1、12013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第卷(选择题 共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 福建，理 1)已知复数 z 的共轭复数 12i(i 为虚数单位) ，则 z 在复平面内z对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D解析：由 12i，得 z12i，故复数 z 对应的点(1 ，2)在第四象限z2(2013 福建，理 2)已知集合 A1，a ，B 1,2,3，则“a3”是“A B”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要
2、条件D既不充分也不必要条件答案：A解析：若 a3，则 A1,3 B，故 a3 是 A B 的充分条件；而若 A B，则 a 不一定为 3，当 a2 时，也有 A B故 a3 不是 A B 的必要条件故选 A3(2013 福建，理 3)双曲线 y 21 的顶点到其渐近线的距离等于( )4xA B C D5545答案：C解析：双曲线 y 21 的顶点为(2,0)，渐近线方程为 ，即 x2y0 和4x 1yx2y0.故其顶点到渐近线的距离 .|2514d4(2013 福建，理 4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：40,50)，50,60)，60,70) ，70
3、,80)，80,90)，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60分的学生人数为( )A588 B480 C450 D120答案：B解析：由频率分布直方图知 4060 分的频率为(0.0050.015)100.2，故估 计不少于60 分的学生人数为 600(1 0.2)480.5(2013 福建，理 5)满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22x b0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为( ) 2A14 B13 C 12 D10答案：B解析：a0 时，方程变为 2xb0，则 b 为1,0,1,2 都
4、有解； a0 时，若方程ax22xb0 有实数解，则 2 24ab0，即 ab1.当 a1 时， b 可取1,0,1,2.当 a1时， b 可取1,0,1.当 a2 时，b 可取1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为443213.6(2013 福建，理 6)阅读如图所示的程序框图，若输入的 k10，则该算法的功能是( )A计算数列2 n1 的前 10 项和B计算数列2 n1 的前 9 项和C计算数列2 n1的前 10 项和D计算数列2 n1的前 9 项和答案：A解析：当 k10 时，执行程序框图如下：S0，i1；S1，i2；S12，i3；S122 2，i4； S122 22 8，i10；
5、S122 22 9，i11.7(2013 福建，理 7)在四边形 ABCD 中， (1,2)， (4,2) ，则该四边形的ACBD面积为( ) A B C5 D105答案：C解析： 1(4)220， .又| | ，| |D215BD，S 四边形 ABCD | | |5.24641AB8(2013 福建，理 8)设函数 f(x)的定义域为 R，x 0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )AxR，f (x)f( x0)Bx 0 是 f( x)的极小值点Cx 0 是f (x)的极小值点Dx 0 是f(x)的极小值点3答案：D解析：选项 A，由极大值的定义知错误；对于选项 B，函
6、数 f(x)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，x 0应是 f(x )的极大值 点，故不正确；对于 C 选项，函数 f(x)与f(x)图象关于 x 轴对称，x0应是f( x)的极小值点，故不正确；而 对于选项 D，函数 f(x)与f(x)的图象关于原点成中心对称，故正确9(2013 福建，理 9)已知等比数列a n的公比为 q，记 bna m(n1)1 a m(n1)2 a m(n1)m ，c na m(n1) 1 am(n1) 2 am(n1) m (m，nN *)，则以下结论一定正确的是( ) A数列b n为等差数列，公差为 qmB数列b n为等比数列，公比为 q2mC数列c n为等比数列
7、，公比为 qm2D数列c n为等比数列，公比为 qmm答案：C解析： an是等比数列， q mnmm(n1)m q m，1m ( qm)mqm 2.nc121nnnaa 10(2013 福建，理 10)设 S，T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数yf (x)满足： (1)T f(x)|xS ；(2)对任意 x1，x 2S，当 x1x 2 时，恒有 f(x1)f(x 2)，那么称这两个集合“保序同构” 以下集合对不是“保序同构”的是( ) AAN *，B NBAx|1x3，Bx| x8 或 0x10CAx|0x1，BRDAZ，BQ答案：D解析：由题意(1)可知， S 为
8、函数 yf (x)的定义域， T 为函数 yf(x )的值域由(2)可知，函数 yf(x)在定义 域内单调递增， 对于 A，可构造函数 yx1， xN*，yN，满足条件；对于 B，构造函数 满足条件；8,1,53,2x对于 C，构造函数 ，x(0,1)，满足条件；tany对于 D，无法构造函数其定义域为 Z，值域为 Q 且递增的函数，故选 D第卷(非选择题 共 100 分)二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置11(2013 福建，理 11)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_答案： 2解析：由 3a10
9、得 ，由几何概型知 .13123P12(2013 福建，理 12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表4面积是_答案：12解析：由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径，所以 ，故 该球的表面积为 S 球 4r 24312.221r3r13(2013 福建，理 13)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC ，sinBAC ，AB ，AD3，则 BD 的长为_232答案：解析：AD AC，DAC .sinBAC ， ，232sin3BADcosBAD .由余弦
10、定理得BD2AB 2AD 22ABAD cosBAD 3 22 3 3.()2BD .314(2013 福建，理 14)椭圆 ： (ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，焦21xy距为 2C 若直线 y (x c)与椭圆 的一个交点 M 满足 MF 1F22MF 2F1，则该椭圆的离心率等于_答案： 31解析：由直线 y (xc )知其倾斜角为 60，由题意知MF 1F260，则MF 2F130， F1MF290.故|MF 1|c， |MF2| C又|MF 1|MF 2|2a， ( 1)c2a，3即 .3e15(2013 福建，理 15)当 x R，|x |1 时，有如下表达式：1xx 2
11、x n .5两边同时积分得： ，111112222200000ddddnxxxx 从而得到如下等式：.2311 l n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：_.231011CCC2 2nnnnn答案： 3解析：由 (1x) n，012nnx两边同时积分得：111220000CdCddnx，120()n231112nnn .1120 3|nnnx 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(2013 福建，理 16)(本小 题满分 13 分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得 2 分；方案乙的
12、中奖率为 ，中奖23 25可以获得 3 分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？解法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互2325不影响记“这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件为“X5” ，因为 P(X5) ，所以 P(A)1P(X5) ，4115即这 2 人的累计得分 X3 的概
13、率为 .5(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择 方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)由已知可得，X 1B ，X2B ，,3,6所以 E(X1) ，E(X2) ，42345从而 E(2X1)2E(X 1) ，E(3X2)3E( X2) .81因为 E(2X1)E(3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累 计得分的数学期望 较大解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互325不影响记“这 2 人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A
14、 包含有“X0” ，“X2” ，“X3”三个两两互斥的事件，因为 P(X0) ，P(X2) ，P(X3) 115215，2135所以 P(A)P(X0) P(X2)P(X3) ，15即这 2 人的累计得分 X3 的概率为 .(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为 X2，则 X1，X2 的分布列如下：X1 0 2 4P 9X2 0 3 6P 51245所以 E(X1)0 2 4 ，E(X2)0 3 6 .9989124512因为 E(X1)E(X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累 计得分的数学期望 较大17(2013 福建，理 17)(本小
15、 题满分 13 分)已知函数 f(x) xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值解：函数 f(x)的定义域为(0，)，f (x)1 .a(1)当 a2 时，f( x)x 2ln x， f(x)1 (x0) ，2因而 f(1)1，f(1) 1，所以曲线 yf(x )在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1( x1)，即 xy20.(2)由 f(x)1 ，x0 知：a当 a 0 时，f(x )0，函数 f(x)为(0， ) 上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a 0 时，由 f(x)0，解得 xA 7又当 x(0
16、 ，a)时，f(x)0；当 x(a， )时，f (x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小 值为 f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值18(2013 福建，理 18)(本小 题满分 13 分)如图，在正方形 OABC 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为(10,0)，点 C 的坐标为(0,10)分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为A1，A 2，A 9 和 B1，B 2， ，B 9.连结 OBi，过 Ai作 x 轴的垂线与 OBi交于点Pi(i N*,1i 9
17、)(1)求证：点 Pi(iN *,1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线 E 的方程；(2)过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M，N ，若OCM 与OCN 的面积比为41，求直线 l 的方程解法一：(1)依题意， 过 Ai(iN*,1i9)且与 x 轴垂直的直线方程为 xi ，Bi的坐 标为(10，i) ，所以直 线 OBi的方程为 y x.10i设 Pi的坐标为(x ，y)，由,10xi得 y x2，即 x210y .10所以点 Pi(iN*,1i9) 都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x210y.(2)依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx
18、10.由 得 x210kx1000，2.kxy此时 100k24000，直线 l 与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M，N.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 12,kx 因为 SOCM4 SOCN，所以|x 1|4|x 2|.又 x1x20，所以 x14x 2，分别代入 和 ，得 解得 .30,k32所以直线 l 的方程为 y x10，即 3x2y200 或 3x2y200.2解法二：(1)点 Pi(iN*,1i9)都在抛物线 E：x210y 上证明如下：过 Ai(iN*,1i9)且与 x 轴垂直的直线方程为 xi ，8Bi的坐 标为(10，i) ，所以直 线 OBi的方程为 y x
19、.10i由 解得 Pi的坐标为 ，,10xiy2,i因为点 Pi的坐标都满足方程 x210y，所以点 Pi(iN*,1i9) 都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x210y.(2)同解法一19(2013 福建，理 19)(本小 题满分 13 分)如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，侧棱AA1底面 ABCD，ABDC， AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0) (1)求证：CD 平面 ADD1A1；(2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ，求 k 的值；67(3)现将与四棱柱 ABCD A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一
20、个新的四棱柱规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f(k)，写出 f(k)的解析式( 直接写出答案，不必说明理由 )解：(1)取 CD 的中点 E，连结 BE.ABDE，ABDE3k ，四 边形 ABED 为平行四边形，BEAD 且 BEAD4k.在BCE 中，BE4k， CE 3k，BC5k，BE2CE 2BC 2，BEC90 ，即 BECD，又 BEAD，CDADAA1平面 ABCD，CD 平面 ABCD，AA1CD又 AA1ADA，CD平面 ADD1A1.(2)以 D 为原点， ， ，
21、的方向为 x，y，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角C1D坐标系，9则 A(4k,0,0)，C(0，6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以 (4k,6k,0)， (0,3k,1)， (0,0,1)设平面 AB1C 的法向量 n(x， y，z)，则由 10,CBn得 0,3.kxyz取 y2，得 n(3,2，6k)设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 ，则sin |cos ，n|A1| ，26731k解得 k1，故所求 k 的值为 1.(3)共有 4 种不同的方案f(k)256,0,183,.k20(2013 福建，理 20)(本小 题满分 14 分)已知函数 f(x
22、) sin(x )(0,0 ) 的周期为 ，图象的一个对称中心为 .将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2,04倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象2(1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式；(2)是否存在 x0 ，使得 f(x0)，g(x 0)，f (x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存,64在，请确定 x0 的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数 a 与正整数 n，使得 F(x)f (x)ag(x)在(0 ，n)内恰有 2 013 个零点解法一：(1)由函数 f(x)sin(x)的周期为 ，0，得 2.T又曲线 yf(x
23、) 的一个对称中心为 ，(0，)，,410故 ，得 ，所以 f(x)cos 2x.sin204f2将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 ycos x 的图象，再将 ycos x 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，所以=cos2gg(x)sin x.(2)当 x 时， sin x ，0cos 2x ，,64121所以 sin xcos 2xsin xcos 2 x.问题转化为方程 2cos 2xsin xsin xcos 2x 在 内是否有解,64设 G(x)sin xsin xcos 2x2cos 2x，x ，,则 G(x)cos xcos
24、xcos 2x2sin 2x(2sin x )因为 x ，所以 G(x) 0，G(x)在 内单调递增,64,64又 ， ，12且函数 G(x)的图象连续不断，故可知函数 G(x)在 内存在唯一零点 x0，,64即存在唯一的 x0 满足题意,64(3)依题意，F( x)asin xcos 2x，令 F(x)asin xcos 2x0.当 sin x0，即 xk (kZ)时，cos 2x1，从而 xk(kZ)不是方程 F(x)0 的解，所以方程 F(x)0 等价于关于 x 的方程 ，xk(kZ)现研究 x(0，)cosin(，2)时方程 的解的情况cosina令 ，x(0，)(，2)，2hx则问题
25、转化为研究直线 ya 与曲线 yh(x)，x (0，)(，2)的交点情况，令 h(x)0，得 或 .2cos(i1)()n23当 x 变化时，h (x)，h(x)的变化情况如下表：x 02， ， ， 23，h(x) 0 0 h(x) A1 A1 A当 x0 且 x 趋近于 0 时，h(x) 趋向于，当 x 且 x 趋近于 时，h(x)趋向于，当 x 且 x 趋近于 时，h(x)趋向于，当 x2 且 x 趋近于 2时，h (x)趋向于.故当 a1 时，直线 ya 与曲线 yh(x) 在(0，) 内无交点，在(， 2)内有 2 个交点；11当 a1 时，直线 ya 与曲线 yh(x) 在(0，)
26、内有 2 个交点，在(， 2)内无交点；当1a1 时，直线 ya 与曲线 yh(x) 在(0，) 内有 2 个交点，在(， 2)内有 2 个交点由函数 h(x)的周期性，可知当 a1 时，直线 ya 与曲线 yh( x)在(0，n)内总有偶数个交点，从而不存在正整数 n，使得直线 ya 与曲线 yh(x) 在(0 ，n)内恰有 2 013 个交点；又当 a1 或 a1 时，直线 ya 与曲线 yh(x) 在(0，)(，2)内有 3 个交点，由周期性，2 0133671，所以依题意得 n67121 342.综上，当 a1，n1 342 或 a1，n1 342 时，函数 F(x)f(x )ag(x
27、) 在(0，n)内恰有2 013 个零点解法二：(1)、(2)同解法一(3)依题意，F( x)asin xcos 2x2sin 2xasin x 1.现研究函数 F(x)在(0,2上的零点的情况设 tsin x ，p(t)2t 2at1(1t1)，则函数 p(t)的图 象是开口向下的抛物线，又 p(0)10，p( 1)a 1，p(1)a1.当 a1 时，函数 p(t)有一个零点 t1(1,0)(另一个零点 t21，舍去)，F(x) 在(0,2上有两个零点 x1，x2，且 x1，x2(，2)；当 a1 时，函数 p(t)有一个零点 t1(0,1)(另一个零点 t21，舍去)，F(x) 在(0,2
28、上有两个零点 x1，x2，且 x1，x2(0，)；当1a1 时，函数 p(t)有一个零点 t1(1,0) ，另一个零点 t2(0,1)，F(x)在(0 ，)和(，2)分别有两个零点由正弦函数的周期性，可知当 a1 时，函数 F(x)在(0 ，n)内总有偶数个零点，从而不存在正整数 n 满足题意当 a1 时，函数 p(t)有一个零点 t1(1,0) ，另一个零点 t21；当 a1 时，函数 p(t)有一个零点 t11，另一个零点 t2(0,1)，从而当 a1 或 a1 时，函数 F(x)在(0,2有 3 个零点由正弦函数的周期性， 2 0133671，所以依题意得 n67121 342.综上，当
29、 a1，n1 342 或 a1，n1 342 时，函数 F(x)f(x )ag(x) 在(0，n)内恰有2 013 个零点21(2013 福建，理 21)本题设有(1)、(2)、(3) 三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分如果多做，则按所做的前两题计分作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中(1)(本小 题满分 7 分)选修 42：矩阵与变换已知直线 l：ax y1 在矩阵 对应的变换作用下变为直线 l：xby1.1 0A求实数 a，b 的值；若点 P(x0，y 0)在直线 l 上，且 ，求点 P 的坐标0xy(2)
30、(本小 题满分 7 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点 A 的极坐标为 ，直线 l 的极坐标方程为 a，且点 A 在直线 l 上2， cos4求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；圆 C 的参数方程为 ( 为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系1cos,inxy(3)(本小 题满分 7 分)选修 45：不等式选讲设不等式|x2|a(aN *)的解集为 A，且 A， A32112求 a 的值；求函数 f(x)|x a| x2|的最小值(1)选修 42：矩阵与变换解：设直线 l：axy1 上任意点 M(x，y)在
31、矩阵 A 对应的变换作用下的像是M(x，y)由 ， 20得 2,.y又点 M(x，y)在 l上，所以 xby1，即 x( b2)y1，依题意得 解得=1,2ab,.ab由 ，得 解得 y00.0Ay002,y又点 P(x0，y0)在直 线 l 上，所以 x01.故点 P 的坐标为(1,0)(2)选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分 7 分解： 由点 A 在直线 a 上，可得 .2,cos42所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.由已知得 圆 C 的直角坐标方程为(x1) 2y 21，所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r1，因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 1，所以直线 l 与圆 C 相交(3)选修 45：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分 7 分解： 因为 A，且 A，所以 ，且 ，32132a12a解得 a .又因为 aN*，所以 a1.1因为 |x1|x2|(x 1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2 时取到等号所以 f(x)的最小值为 3.
