1、第 1 页（共 13 页）2016 年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1 （2016北京）已知集合 A=x|2x4，B=x|x3 或 x5，则 AB=（ ）Ax|2x5 Bx|x 4 或 x5 Cx|2x3 Dx|x2 或 x5【考点】交集及其运算【专题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】由已知条件利用交集的定义能求出 AB【解答】解：集合 A=x|2 x4 ，B=x|x3 或 x5，AB=x|2x 3 故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用2 （2016北京）复数 =（ ）Ai B1+i C i D1i
2、【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；数系的扩充和复数【分析】将分子分线同乘 2+i，整理可得答案【解答】解： = = =i，故选：A【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题3 （2016北京）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ）A8 B9 C27 D36第 2 页（共 13 页）【考点】程序框图【专题】计算题；操作型；算法和程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 k=0 时，满足进行循环的条件，故 S=0， k=1，当 k=
3、1 时，满足进行循环的条件，故 S=1，k=2，当 k=2 时，满足进行循环的条件，故 S=9，k=3，当 k=3 时，不满足进行循环的条件，故输出的 S 值为 9，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答4 （2016北京）下列函数中，在区间（ 1，1）上为减函数的是（ ）Ay= By=cosx Cy=ln （x+1 ） Dy=2 x【考点】函数单调性的判断与证明【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（1，1）上的单调性，从而找出正确选项【解
4、答】解：Ax 增大时， x 减小，1x 减小， 增大；函数 在（ 1，1）上为增函数，即该选项错误；By=cosx 在（ 1，1）上没有单调性， 该选项错误；Cx 增大时，x+1 增大，ln（ x+1）增大，y=ln （x+1 ）在（1，1）上为增函数，即该选项错误；D. ；根据指数函数单调性知，该函数在（1，1）上为减函数，该选项正确故选 D【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算5 （2016北京）圆（ x+1） 2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为（ ）A1 B2 C D2【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式
5、【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】先求出圆（x+1） 2+y2=2 的圆心，再利用点到到直线 y=x+3 的距离公式求解第 3 页（共 13 页）【解答】解：圆（x+1 ） 2+y2=2 的圆心为（ 1，0） ，圆（ x+1） 2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为：d= = 故选：C【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用6 （2016北京）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）A B C D【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】从甲、乙等 5 名学
6、生中随机选出 2 人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率【解答】解：从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，基本事件总数 n= =10，甲被选中包含的基本事件的个数 m= =4，甲被选中的概率 p= = = 故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用7 （2016北京）已知 A（2，5） ，B（4，1） 若点 P（x，y）在线段 AB 上，则 2xy 的最大值为（ ）A1 B3 C7 D8【考点】简单线性规划【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式【分析】平行直线 z=2xy，判
7、断取得最值的位置，求解即可【解答】解：如图 A（2，5） ，B（4，1） 若点 P（x，y）在线段 AB 上，令 z=2xy，则平行 y=2xz 当直线经过 B 时截距最小，Z 取得最大值，可得 2xy 的最大值为： 241=7故选：C第 4 页（共 13 页）【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键8 （2016北京）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远（单位：米）1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.
8、76 1.74 1.72 1.68 1.6030 秒跳绳（单位：次）63 a 75 60 63 72 70 a1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则（ ）A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明【分析】根据已知中这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，逐一分析四个答案的正误，可得结论【解
9、答】解：这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，故编号为 1，2，3，4，5，6，7，8 的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则 3，6，7 号同学必进入 30 秒跳绳决赛，剩下 1，2，4，5，8 号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a1 有且只有 3 人进入 30 秒跳绳决赛，故成绩为 63 的同学必进入 30 秒跳绳决赛，故选：B【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键二填空题（共 6 小题）9 （2016北京）已知向量 =（1， ） ， =（ ，1） ，则 与 夹角的大小为
10、第 5 页（共 13 页）【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题；定义法；平面向量及应用【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案【解答】解：向量 =（1， ） ， =（ ，1） ， 与 夹角 满足：cos= = = ，又 0，= ，故答案为： 【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键10 （2016北京）函数 f（x）= （x2）的最大值为 2 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】分离常数便可得到 ，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在2，+）上为减函数，从而 x=
11、2 时 f（x）取最大值，并可求出该最大值【解答】解： ；f（ x）在2，+）上单调递减；x=2 时，f （x）取最大值 2故答案为：2【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法11 （2016北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 【考点】由三视图求面积、体积第 6 页（共 13 页）【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积 S= （1+2）1=
12、，棱柱的高为 1，故棱柱的体积 V= ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键12 （2016北京）已知双曲线 =1（a 0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（ ，0） ，则 a= 1 ，b= 2 【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（ ，0） ，列出方程组，由此能出a，b【解答】解：双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（ ，0） ， ，解得 a=1，b=2故答案为：1，2【点评】
13、本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用13 （2016北京）在 ABC 中， A= ，a= c，则 = 1 【考点】正弦定理的应用【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形【分析】利用正弦定理求出 C 的大小，然后求出 B，然后判断三角形的形状，求解比值即可【解答】解：在ABC 中，A= ，a= c，第 7 页（共 13 页）由正弦定理可得： ，= ，sinC= ，C= ，则 B= = 三角形是等腰三角形，B=C，则 b=c，则 =1故答案为：1【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力14 （2016北京）某网店统计了连续三天售出
14、商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种；这三天售出的商品最少有 29 种【考点】容斥原理；集合的包含关系判断及应用【专题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】由题意画出图形得答案； 求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数【解答】解：设第一天售出商品的种类集为 A，第二天售出商品的种类集为 B，第三天售出商品的种类集为 C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有 16 种；由知，前两天售出的商品种类为 1
15、9+133=29 种，当第三天售出的 18 种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为 29 种故答案为：16；29【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题三解答题（共 6 小题）15 （2016北京）已知 an是等差数列，b n是等比数列，且b2=3，b 3=9，a 1=b1，a 14=b4（1）求a n的通项公式；（2）设 cn=an+bn，求数列c n的前 n 项和【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】 （1）设a n是公差为 d 的等差数列，b n是公比为 q
16、 的等比数列，运用通项公式可得 q=3，d=2，进而得到所求通项公式；第 8 页（共 13 页）（2）求得 cn=an+bn=2n1+3n1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：（1）设a n是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列，由 b2=3，b 3=9，可得 q= =3，bn=b2qn2=33n2=3n1；即有 a1=b1=1，a 14=b4=27，则 d= =2，则 an=a1+（n 1）d=1+2（n1）=2n1；（2）c n=an+bn=2n1+3n1，则数列c n的前 n 项和为（1+3+ +（2n1） ）+
17、 （1+3+9+3 n1）= n2n+=n2+ 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题16 （2016北京）已知函数 f（x）=2sinxcosx+cos2 x（0）的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求 f（x）的单调递增区间【考点】复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质【分析】 （1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得 的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x 的取值范围得 f（x）的单调递增区间【解答】解：（1
18、）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x= = 由 T= ，得 =1；（2）由（1）得，f（x）= 再由 ，得 第 9 页（共 13 页）f（ x）的单调递增区间为 （kZ） 【点评】本题考查 y=Asin（x+）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题17 （2016北京）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居
19、民在该月的用水价格为 4 元/ 立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费【考点】频率分布直方图；随机抽样和样本估计总体的实际应用【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】 （1）由频率分布直方图得：用水量在0.5，1）的频率为 0.1，用水量在1 ，1.5）的频率为 0.15，用水量在1.5，2）的频率为 0.2，用水量在2 ，2.5）的频率为 0.25，用水量在2.5，3）的频率为 0.15，用水量在 3，3.5）的频率为 0.05，用水量在3.5，4）的频率为 0.05，用水量在4，4.5）的频率为
20、0.05，由此能求出为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立方米，w 至少定为 3 立方米（2）当 w=3 时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在0.5，1）的频率为 0.1，用水量在1，1.5）的频率为 0.15，用水量在1.5，2）的频率为 0.2，用水量在2，2.5）的频率为 0.25，用水量在2.5，3）的频率为 0.15，用水量在3，3.5）的频率为 0.05，用水量在3.5，4）的频率为 0.05，用水量在4，4.5）的频率为 0.05，用水量小于等于 3 立方米的频率为 85%，为使 80%以上居民在该用的用水价为 4
21、 元/ 立方米，w 至少定为 3 立方米（2）当 w=3 时，该市居民的人均水费为：（0.11+0.151.5+0.2 2+0.252.5+0.153）4+0.0534+0.050.510+0.0534+0.05110+0.0534+0.051.510=10.5，第 10 页（共 13 页）当 w=3 时，估计该市居民该月的人均水费为 10.5 元【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当 w=3 时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用18 （2016北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC 平面 ABCD，ABDC，DCAC（1）
22、求证：DC平面 PAC；（2）求证：平面 PAB平面 PAC；（3）设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理证明 DC平面 PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明 AB平面 PAC，即可证明平面 PAB平面 PAC；（3）在棱 PB 上存在中点 F，使得 PA平面 CEF利用线面平行的判定定理证明【解答】 （1）证明：PC平面 ABCD，DC平面 ABCD，PCDC，DCAC，PCAC=C，DC平面
23、PAC；（2）证明：AB DC，DC AC，ABAC，PC平面 ABCD，AB平面 ABCD，PCAB，PCAC=C，AB平面 PAC，AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAC；（3）解：在棱 PB 上存在中点 F，使得 PA平面 CEF点 E 为 AB 的中点，EFPA，PA平面 CEF，EF平面 CEF，PA平面 CEF【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19 （2016北京）已知椭圆 C： + =1 过点 A（2，0） ，B（0，1）两点第 11 页（共 13 页）（1）求椭圆 C 的方程及离心率；（2）设 P 为第三象
24、限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （1）由题意可得 a=2，b=1，则 ，则椭圆 C 的方程可求，离心率为 e= ；（2）设 P（x 0，y 0） ，求出 PA、PB 所在直线方程，得到 M，N 的坐标，求得|AN|，|BM|由 ，结合 P 在椭圆上求得四边形 ABNM 的面积为定值2【解答】 （1）解：椭圆 C： + =1 过点 A（2，0） ，B（0，1）两点，a=2， b=1，则
25、，椭圆 C 的方程为 ，离心率为 e= ；（2）证明：如图，设 P（x 0，y 0） ，则 ，PA 所在直线方程为 y= ，取 x=0，得 ；，PB 所在直线方程为 ，取 y=0，得 |AN|= ，|BM|=1 =第 12 页（共 13 页）= = = 四边形 ABNM 的面积为定值 2【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题20 （2016北京）设函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c（1）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）设 a=b=4，若函数 f（x）有三个不同零点，求 c 的取值范围；（3）求证：a 23b
26、0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】 （1）求出 f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由 f（x）=0，可得 c=x3+4x2+4x，由 g（x）=x 3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）=0，可得单调区间有 3 个，求出导数，由导数的图象与 x 轴有两个不同的交点，运用判别式大于 0，可得 a23b0；再由a=b=4， c
27、=0，可得若 a23b 0，不能推出 f（x）有 3 个零点【解答】解：（1）函数 f（x ）=x 3+ax2+bx+c 的导数为 f（x）=3x 2+2ax+b，可得 y=f（x）在点（0，f（0 ） ）处的切线斜率为 k=f（0）=b，切点为（0，c） ，可得切线的方程为 y=bx+c；（2）设 a=b=4，即有 f（x）=x 3+4x2+4x+c，由 f（x）=0 ，可得 c=x3+4x2+4x，第 13 页（共 13 页）由 g（x）=x 3+4x2+4x 的导数 g（x）=3x 2+8x+4=（x+2） （ 3x+2） ，当 x 或 x 2 时，g（x）0，g（x）递增；当2 x 时
28、， g（x）0，g（x）递减即有 g（x）在 x=2 处取得极大值，且为 0；g（x）在 x= 处取得极小值，且为 由函数 f（x）有三个不同零点，可得 c 0，解得 0c ，则 c 的取值范围是（0， ） ；（3）证明：若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）=0，可得 f（x）的图象与 x 轴有三个不同的交点即有 f（x）有 3 个单调区间，即为导数 f（x ）=3x 2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点，可得0，即 4a212b0，即为 a23b0；若 a23b0，即有导数 f（x） =3x2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点，当 c=0，a=b=4 时，满足 a23b0，即有 f（x）=x（x+2） 2，图象与 x 轴交于（0，0） ， （ 2，0） ，则 f（x）的零点为 2 个故 a23b0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件【点评】不同考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的圆能力，属于中档题
