1、2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版1 / 112013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)注意事项：1本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题2考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息3所有解答必须填写在答题卡上指定区域内考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分(共 50 分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分) 1(2013 陕西，理 1)设全集为 R，函数 f(x) 的定义域为 M，则 RM 为( )21A1,1B
2、(1,1)C(，11，)D(，1)(1 ，)答案：D解析：要使函数 f(x) 有意义，则 1x 20，解得1x1，则 M 1,1，21RM (， 1)(1，)2(2013 陕西，理 2)根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为( )A25 B30 C 31 D61答案：C解析：由算法语句可知 0.5,2605,xyx所以当 x60 时，y250.6(6050) 25631.3(2013 陕西，理 3)设 a，b 为向量，则“| ab|a|b|”是 “ab”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：C解析：若 a 与 b 中有一个为零向
3、量， 则“| ab|a|b|”是“ab”的充分必要条件；若 a 与 b 都不为零向量，设 a 与 b 的夹角为 ，则 ab|a|b|cos ，由 |ab| a|b|得|cos |1，则两向量的夹角为 0 或 ，所以ab.若 ab，则 a 与 b 同向或反向，故两向量的 夹角为 0 或 ，则|cos |1，所以| ab|a|b|，故“|ab| a|b|”是“ab”的充分必要条件4(2013 陕西，理 4)某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按1,2，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481,720的人数为( )A11 B12 C
4、13 D14答案：B2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版2 / 11解析：8404220，把 1,2，840 分成 42 段，不妨设第 1 段抽取的号码为 l，则第 k 段抽取的号码为 l(k 1)20,1l20,1 k42.令 481l(k1)20720，得 25 k37 .由 1l20，2020则 25k36.满 足条件的 k 共有 12 个5(2013 陕西，理 5)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常) 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点
5、无信号的概率是( ) A B1412C D2答案：A解析：S 矩形 ABCD122，S 扇形 ADES 扇形 CBF .由几何概型可知该地点无信号的概率为4P .21FABCDAECBB矩 形 扇 形 扇 形矩 形6(2013 陕西，理 6)设 z1，z 2 是复数，则下列命题中的假命题是 ( )A若|z 1z 2|0，则B若 ，则12C若|z 1|z 2|，则 zD若|z 1| z2|，则 z12z 22答案：D解析：对于选项 A，若|z 1z 2|0， 则 z1z 2，故 ，正确；对于选项 B，若 ，则 ，12z12z12z正确；对于选项 C，z1 | z1|2，z2 2|z 2|2，若|
6、z 1| z2|，则 ，正确；对于选项 D，如令z 12zz1i 1 ，z21 i， 满足|z 1| |z2|，而 z122i，z 222i ，故不正确7(2013 陕西，理 7)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案：B解析：bcos Cc cos Basin A，由正弦定理得 sin Bcos Csin Ccos Bsin 2A，sin(BC)sin 2A，即sin Asin 2A又 sin A0， sin A1， ，故 ABC 为 直角三角形28(2
7、013 陕西，理 8)设函数 f(x) 则当 x0 时，ff(x) 表达式的展开式中常数项为( 6,)A20 B20 C15 D15答案：A解析：当 x0 时，f( x) 0，则2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版3 / 11ff(x) .6611x.令 3r0，得 r3，此 时 T4( 1) 366 21 6C)()C(1)Crrrrr rrTxx 20.369(2013 陕西，理 9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分 )，则其边长 x(单位：m)的取值范围是( ) A15,20 B12,25C10,30 D20,30答案：
8、C解析：设矩形另一边长为 y，如图所示. ，则 x40y，y40x.由 xy300，即 x(40x)40x300，解得 10x 30，故选 C10(2013 陕西，理 10)设 x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y，有( )Ax x B2 x2xCxy xy D xy x y答案：D解析：对于选项 A，取 x1.1， 则 x 1.11，而x 1.1(2) 2，故不正确； 对于选项 B，令 x1.5，则2x 33,2 x21.52，故不正确；对于选项 C，令 x1.5，y2.5， 则 xy44， x2，y 3， xy 5，故不正确；对于选项 D，由 题意可设 xx 1,0 11，y
9、 y 2,0 21， 则 xyx y 1 2，由 0 11， 1 20，可得1 1 21.若 0 1 21，则xy x y 1 2x y ；若1 1 20，则01 1 21，xy x y 1 2x y 11 1 2x y1 x y，故选项 D正确第二部分(共 100 分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分) 11(2013 陕西，理 11)双曲线 的离心率为 ，则 m 等于_216xym54答案：9解析：由双曲线方程知 a4.又 ，解得 c5，故 16m25，m9.ce12(2013 陕西，理 12)某几何体的三视图如图所示，则其
10、体积为 _2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版4 / 11答案： 3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径 r1，高 SO2， 则 V 几何体 .1213(2013 陕西，理 13)若点( x，y) 位于曲线 y|x1| 与 y2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为_答案：4解析：由 y|x1| 及 y2 画出可行域如 图阴影部分所示1,x令 2xyz， 则 y2x z ，画直线 l0：y2x 并平移到过点 A(1,2)的直线 l，此时z 最大，即 z 最小2( 1)2 4.14(2013 陕西，理 14)观察下列等式121122 232013 年高考
11、理科数学陕西卷 word 解析版5 / 11122 23 26122 23 24 210照此规律，第 n 个等式可为_答案：1 22 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 2解析：第 n 个等式的左边第 n 项应是(1) n1 n2，右 边数的 绝对值为 123n ，故12n有 122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 .15(2013 陕西，理 15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A(不等式选做题)已知 a，b，m，n 均为正数，且 ab1，mn2，则( ambn)(bm an)的最小值为_答案：2解析：(ambn)(bman)a
12、bm 2( a2b 2)mnabn 2ab(m 2n 2)2( a2b 2)2abmn2( a2b 2)4ab2( a2b 2)2( a22abb 2)2(ab) 22( 当且仅当 mn 时等号成立) B(几何证明选做题)如图，弦 AB 与 CD 相交于 O 内一点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线A交于点 P，已知 PD2DA 2，则 PE_.答案： 6解析：C 与 A 在同一个 O 中，所 对的弧都是 ，则 C A又ABDPEBC，C PEDA PED又 PP， PEDPAE，则 ，PE2PA PD又PEDPD2DA2， PAPD DA3，PE 2326， PE .6C(坐
13、标系与参数方程选做题 )如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 x2y 2x0 的参数方程为_答案： (为参数)2cos,inxy解析：由三角函数定义知 tan (x0)，yx tan ，由 x2y 2x0 得，x 2x 2tan2x0，xyxcos 2，则 yxtan cos 2tan sin cos ，又 时，x0，y0 也适合题意，故参数方程21tan 为 (为参数) cos,ixy三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题，共 75 分) 2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版6 / 1116(2013 陕西，理 16)(本小 题满分 12 分
14、)已知向量 a ，b( sin x，cos 2x)，xR ，设1cos,2x3函数 f(x)ab.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在 上的最大值和最小值0,2解：f(x ) ( sin x，cos 2x)1cos,3 cos xsin x cos 2x3 sin 2x cos 2x1 cosinsico66 .x(1)f(x)的最小正周期 为 ，2T即函数 f(x)的最小正周期为 .(2)0x ，2 .由正弦函数的性质，566当 ，即 时，f(x)取得最大值 1.x3当 ，即 x0 时，f (0) ，212当 ，即 时 ， ，56xf(x)的最小值为 .12因此，f(x) 在
15、 上最大值是 1，最小值是 .0,1217(2013 陕西，理 17)(本小 题满分 12 分)设a n是公比为 q 的等比数列(1)推导a n的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列a n1不是等比数列(1)解：设a n的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，S na 1a 1 a1na 1；当 q1 时，S na 1a 1qa 1q2a 1qn1 ，qSna 1qa 1q2a 1qn，得，(1q)S na 1a 1qn， ，1n1,.(2)证明：假设a n1是等比数列， 则对任意的 kN ，(ak1 1) 2( ak1)(a k2 1)，2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版7
16、 / 112a k1 1a kak2 a ka k2 1，ka12q2k 2a1qk a1qk1 a1qk1 a 1qk1 a 1qk1 ，a1 0，2qkq k1 q k1 .q 0，q22q10，q 1，这与已知矛盾，假 设不成立，故a n1不是等比数列18(2013 陕西，理 18)(本小 题满分 12 分)如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O平面 ABCD，ABAA 1 .2(1)证明：A 1C平面 BB1D1D；(2)求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小(1)证法一：由题设易知 OA，OB，OA1 两两垂直，
17、以 O 为原点建立直角坐标系，如 图ABAA 1 ，2OAOBOA 11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)， D(0，1,0)，A 1(0,0,1)由 ，易得 B1(1,1,1)1 (1,0，1)， (0， 2,0)，(1,0,1)，1 0， 0，D1A1CBD，A1CBB1，A1C平面 BB1D1D证法二：A 1O平面 ABCD，A1OBD又 ABCD 是正方形， BDAC，BD平面 A1OC，BDA1C又 OA1 是 AC 的中垂线， A1AA 1C ，且 AC2，AC 2AA 12A 1C2，AA1C 是直角三角形，AA1A1C又 BB1AA1，A1CBB1，A1C平
18、面 BB1D1D(2)解：设平面 OCB1 的法向量 n( x，y，z)， (1,0,0)， (1,1,1)，B 10,Oxyzn0,.yz取 n(0,1 ，1)，由(1)知， ( 1,0，1)是平面 BB1D1D 的法向量，ACcos |cos n， | .122013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版8 / 11又 0 ， .2319(2013 陕西，理 19)(本小 题满分 12 分)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选
19、2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列及数学期望解：(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手” ，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手” ，则 P(A) ，P(B) .123C245事件 A 与 B 相互独立，观 众甲 选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A )P(A )P( )P(A)1P(B).2435113245.或(2)设 C 表示事件“观
20、众丙选中 3 号歌手” ，则 P(C) ，2435X 可能的取值为 0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0) ，124()57ABP(X1) ()()PCAB ，233035P(X2)P(AB )P(A C)P( BC) ，223135575P(X3)P(ABC) ，218357X 的分布列为X 0 1 2 3P 457518X 的数学期望 .2340017E20(2013 陕西，理 20)(本小 题满分 13 分)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹
21、C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明直线 l 过定点(1)解：如图，设动圆圆心 O1(x，y)，由 题意， |O1A|O 1M|，当 O1 不在 y 轴上时，2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版9 / 11过 O1 作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点， ，又 ，2|4Mx21|4Axy ，2y化简得 y28x(x 0)又当 O1 在 y 轴上时， O1 与 O 重合，点 O1 的坐标(0,0)也满足方程 y28x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x .(2)证明：由题意， 设直线 l 的方程为 ykxb(k0) ，P(x1，y
22、1)，Q(x2，y2)，将 ykxb 代入 y28x 中，得 k2x2(2bk 8)xb 20，其中 32kb640.由求根公式得，x 1x 2 ，kx1x2 ，k因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以 ，12y即 y1(x21) y 2(x11)0，(kx1b)(x 21)( kx2b)( x11) 0，2kx1x2 (bk)(x 1x 2)2b0，将，代入得 2kb2( kb)(8 2bk)2k 2b0，kb，此时 0，直 线 l 的方程 为 yk(x 1)，即直线 l 过定点(1,0)21(2013 陕西，理 21)(本小 题满分 14 分)已知函数 f(x) ex，x R.(1)若直线
23、 ykx1 与 f(x)的反函数的图像相切，求实数 k 的值；(2)设 x0，讨论曲线 yf( x)与曲线 ymx 2(m0)公共点的个数；(3)设 ab，比较 与 的大小，并说明理由2abfa解：(1)f(x) 的反函数 为 g(x)ln x.设直线 ykx1 与 g(x)ln x 的图像在 P(x0，y0)处相切，则有 y0kx 01ln x 0，kg( x0) ，1解得 x0e 2， .2(2)曲线 ye x与 ymx 2 的公共点个数等于曲线 与 ym 的公共点个数2ex令 ，则 ，23e()x(2)0.2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版10 / 11当 x(0,2)时，
24、(x )0，(x)在(0,2)上单调递减；当 x(2，)时，( x)0，(x) 在(2，)上单调递增，(x)在 (0， )上的最小值为 .2e4当 0m 时，曲线 与 ym 无公共点；2e42x当 时，曲线 与 ym 恰有一个公共点；ex当 时，在区间(0,2)内存在 ，使得 (x1)m，在 (2， ) 内存在 x2me 2，使得 (x2)m .由2e41(x)的单调 性知，曲 线 与 ym 在(0， )上恰有两个公共点2ex综上所述，当 x0 时，若 0m ，曲线 yf( x)与 ymx 2 没有公共点；24若 ，曲线 yf( x)与 ymx 2 有一个公共点；e若 ，曲线 yf( x)与
25、ymx 2 有两个公共点24(3)解法一：可以证明 .afbfa事实上， 2fee2ba(ba) (*)eba1ab1令 (x0) ，()x则 (仅当 x0 时等号成立) ，2221e4e11xxxx(x)在0，)上单调递增，x0 时，( x) (0)0.令 xba，即得 (*)式，结论得证解法二： ee22babafbf eebaaba2013 年高考理科数学陕西卷 word 解析版11 / 11 (ba)e ba (ba)2e ba 2 ，e2设函数 u(x)x exx2e x2(x 0) ，则 u(x)e xxe x12e x，令 h(x)u(x)，则 h(x)e xe xx ex2e xx ex0(仅当 x0 时等号成立)，u(x)单调递增，当 x0 时，u(x )u(0)0，u(x)单调递增当 x0 时，u(x)u(0)0.令 xba，则 得( ba)e ba (ba) 2e ba 20， ，ee02因此， .ffba
