1、 世纪金榜 圆您梦想 第 1 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司指数函数和对数函数高考要求：1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握指数函数的概念、图像和性质3.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；4.掌握对数函数的概念、图像和性质能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题知识点归纳：1 根式的运算性质：当 n 为任意正整数时，( na) =a当 n 为奇数时， n=a；当 n 为偶数时， na=|a|=)0(a根式的基本性质： mnpa， （A.0）2 分数指数幂的运算性质： )()(,Qnbamnnm3 10yx且 的图象和性质a
2、1 0 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0) 8.两个常用的推论: 1llba， 1loglogacba namog（ a, b 0 且均不为 1）9.对数函数的性质：a1 00.（转化法）(3) af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmB.(取对数法)(4) logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法 )题型讲解：例 1 计算：（1）1231624(143)7(8)；（2） 2lgl50lg；（3） 3948(o)(o3)解：（1）原式1233(1)261232 31（2）原式 (lg)l5)gl(lg5)l2g51()（3
3、）原式 l2l3l2l3l() )()g94g83lg2g世纪金榜 圆您梦想 第 4 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司3lg2564例 2 已知123x，求23x的值解：12，12()9， 129x， 17x， ()49x， 47x，又31122()()3()18， 32738x例 3 已知 5abc，且 12ab，求 c的值 解：由 得： log3c，即 log31c， 1log3ca；同理可得 1b，由 得 52c， log52c， 25c， 0c，例 4 设 1x， y，且 log2l30xy，求 24Txy的最小值解：令 lxt， 1， ， t由 2og30y得 t
4、， 20t， (1)t， t， 2t，即 1logxy，12x， 224()4Txyx， 1，当 时， minT例 5 设 a、 b、 c为正数，且满足 22abc （1）求证： 22log(1)log(1)c（2）若 4a， 83c，求 a、 b、 c的值世纪金榜 圆您梦想 第 5 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司证明：（1）左边 222logloglog()abcabcabc2222()logl ll1abc ；解：（2）由 4l(1)a得 14bca， 30abc由 82log()3得2384bc 由 得 ba由得 c，代入 22c得 (3)0ab， 0， 430由、
5、解得 6a， 8b，从而 1c 例 6 （1）若 2，则 logba， lb， loga从小到大依次为 ；（2）若 35xyz，且 x， y， z都是正数，则 2x， 3y， 5z从小到大依次为 ；（3）设 0x，且 1xab（ 0a， b） ，则 a与 b的大小关系是（ ）A. 1ba B. C. D.1解：（1）由 2得 a，故 logbalbloga（2）令 35xyzt，则 1， l2tx， l3ty， l5tz， 2lgl(g98)0l3tt， xy；同理可得： 50xz， 5xz， 25yz（3）取 1，知选 B例 8 已知函数 2()1xfa()，求证：（1）函数 在 ,上为增函
6、数；世纪金榜 圆您梦想 第 6 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司（2）方程 ()0fx没有负数根证明：（1）设 12，则 1212() 1xxfxfa12 1212 213()x xxaa， 12， 10， 2， 20， 123()x； ，且 1a， 12xa， 120xa， 12()0fxf，即 2()ff，函数 在 (,上为增函数；另法： a， 1)x 223()ln0(1)xfxa函数 f在 (1,)上为增函数；（2）假设 0x是方程 0fx的负数根，且 01x，则 021xa，即 00003(1)3xa， 当 01时, 0x, 0x, 0312x,而由 a知 01x
7、 式不成立；当 0时， 0， 031x， 031x，而 0xa式不成立世纪金榜 圆您梦想 第 7 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司综上所述，方程 ()0fx没有负数根例 9 已知函数 log(1)xa（ 0且 1a）求证：（1）函数 )f的图象在 y轴的一侧；（2）函数 (x图象上任意两点连线的斜率都大于 0证明：（1）由 10a得： 1xa，当 时， x，即函数 ()f的定义域为 (,)，此时函数 ()fx的图象在 y轴的右侧；当 0时， ，即函数 x的定义域为 0，此时函数 的图象在 轴的左侧函数 ()fx的图象在 y轴的一侧；（2）设 1,A、 2(,)Bx是函数 (
8、)fx图象上任意两点，且 12x，则直线 的斜率 12yk， 11 2 212log()log()logxxxaaay ，当 时，由（1）知 120， 12x， 120xxa，120xa， 12y，又 12， k；当 时，由（1）知 120x， 12xa， 120xxa，12x， 12y，又 120x， k函数 ()f图象上任意两点连线的斜率都大于学生练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 合 ,169,4P，若 Pa， b，则 Pba，则运算 可能是（ ） (A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法世纪金榜 圆您梦想 第 8 页（共 12 页）_
9、 _ _山东世纪金榜书业有限公司已知集合 1,23A， 1,0B，则满足条件 (3)1(2)ff的映射 :fAB的个数是 ( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了下面大致能上反映出小鹏这一天（0 时24 时）体温的变化情况的图是 ( )(A) (B) (C) (D) 定义两种运算： ab2， 2()ab，则函数 2()xf为（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数偶函数 ()log|afxb在 (,0)上单调递增
10、，则 (1)fa与 (2)fb的大小关系是 ( )（A） 1(2)f（B） f（C） ()f （D） ()()f6 如图，指出函数y=a x;y=b x;y=c x;y=d x的图象，则 a,b,c,d 的大小关系是A.alogy30,则下列不等式恒成立的是 ( )A. 3/131y 8 已知函数 f(x)=lg(axbx)(a,b 为常数，a1b0),若 x (1,+)时，f(x)0 恒成立，则( )世纪金榜 圆您梦想 第 9 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司A.ab1 B.ab1 C.ab1 D.a=b+19 如图是对数函数 y=logax 的图象，已知 a 取值 3,
11、4/3,3/5,1/10,则相应于, , , 的 a值依次是 10 已知 y=loga(2ax)在0,1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是 11 已知函数 ,),(DxfyRy，且正数 C 为常数对于任意的 Dx1，存在一个 Dx2，使 Cfx21，则称函数 )(xf在 D 上的均值为 C. 试依据上述定义，写出一个均值为的函数的例子：_12 设函数 f(x)=lg 34xxa,其中 aR,如果当 x(,1)时，f(x)有意义，求 a 的取值范围13 a 为何值时，关于 x 的方程 2lgxlg(x1)=lga 无解？有一解？有两解？14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶 3 元购进一种饮
12、料根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶 4 元，每月可销售 400 瓶；若每瓶售价每降低 0.05 元，则可多销售 40 瓶请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15 已知定义域为0，1的函数 f(x)同时满足：（1）对于任意 x0，1，总有 f(x)0；（2）f(1)=1（3）若 01x， 2， 121x，则有 )()(2121xffxf（）试求 f(0)的值；（）试求函数 f(x)的最大值；（）试证明：满足上述条件的函数 f(x)对一切实数 x，都有 f(x)2x16 设 a、 b为常数， FbaxfM;sinco)(
13、|：把平面上任意一点世纪金榜 圆您梦想 第 10 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司（ a， b）映射为函数 .sincoxba（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当 Mxf)(0时， Mtxff)()(01，这里 t 为常数；（3）对于属于 M 的一个固定值 ，得 ),(01Rxf，在映射 F 的作用下， M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？参考答案：.D.D.C.A.D.6.B 7.D 8.A9. 3,4/3,3/5,1/10, 10. (1,2)11. )(xf， xef9)(， xafsin9)(（ 10）12. a3/413. 04 时，
14、方程有两解14.450. 15.（I）令 021x，依条件（3）可得 f(0+0) f(0)+f(0)，即 f(0) 0又由条件（1）得 f(0) 0，则 f(0)=0（）任取 1021x，可知 1,0(2x,则 )()()( 12 fffxf ,即 0121xf，故 (12x于是当 0x1 时，有 f(x)f(1)=1因此，当 x=1 时，f(x)有最大值为 1，（）证明：研究当 1,2(x时，f(x) 12x当 0时，首先，f(2x) f(x)+f(x)=2f(x)， )2(1)(xff世纪金榜 圆您梦想 第 11 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司显然，当 21,(x时
15、， 21)()( ffff成立假设当 21,(kx时，有 kxf成立，其中 k1，2，那么当 ,(1k时， 111 2)2()2()2)( kkkk fffxf可知对于 ,(n，总有 nxf，其中 n=1，2，而对于任意 21,0x，存在正整数 n，使得 1,(n，此时 fn)(,当 x=0 时，f(0)=02x综上可知，满足条件的函数 f(x)，对 x0，1，总有 f(x) 2x 成立16. (1)假设有两个不同的点（ a， b） ， （ c， d）对应同一函数，即xbabFsinco),(与 xdcdFsino),(相同，即 xxsis对一切实数 x 均成立特别令 x=0，得 a=c；令
16、2，得 b=d 这与（ a，b） ， （c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立故不存在两个不同点对应同函数（2）当 Mxf)(0时，可得常数 a0， b0，使 xbaxfsinco)(00)(1tfsin()cos(0ttxaxba i)incos000 由于 t,为常数，设 nmtatbmtt ,sico,sc00则是常数从而 Mxmxf sic)(1（3）设 f0，由此得 xntfsic)(0世纪金榜 圆您梦想 第 12 页（共 12 页）_ _ _山东世纪金榜书业有限公司（ tbtamsinco00其 中 ， tatbsinco00）在映射 F 下， )(xf的原象是（m，n） ，则 M1的原象是 ,sic,sic|),( 0000 Rttttn 消去 t 得 22ba，即在映射 F 下，M 1的原象 |),(202banm是以原点为圆心， 0为半径的圆教学资源网教学资源网
