1、- 1 -第 16 讲 函数的综合应用【回顾与思考】 函数应用1.:23.:4一一【例题经典】一次函数与反比例函数的综合应用例 1 （ 2006 年南充市）已知点 A（0，-6） ，B（-3，0） ，C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象 （要求标出必要的点，可不写画法） 【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功一次函数与二次函数的综合应用例 2 （2005 年海门市）某校八年级（1）班共有学生 50 人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是 a 元经测算和市场调查，
2、 若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用 780 元，其中，纯净水的销售价（元 /桶）与年购买总量 y（桶）之间满足如图所示关系（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）若该班每年需要纯净水 380 桶，且 a 为 120 时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买材料，哪一种花钱更少？（3）当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过 30 字）？【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象经- 2 -过点（4，400） 、 （5
3、，320）可确定 y 与 x 关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯净水的费用，分析优劣二次函数与图象信息类有关的实际应用问题例 3 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从 5 月 1日起的 50天内，它的市场售价 y1与上市时间 x 的关系可用图（a ）的一条线段表示；它的种植成本 y2 与上市时间 x 的关系可用图（ b）中的抛物线的一部分来表示（1）求出图（a）中表示的市场售价 y1 与上市时间 x 的函数关系式（2）求出图（b）中表示的种植成本 y2 与上市时间 x 的函数关系式（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，
4、问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？（市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天）【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题学生通过读题、读图从题目已知和图象中获取有价值的信息，是问题求解的关键【考点精练】基础训练1在函数 y= ，y=x+5，y=x 2 的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（ ）2xA0 个 B1 个 C2 个 D3 个2下列四个函数中，y 随 x 的增大而减少的是（ ）Ay=2x By=-2x+5 Cy=- Dy=-x 2-2x-1x3函数 y=ax2-a 与 y= （a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）ax4函数 y=kx-2 与 y= （k0
5、）在同一坐标系内的图象可能是（ ）kx- 3 -5如图是二次函数 y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2=mx+n 的图象，观察图象写出 y2y1 时，x的取值范围_(第 5 题) (第 6 题)6 （2006 年旅顺口）如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 y2= 的图象，观察图象写mx出 y1y2 时，x 的取值范围是_7 （2005 年十堰市）在同一平面直角坐标系中，函数 y=kx+k，y= （k0）的图像大致k是（ ）8 （2005 年太原市）在反比例函数 y= 中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则二次函kx数 y=kx2+2kx 的图像大致是（ ）能力提升9如图，
6、已知反比例函数 y1= （m0）的图象经过点 A（-2，1） ，一次函数mxy2=kx+b（k0）的图象经过点 C（0，3）与点 A，且与反比例函数的图象相交于另一点B（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；- 4 -（2）求点 B 的坐标10如图，一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、B 两点，与 x 轴交mx于点 C，与 y 轴交于点 D已知 OA= ，tanAOC= ，点 B 的坐标为（ ，-4） 51212（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB 的面积11 （2005 年扬州市）近几年，扬州市先后获得“中国优秀旅游城市”和“全国生态建设示范
7、城市”等十多个殊荣到扬州观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量游客前来观光事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数已知每张门票原价 40 元，现设浮动票价为 x 元，且 40x70，经市场调研发现一天游览人数 y 与票价 x 之间存在着如图所示的一次函数关系（1）根据图象，求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）设该景点一天的门票收入为 w 元试用 x 的代数式表示 w；试问：当票价定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？- 5 -12 （2006 年荆门市）某环保器材公司销售一
8、种市场需求较大的新型产品已知每件产品的进价为 40 元经销过程中测出销售量 y（万件）与销售单价 x（元）存在如图所示的一次函数关系每年销售该种产品的总开支 z（万元） （不含进价）与年销售量y（万件）存在函数关系 z=10y+42.5（1）求 y 关于 x 的函数关系（2）试写出该公司销售该种产品年获利 w（万元）关于销售单价 z（元）的函数关系式（年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额）当销售单价为 x 为何值，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于 57.5 万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件
9、下使产品的销售量最大，你认为销售单价应为多少元？应用与探究13 （2006 年潍坊市）为保证交通完全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时刹车下表是某款车在平坦道路上路况良好刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：行驶速度（千米/时） 40 60 80 停止距离（米） 16 30 48 （1）设汽车刹车后的停止距离 y（米）是关于汽车行驶速度 x（千米/时）的函数给出以下三个函数y=ax+b；y= （k0） ；y=ax 2+bx，请选择恰当的函数kx来描述停止距离 y（米）与汽车行驶速度 x（千米/时）的
10、关系，说明选择理由,并求出符合要求的函数的解析式；（2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为 70 米，求汽车行驶速度- 6 -答案:例题经典 例 1：解：设直线 AB 的解析式为 y=k1x+b，则 解得 k1=-2，b=-6130,6kb所以直线 AB 的解析式为 y=-2x-6点 C（m，2）在直线 y=-2x-6 上，-2m-6=2，m=-4，即点 C 的坐标为 C（-4，2） ，由于 A（0，6） ，B（-3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点 C（-4，2） ，设经过点 C 的反比例函数的解析式为 y= 则 2= ，2kx24k 2=-8即经过点 C的反比例
11、函数的解析式为 y=- 8例 2：（1）设 y=kx+b，x=4 时，y=400；x=5 时，y=320， 4080,:3572kbkb一y 与 x 的函数关系式为 y=-80x+720（2）该班学生买饮料每年总费用为 50120=6000（元） ，当 y=380 时，380=-80x+720，得 x=4.25该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 3804.25+780=2395（元） ，显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少（3）设该班每年购买纯净水的费用为 W 元，则 W=xy=x（-80x+720）=-80（x- ） 2+16209当 x= 时，W 最大值 =1620要使饮用桶装纯净水
12、对学生一定合算，92则 50aW 最大值 +780，即 50a1620+780解之得，a48所以 a 至少为 48 元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯例 3：（1）设 y1=mx+n，因为函数图象过点（0，5.1） ， （50，2.1） ， 解得：m=- ，n=5.1，5.2nm350- 7 -y 1=- x+5.1（0x50） 350（2）又由题目已知条件可设 y2=a（x-25） 2+2因其图象过点（15，3） ，3=a（15-25） 2+2，a= ，10y 2= x2- x+ （或 y= （x-25） 2+2） （0x50
13、）1034（3）第 x 天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：y 1-y2= （x 2-044x+315（0x55） 依题意：y 1-y2=0，即 x2-44x+315=0，（x-9） （x-35）=0，解得：x1=9，x 2=25所以从 5 月 1 日起的第 9 天或第 35 天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱考点精练1B 2B 3A 4B 5-2x1 6x3 或-2x0 7D 8D9 （1）反比例函数解析式为 y= ，一次函数的解析式为 y=x+32x（2）点 B 的坐标为 B（-1，2）10 （1）反比例函数解析式为 y=- ，一次函数为 y=-2x-3（2）S AOB = 个平方单位54
14、11 （1）设函数解析式为 y=kx+b，由图象知：直线经过（50，3500） ， （60，3000）两点则 ，0350,66kbkb一函数解析式为 y=6000-50x （2）w=xy=x（6000-50x） ，即 w=-50x2+6000xw=-50x 2+6000x=-50（x 2-120x）=-50（x-60） 2+180000，当票价定为 60 元时，该景点门票收入最高，此时门票收入为 180000 元12 （1）由题意，设 y=kx+b，图象过点（70，5） ， （90，3） ， y=- x+12 1570,0392kbk一- 8 -（2）由题意，得 w=y（x-40）-z=y（x
15、-40）-（10y+42.5）=（- +12） （x-40）-10（- x+12）-42.51010=-0.1x2+17x-642.5=- （x-85） 2+80当 x=85 时，年获利的最大值为 80 万元（3）令 w=57.5，得-0.1x 2+17x-642.5=57.5，整理，得 x2-170x+7000=0解得 x1=70，x 2=100由图象可知，要使年获利不低于 57.5 万元，销售单价为 70 元到 100 元之间又因为销售单位越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又使年获利不低于 57.5 万元，销售单价应定为 70 元13解：（1）若选择 y=ax+b，把 x=40，y=1
16、6 与 x=60，y=30 分别代入得 ，16400.7,312aba一而把 x=80 代入 y=0.7x-12 得 y=4448，所以选择 y=ax+b 不恰当；若选择 y= （k0） ，由 x，y 对应值表看出 y 随 x 的增大而增大kx而 y= （k0）在第一象限 y 随 x 的增大而减小，所以不恰当；若选择 y=ax2+bx，把 x=40，y=16 与 x=60，y=30 分别代入得 ，16040.5,32aba一而把 x=80 代入 y=0.005x2+0.2x得 y=48 成立所以选择 y=ax2+bx 恰当，解析式为 y=0.005x2+0.2（2）把 y=70 代入 y=0.005x2+0.2x 得 70=0.005x2+0.2x，即 x2+40x-14000=0，解得 x=100 或 x=-140（舍去） ，所以，当停止距离为 70 米，汽车行驶速度为 100 千米/时
