133,lg+llg51,5iS否； 否；55,l+ll71,7i77,lll9,9i是，输出 故选 B199,gg,S,i4.【解析】设双曲线的标准方程为 1(a0 ，b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与x2a2 y2b2对称轴垂直，因此直线 l
12、的方程为： xc 或 xc，代入 1 得 y2b 2( 1)x2a2 y2b2 c2a2，y ，故 |AB| ，依题意 4a， 2， e 212，eb4a2 b2a 2b2a 2b2a b2a2 c2 a2a2.35.【解析】 5 展开式的通项公式为 Tr1 C 5r (2y) r(12x 2y) r5(12x)C 5r (2) rx5r yr.当 r3 时，C 2(2) 320.r5(12) 35(12)6.【解析】四棱锥的直观图如图所示，PC 平面 ABCD，PC1，底面数学试题（理科） 第 7 页，共 14 页四边形 ABCD 为正方形且边长为 1，最长棱长 PA .12 12 12 3
13、7.【解析】因为( )( 2 )0，OB OC OB OC OA 即 ( )0， ，( )( )0，即| | |，CB AB AC AB AC CB AB AC AB AC AB AC 所以ABC 是等腰三角形，故选 A.8.【解析】 ycos 2x2sin x 2sin 2x2sin x1，设 tsin x (1t 1)，则原函数可以化为 y2t 22t 12 2 ，(t 12) 32当 t 时，函数取得最大值 .12 329.【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示易知 A(2,0)，由Error!得 B(1,1)由 zax y，得 yaxz.当 a2 或 a3 时，zaxy
14、在 O(0,0)处取得最大值，最大值为 zmax0，不满足题意，排除 C，D 选项；当 a2 或 3 时，zaxy 在 A(2,0)处取得最大值，2a4，a2，故选 B.10.【解析】 函数 f(x) cos x(x 且 x0)为奇函数，排除选项 A，B；当 x(x 1x)时，f(x) cos 0 ，排除选项 C，故选 D.( 1) 111.【解析】 将几何体展开图还原为几何体(如图) ，因为 E，F 分别为 PA，PD 的中点，所以 EFADBC，即直线 BE 与 CF共面，错；因为 B平面 PAD，E平面 PAD，EAF，所以BE 与 AF 是异面直线， 正确；因为 EFAD BC，EF平
15、面PBC，BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC，正确；平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直，错12.【解析】由已知，得到方程 ，即 在 上有解，设2lnax2lnax1,e数学试题（理科） 第 8 页，共 14 页，求导得 ，因为 ，所以2lnfxx2(1)xfx1xe在 有唯一的极值点，因为 ，0f1,=)(2ef-2=)(f-且 ，故方程 在 上有解等价于=)()(-极 大 值 fxf 1feflnax1,e，所以实数 的取值范围是 ，故选 B.21eaa2,e二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 54.9 15. 16. （1） （2） （
16、3）i1313.【解析】 ，所以 的共轭复数是1,izizzi14.【解析】 由 30，得 75，则 a54.9x y 15.【解析】由正弦定理 ，又 ，且 ，sin1isini 2bcbCBBCccb(0,)B所以 ，所以 ，6B712A所以17162sinsin2312 4Sbc 16 【解析】 ，所以 是周期为 3 的周33()()()(2fxffxf()fx期函数， （1）正确；函数 是奇函数，其图象关于点 对称，则 的图4x0,()f象关于点 对称， （2）正确； ，3(,0)4()()2fxfx，所以 ， （3）正确； 是3)2fxfxf()fx周期函数，在 上不可能是单调函数，
17、（4）错误真命题序号为（ 1） （2） （3） R三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本小题满分 12 分）数学试题（理科） 第 9 页，共 14 页解:（I）根据已知 1a， 2na即 dan21， 2 分所以数列 n是一个等差数列， 1)( 4 分（II）数列 的前 项和2Sn6 分等比数列 nb中， 11a， 32ab，所以 q，13nb8 分数列 的前 项和 3nnT10 分nST即23，又 *N，所以 1或 2 12 分18. （本小题满分 12 分）解:（）设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A，则P(A)
18、.C13C27 C03C37C310 4960所以，选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 .4 分4960（）随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.P(Xk) (k0,1,2,3)Ck4C3 k6C310P(X 0) ，P(X1) ，C04C36C310 16 C14C26C310 12P(X2) ，P(X3) . 8 分C24C16C310 310 C34C06C310 130所以，随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 16 12 310 130随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 . 12 分16 12 310 130 6519. （本小题满分 12 分
19、）解:（）(解法一)：由题意可知 83AD ，解得 23 ， 1分在 AOP中， 2cos120O ， 分10 分数学试题（理科） 第 10 页，共 14 页 APD，又 G是 D的中点， DPAG. 3分 B为圆 O的直径， B.由已知知 底 面， ， 平 面 . 5分 AGP. 由可知： DPB平 面 ， B. 6 分（）由（）知： 平 面 ， GA， P， P是二面角 的平面角 . 8 分6212PG, 2OPB, 90B. 0B.51cosP. 12 分(解法二) ：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知 832AD.解得 23. 则 0,A， ,4B， ,0， 0,P ， G是 DP的
20、中点， 可求得 3,2. 3 分（） 0,1B， 32,4B， 3,2AG. 032,4,BD， A. 6 分QODBCAGPxyz数学试题（理科） 第 11 页，共 14 页（）由（）知, 0,13BP， 3,2AG，,2G， ,5B . 0PA， 0P.是平面 AP的法向量 . 8 分设 1,yxn是平面 AG的法向量，由 0Gn， B，解得 2 10 分315cosBPn.所以二面角 AG的平面角的余弦值 5. 12 分20. （本小题满分 12 分）解:（）设椭圆 的焦距为 ，则 ，C2c1因为 在椭圆 上，所以 ， 2 分1,A122aAF因此 ，故椭圆 的方程为 5 分22,1ab
21、cC1xy（）椭圆 上不存在这样的点 ，证明如下：设直线的方程为 ，CQ2t设 ， ， 的中点为 ，1,Mxy2345,NxyPxyMN0,Dxy由 消去，得 ， 6 分2ty22980yt所以 ，且 ，12t22436tt数学试题（理科） 第 12 页，共 14 页故 且 8 分1209yt3t由 得 9 分PMNQ ),()5,( 2424131 yxyx所以有 ， 10 分2415y321459t(也可由 知四边形 为平行四边形，而 为线段 的中点，因PPMQNDMN此，也 为线段 的中点，所以 ，可得 )，DQ405329yt42159ty又 ，所以 ，3t471y与椭圆上点的纵坐标的
22、取值范围 矛盾。 11 分,因此点 不在椭圆上 12 分Q21. （本小题满分 12 分）解:（）因为 ，故 ，故 ；ef)1(eba)(1ba依题意， ；又 ，2 )3(ln22 xxx ef 故 ，故 ，14)( eaef 4联立解得 ， 5 分,b（）由（1）得 3ln()2xxfe要证 ，即证 ； 7 分fx2l令 ，3)(egx， 2322)()(1)xxeex数学试题（理科） 第 13 页，共 14 页故当 时， ；)1,0(x01,xe令 ，因为 的对称轴为 ，且 ，22p)(p1x0)1(p故存在 ，使得 ；),(0x0x故当 时，, ，2)(2xp 0)2)(1)(2 xxe
23、g即 上单调递增；),0g在当 时， ，故 ，(1x02(2xp 0)2)(1)(2 xxeg即 上单调递减；因为),(0g在 ,)1(,)(故当 时， ， 10 分1x20(gx又当 时， 11 分),(lnln,x所以 ，即 12 分223xe()f22. （本小题满分 10 分）解:（）由 得 , , , 4cos24cos22xycosxiny曲线 的直角坐标方程为 ,即 4 分C24024（）将 代入圆的方程得 ,1cs,inxty2cos1sintt化简得 5 分2os30t设 两点对应的参数分别为 、 ,则 6 分,AB1t212cos,3.t 8 分2212114s14ttt数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 , , 或 10 分24cos2s4323. （本小题满分 10 分）解: ()由 f(x)3，得|xa|3.解得 a3xa3.又已知不等式 f(x)3 的解集为 x|1x5所以Error! 解得 a2. 4 分()当 a2 时，f( x)|x 2|.设 g(x)f(x) f (x5) | x2| x3|.由|x 2|x3|(x 2)( x3)|5(当且仅当3x2 时等号成立)，g(x)的最小值为 5.因此，若 g(x)f(x)f(x 5)m 对 xR 恒成立，知实数 m 的取值范围是(，5 10 分
