1、2013 中考数学试题分类汇编-一次函数1、（2013 陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点 A（2,m），B（n，），那么一定有（ ）Am0，n0 Bm0 ，n0 Dm0，t0，b=1+t当 t=3 时，b=4 4yx（2）当直线 过 M（3,2）时yxb3解得 b=55=1+tt=4当直线 过 N（4,4）时yxb4解得 b=88=1+tt=74t7(3)t=1 时，落在 y 轴上；t=2 时，落在 x 轴上；39、 （2013牡丹江压轴题）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线AC=12，tan ACO= ，（1）求 B、C 两点的坐标；（2）把矩形沿直线 DE 对
2、折使点 C 落在点 A 处，DE 与 AC 相交于点 F，求直线 DE 的解析式；（3）若点 M 在直线 DE 上，平面内是否存在点 N，使以 O、F、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 一次函数综合题3718684分析： （1）利用三角函数求得 OA 以及 OC 的长度，则 C、B 的坐标即可得到；（2）直线 DE 是 AC 的中垂线，利用待定系数法以及互相垂直的两直线的关系即可求得 DE 的解析式；（3）分当 FM 是菱形的边和当 OF 是对角线两种情况进行讨论利用三角函数即可求得 N 的坐标解答： 解：（1）在直角OAC 中，tan
3、ACO= ，设 OA= x，则 OC=3x，根据勾股定理得：（3x） 2+（ x） 2=AC2，即 9x2+3x2=144，解得：x=2 故 C 的坐标是：（6 ，0） ， B 的坐标是（6 ，6） ；（2）直线 AC 的斜率是： = ，则直线 DE 的斜率是： F 是 AC 的中点，则 F 的坐标是（ 3 ，3） ，设直线 DE 的解析式是 y= x+b，则 9+b=3，解得：b=6，则直线 DE 的解析式是：y= x6；（3）OF= AC=6，直线 DE 的斜率是： DE 与 x 轴夹角是 60，当 FM 是菱形的边时（如图 1） ，ONFM ，则NOC=60 或 120当NOC=60 时
4、，过 N 作 NGy 轴，则 NG=ONsin30=6 =3，OG=ONcos30=6 =3 ，则 N 的坐标是（3，3 ） ；当NOC=120时，与当NOC=60时关于原点对称，则坐标是（3， 3 ） ；当 OF 是对角线时（如图 2） ，MN 关于 OF 对称F 的坐标是（3 ，3） ，FOD=NOF=30，在直角ONH 中，OH= OF=3，ON= = =2 作 NLy 轴于点 L在直角ONL 中， NOL=30，则 NL= ON= ，OL=ONcos30=2 =3故 N 的坐标是（ ，3） 则 N 的坐标是：（3，3 ）或（ 3，3 ）或（ ，3） 40、 （2013绥化 压轴题）如图
5、，直线 MN 与 x 轴，y 轴分别相交于 A，C 两点，分别过A，C 两点作 x 轴，y 轴的垂线相交于 B 点，且 OA，OC（OA OC）的长分别是一元二次方程 x214x+48=0 的两个实数根（1）求 C 点坐标；（2）求直线 MN 的解析式；（3）在直线 MN 上存在点 P，使以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 P 点的坐标考点： 一次函数综合题分析： （1）通过解方程 x214x+48=0 可以求得 OC=6，OA=8 则 C（0，6） ；（2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b（k0） 把点 A、C 的坐标分别代入解析式，列出关于系数 k、b 的方
6、程组，通过解方程组即可求得它们的值；（3）需要分类讨论：PB 为腰，PB 为底两种情况下的点 P 的坐标根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答解答： 解：（1）解方程 x214x+48=0 得x1=6，x 2=8OA，OC（OAOC ）的长分别是一元二次方程 x214x+48=0 的两个实数根，OC=6，OA=8C（0，6） ；（2）设直线 MN 的解析式是 y=kx+b（k0） 由（1）知，OA=8，则 A（8，0） 点 A、 C 都在直线 MN 上， ，解得， ，直线 MN 的解析式为 y= x+6；（3）A（8， 0） ，C （0，6） ，根据题意知
7、 B（8，6） 点 P 在直线 MNy= x+6 上，设 P（a， a+6）当以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：当 PC=PB 时，点 P 是线段 BC 的中垂线与直线 MN 的交点，则 P1（4，3） ；当 PC=BC 时，a 2+（ a+66） 2=64，解得，a= ，则 P2（ ， ） ，P 3（ ， ） ；当 PB=BC 时， （a 8） 2+（ a+66） 2=64，解得，a= ，则 a+6= ， P4（ ， ） 综上所述，符合条件的点 P 有：P 1（4，3） ，P 2（ ， ）P 3（ ， ） ，P4（ ， ） 点评： 本题考查了一次函数综合题其中
8、涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合 ”的数学思想41、 （2013常州 压轴题）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x+2 的图象与 x 轴交于A，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（ a，0） ， （其中 a0） ，直线 l 过动点 M（0，m ）（0m2） ，且与 x 轴平行，并与直线 AC、BC 分别相交于点 D、E，P 点在 y 轴上（P点异于 C 点）满足 PE=CE，直线 PD 与 x 轴交于点 Q，连接 PA（1）写出 A、C 两点的坐
9、标；（2）当 0m1 时，若PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形（注：若 HNK 满足HN=2HK，则称HNK 为以 H 为顶点的倍边三角形） ，求出 m 的值；（3）当 1m2 时，是否存在实数 m，使 CDAQ=PQDE？若能，求出 m 的值（用含 a的代数式表示） ；若不能，请说明理由考点： 一次函数综合题 3718684分析： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；（2）如答图 1 所示，解题关键是求出点 P、点 Q 的坐标，然后利用 PA=2PQ，列方程求解；（3）如答图 2 所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为： ，据此列方程求出 m 的值解答： 解：（1）在直线解析式
10、y=2x+2 中，令 y=0，得 x=1；x=0，得 y=2，A（ 1， 0） ，C（0，2） ；（2）当 0m1 时，依题意画出图形，如答图 1 所示PE=CE，直线 l 是线段 PC 的垂直平分线，MC=MP，又 C（0，2） ，M（0，m） ，P（ 0，2m 2） ；直线 l 与 y=2x+2 交于点 D，令 y=m，则 x= ，D（ ，m） ，设直线 DP 的解析式为 y=kx+b，则有，解得：k= 2，b=2m 2，直线 DP 的解析式为：y=2x+2m2令 y=0，得 x=m1， Q（m 1，0） 已知PAQ 是以 P 为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ ， ，即 ，整理得
11、：（m1） 2= ，解得： m= （ 1，不合题意，舍去）或 m= ，m= （3）当 1m2 时，假设存在实数 m，使 CDAQ=PQDE依题意画出图形，如答图 2 所示由（2）可知，OQ=m 1，OP=2m 2，由勾股定理得：PQ= （m 1） ；A（ 1， 0） ，Q（m1，0） ，B（a ，0） ， AQ=m，AB=a+1；OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA= 直线 lx 轴， CDECAB， ；又 CDAQ=PQDE， ， ，即 ，解得：m= 1 m2，当 0a 1 时，m 2，m 不存在；当 a1 时， m= 当 1 m2 时，若 a1，则存在实数 m= ，使 CDAQ=PQDE
12、；若 0a1，则 m 不存在点评： 本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点题目综合性较强，有一定的难度第（3）问中，注意比例式的转化 ，这样可以简化计算42、 （2013滨州 压轴题）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线 l1 的函数表达式为 y=x，请直接写出过原点且与 l1 垂直的直线 l2 的函数表达式；（2）如图，过原点的直线 l3 向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30求直线 l3 的函数表达式；把直线 l3 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90得到的直线 l4，求直线 l4 的函数表达式（3）分别观察（1）
13、 （2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线 y= 垂直的直线 l5 的函数表达式考点： 一次函数综合题分析： （1）根据题意可直接得出 l2 的函数表达式；（2）先设直线 l3 的函数表达式为 y=k1x（k 10） ，根据过原点的直线 l3 向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30，直线过一、三象限，求出 k1=tan30，从而求出直线 l3 的函数表达式；根据 l3 与 l4 的夹角是为 90，求出 l4 与 x 轴的夹角是为 60，再设 l4 的解析式为y=k2x（k 20） ，根据直线 l4
14、过二、四象限，求出 k2=tan60，从而求出直线 l4 的函数表达式；（3）通过观察（1） （2）中的两个函数表达式可得出它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，再根据这一关系即可求出与直线 y= 垂直的直线 l5 的函数表达式解答： 解：（1）根据题意得：y= x；（2）设直线 l3 的函数表达式为 y=k1x（k 10） ，过原点的直线 l3 向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30，直线过一、三象限，k1=tan30= ，直线 l3 的函数表达式为 y= x；l3 与 l4 的夹角是为 90，l4 与 x 轴的夹角是为 60，设 l4 的解析式为 y=k2x（k 20） ，直
15、线 l4 过二、四象限，k2=tan60= ，直线 l4 的函数表达式为 y= x；（3）通过观察（1） （2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，过原点且与直线 y= 垂直的直线 l5 的函数表达式为 y=5x点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是锐角三角函数、一次函数的解析式的求法，关键是根据锐角三角函数求出 k 的值，做综合性的题要与几何图形相结合，更直观一些43、 （2013攀枝花 压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是梯形，ABCD，点 B（10，0） ，C（7，4） 直线 l 经过 A，D 两点，且 s
16、inDAB= 动点 P 在线段 AB上从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度沿 BCD 的方向向点 D 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 ADC 相交于点 M，当 P，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点 P，Q 运动的时间为 t 秒（t0） ，MPQ 的面积为 S（1）点 A 的坐标为 （4，0） ，直线 l 的解析式为 y=x+4 ；（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围；（3）试求（2）中当 t 为何值时， S 的值最大，并求出 S 的最大值；（4）随着 P，Q 两点的运动，当点 M 在线段 DC 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 相交于点 N，试探究：当 t 为何值时，QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值考点： 一次函数综合题分析： （1）利用梯形性质确定点 D 的坐标，利用 sinDAB= 特殊三角函数值，得到AOD 为等腰直角三角形，从而得到点 A 的坐标；由点 A、点 D 的坐标，利用待定系数法求出直线 l 的解析式；（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：当 0t1 时，如答图 1 所示；当 1t2 时，如答图 2 所示；
