1、1SARS 的传播SARS 是 21 世纪的一个在世界范围内传播的传染病. SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大的影响.我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量的研究传染病的传播规律、为预测和控制传染并蔓延创造条件的重要性，附表给出了北京市疫情的数据，试解决以下问题1 用不同的方法拟合确诊的累积病人曲线，若提前或者延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播的影响做出估计。2 利用回归分析方法对累积治愈病人和现有疑似病人进行研究，推导出治愈病人的速度，以及疑似病人与确诊病人之间的关系。重点： 非线性回归分析及 Matlab命令的掌握；曲线拟合的方法及曲线的选择模型的分
2、析和建立：为了对确诊累计病例，现有疑似病例，死亡人数以及治疗状况有一个直观的了解，首先做出散点图，通过对散点图的初步分析确定拟合曲线的类别，然后在利用给定的数据进行非线性回归。以 Excel 数据为例，首先加载宏，选择 toolbox-exlink, 加载后，就可以在matlab 和 excel 之间建立数据联系，从而可以方便的画图和数据处理。得到四副图像如下；0 10 20 30 40 50 60 700501001502002503000 10 20 30 40 50 60 70020406080100120140160图一 累计病人数 图二 现有疑似病人数0 10 20 30 40 50
3、 60 7002040608010120140160180200 10 20 30 40 50 60 70050100150200250图三 累计死亡病人 图四 累计治愈病人从图中我们可以发现，凡是累计的人数都具有单调增加的特点，要确切的用什么曲线来拟合累计病人的发展趋势，就必须了解传染病的流行规律。通常2在传染病流行的初期传染率较高，患病的人数剧增；而随着人们采取相应的预防措施以及抵抗能力的增加和病毒毒性的减低患病人数逐渐减少，因此，曲线应该形成 S 状，曲线上有一个拐点，在此拐点之前，曲线快速增长，而在此以后，曲线增长缓慢，考虑以上的分析，我们选择两种曲线（1） Logist 模型cxay
4、be（2）Gemperty 模型 kxe利用 Matlab 的非线性回归命令，得到（1）Logist 模型% 程序内容a1=339 482 588 693 774 877 988 1114 1199 1347 1440 1552 1636;1741 1803 1897 1960 2049 2136 2177 2227 2265 2304 2347 2370 2388;2405 2420 2434 2437 2444 2444 2456 2465 2490 2499 2504 2512 2514;2517 2520 2521 2522 2522 2522 2522 2522 2522 2522
5、2522 2522 2522;2523 2523 2522 2522 2522 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521;%size(a)a=a1(:);x=1:65;y=a;c0=1500,0.6,0.01;fun=inline(c(1)./(1+c(2)*exp(-c(3)*x),c,x);b,r,j=nlinfit(x,y,fun,c0);yp,ci=nlpredci(fun,x,b,r,j);nlintool(x,y,fun,c0);bR1=sum(r.2)/64plot(x,a,b,x,yp,r);0 10 20 30 40 50 60 7005
6、00100015002000250030003即 0.25186xye（2）Gemperty 模型a1=339 482 588 693 774 877 988 1114 1199 1347 1440 1552 1636;1741 1803 1897 1960 2049 2136 2177 2227 2265 2304 2347 2370 2388;2405 2420 2434 2437 2444 2444 2456 2465 2490 2499 2504 2512 2514;2517 2520 2521 2522 2522 2522 2522 2522 2522 2522 2522 2522
7、2522;2523 2523 2522 2522 2522 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521 2521;a=a1(:);t=1:65;y1=a;c0=1500,2.5,0.01;fun=inline(c(1)*exp(-c(2)*exp(-c(3)*t),c,t);b1,r1,j1=nlinfit(x,y1,fun,c0);yp,ci=nlpredci(fun,x,b1,r1,j1);nlintool(t,y1,fun,c0);b1plot(t,r1,-);R1=sum(r1.2)/64plot(t,a,b,t,yp,ro);0 10 20 30 40 50
8、 60 70050010001500200025003000即0.1539.xey从拟合效果来看，两种函数选择的结果都比较好，定义选择曲线的判别标准：计算均方误差 MSE, 如果 MSE(model1) MSE(model2), 则选择模型 1. 由于模型一的均方误差 363.59模型 2 的均方误差 527.81，所以选择模型 1设 为时刻 t 时刻病人的变化率，则在 时间间隔患病人数为()ft 12,t212()()tfdFt4其中， 为 的原函数，用拟合的函数作为原函数 ，求导后得到()Ftft ()Ft；0.27518()teft0.20.2 .3436(8)ttteftMatlab
9、求导数的程序：%daoshu.my1=sym(2518.5/(1+5.6*exp(-0.2*t);y2=diff(y1)y3=diff(y2);y4=simplify(y3);pretty(y4)定量分析（1） 由 ，可知在初始时刻发病速度为 65 人/天，而(0)64.725f， 表明：若推迟 5 天采取紧急措施518()29.130f相当于初始发病速度为 111 人/天，若提前 5 天采取紧急措施相当于初始发病速度为 35 人/天。（2） 由 ， ，即接近 9 天的时候，患病人数已达到总患病()0ft.6t人数的一半。（3）附：求解非线性方程或者方程组的命令solve(6318.41280/(1+5.6*exp(-.2*t)3*exp(-.2*t)2-564.1440/(1+5.6*exp(-.2*t)2*exp(-.2*t)（4） 比较结果，0 10 20 30 40 50 60 700500100015002000250030003500400045005程序%bijiao.mA=1.7*yp;B=0.448*yp;plot(x,a,-,x,A,o,x,B,x);进一步的思考：利用回归分析的方法对累计治愈病人和现有疑似病人进行研究，推导出治愈病人的速度，以及疑似病人和确诊病人之间的关系。
