1、第 1 页 版权所有 不得复制高中数学 函数零点的综合应用编稿老师 王东 一校 张小雯 二校 黄楠 审核 孙溢【考点精讲】二次函数零点分布：设 )0(,)(2acbxaxf（a）二次方程 的两个根 满足 函数)02cba21,x21xr两个零点为 满足,)(2xxf 21,r0)(af（b）方程 的两个根 满足 二次函数)0a(,cbxa221,xrx1两个零点 满足)(,)(xf 21,x0)(24raf（c）第 2 页 版权所有 不得复制（d）二次方程 的两个根满足 函数)0a(cbxa2qxp21的零点满足)0(cax)(f2 qxp210)(af（e）二次方程 的两个根有且只有一个根在
2、（p，q）内 函)0a(cbxa2 数 的两个零点有且只有一个在区间（p，q）内)0(x)(f2或检验 f（ p）=0，f（q）=0 并检验另一根在（p，q）内。qp【典例精析】例题 1 已知关于 x 的二次方程 x22mx2m10。（1）若方程有两根，其中一根在区间（1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的范围；（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求 m 的范围。思路导航：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。答案：（1）由条件，抛物线 f（x ）x 22mx2m 1 与 x 轴的交点分别在区间第 3 页 版权所有 不得复制（1，0）和（1，2）内，如图
3、（1）所示，得56)2(,041)0(mff（.65,21,R即 m 。56 12（2）抛物线与 x 轴交点均落在区间（0，1）内，如图（2）所示，列不等式组 Error!10,)(,mf即 m1 。12 2例题 2 对实数 a 和 b，定义运算“ ”：a bError!设函数 f（x）（x 22） （x1） ，xR。若函数 yf （x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ）A. （1，1（2，） B. （2，1（1，2C. （，2）（1，2 D. 2，1思路导航：当（x 22）（x1）1 时，1x2，所以 f（x）Error!f（x）的图象如图所示。第 4 页 版
4、权所有 不得复制yf（x）c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，即方程 f（x）c 恰有两个解，由图象可知当 c（ 2，1 （1，2 时满足条件。答案：B点评：转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合法求解。例题 3 已知关于 x 的函数 y=（m+6）x 2+2（m-1）x+m+1 恒有零点（1）求 m 的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为-4，求 m 的值思路导航:（1）当 m+6=0 时，即 m=-6 时，满足条件当 m+60时，由0 求得 m95-且 m-6综合可得 m 的范围（2）设 x1，x 2 是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m 的值答案：
5、（1）当 m+6=0 时， m=-6，函数为 y=-14x-5 显然有零点当 m+60时， m-6，由=4（m-1） 2-4（m+6）（m+1 ） =-36m-200，得 m 95-当 m 95-且 m-6时，二次函数有零点综上可得，m ，即 m 的范围为（-， - 95-（2）设 x1，x 2 是函数的两个零点，则有 x1+x2= ，x 1x2= 6)m（6 =-4，即 =-4，2121x =-4，解得 m=-3)m（且当 m=-3 时，m+60，0，符合题意，m 的值为-3点评：本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想。第 5 页 版权所有 不得复制【总结提升
6、】1. 一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛，求解此类问题常有三种途径：（1）利用求根公式；（2）利用二次函数的图象；（3）利用根与系数的关系。无论利用哪种方法，根的判别式都不容忽视，只是由于二次函数图象的不间断性，有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中。（答题时间：20 分钟）1. 若函数 y=x2+（m2）x+（5m）有 2 个大于 2 的零点，则 m 的取值范围是（ ）A. （5，4） B. （，4） C. （，2） D. （，5）（5，4）2. 关于 x 的方程 x2+px+2=0 一根大于 2，一根小于 2，则 p 的取值范围是_。3. 若函数 f（x）=2（m+1 ） x21
7、 与函数 g（x）=4mx 2m 有两个交点，则 m 的取值范围是_。4. 已知函数 f（x）=ax 32ax+3a4 在区间（1，1）上有一个零点，求实数 a 的取值范围。5. 关于 x 的二次方程 x2+（m 1）x+1=0 在区间0，2上有解。求实数 m 的取值范围。6. 已知关于 x 的方程 3x25x+a=0 的一根大于2 而小于 0，另一根大于 1 而小于 3，求实数 a 的取值范围。7. 关于 x 的实系数方程 x2 ax+2b=0 的一根在区间0，1上，另一根在区间1，2 上，求 2a+3b 的最大值。 第 6 页 版权所有 不得复制1. A解析： ， 5m 4。02)(f2.
8、 p3解析：设 f（x）=x 2+px+2。由条件得 f（2）0，且0，即 6+2p0。且 p280 解得：p 3。3. m1解析：由条件得方程 2（m+1）x 21=4mx 2m 有两个不等的实数根。即 2（m+1）x24mx+2m 1=0，有两个不等的实数根，即 16m28（m+1） （2m 1）0，解得m1。4. 解：当 a=0 时，f（x）=4，与题意不符。故 a0。f （ 1）=2a4，f（1）=4a4。f（x）在（1，1）上有零点，f（1）f （1）0，即（ 2a4） （4a4）0，解得 1a2。故 a 的取值范围为（1，2） 。5. 解：设 f（x）=x 2+（m1）x+1，x0
9、，2 ，（1）f（x）=0 在区间0，2上有一解。f（0）=10，应有 f（2）0 m 。23（2）f（x）=0 在区间0，2上有两解，则 m1。由（1） （2）知：m 1。236. 12a0解析：运用二分法得出相应的不等式组。设 f（x）=3x 25x+a，则 f（ 2）0，f （0）0，f（1）0，f（3）0 同时成立，解得12a0。7. 解：令 f（x）=x 2ax+2b，据题意知函数在0，1，1 ，2 内各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件0)2(1ff 024ba在直角坐标系中作出满足不等式的点（a，b）所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数：z=2a+3b 的最优解，第 7 页 版权所有 不得复制结合图形可知当线性目标函数：z=2a+3b 位于点 C（3，1），即 a=3，b=1 时，目标函数取得最大值 9。
