1、引例,第 五 节 可逆矩阵,逆矩阵的定义,矩阵可逆的条件,可逆矩阵的性质,一、引例,二、逆矩阵的定义,1. 可逆的定义,定义 1. 10 对于数域 F 上的矩阵 A ，如果存,在数域 F 上的矩阵 B，使得,AB = BA = E (1.6),则称矩阵 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为,A 的逆矩阵，记作,A-1 = B .,2. 定义的几点说明,由定义公式 AB = BA = E 可以得到如下结论：,1) A 与 B 可交换，因此可逆矩阵一定是方阵.,换句话说，如果一个矩阵不是方阵，则它一定不可,逆.,并且与 A 可交换的矩阵 B 是与 A 同阶的方阵.,2) 如果矩阵 A 可逆
2、，则 A 的逆矩阵一定是唯,一的.,3) 当 A 可逆时，B = A-1 也可逆，并且,B -1 = ( A-1 ) -1 = A .,例 1 单位矩阵 E 可逆.,因为 EE = E，,即,E -1 = E .,例 2 设,验证 B 是 A 的逆阵 .,三、矩阵可逆的条件,现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆,的？,如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？,为此先引入非奇,异矩阵和伴随矩阵的概念.,1. 非奇异矩阵的定义,定义 1. 11 如果 n 阶矩阵 A 的行列式,det A 0，,则称 A 是非奇异矩阵(或非退化矩阵)，否则称,A 是奇异矩阵(或退化矩阵) .,2. 伴随矩阵的定义,
3、定义 1. 12 设 A = ( aij ) n n ，Aij 为 A 的元,aij 的代数余子式 ( i , j = 1 , 2 , , n )，则矩阵,称为 A 的伴随矩阵.,由,可以得到,即,AA* = ( det A ) E,类似可得,A*A = ( det A ) E,由此我们得到,3. 矩阵可逆的充要条件,定理 1. 5 矩阵 A = ( aij ) n n 可逆的充分必要,条件是 A 为非奇异矩阵.,并且当 A 可逆时，有,推论 设 A，B 均为 n 阶矩阵，并且满足,AB = E，,则 A，B 都可逆，且 A-1 = B，B -1 = A .,显然，利用这个推论来判断 B 是否
4、是 A 的逆,阵，比利用定义要简单一些.,不仅解决了如何判断一个方阵是,否是可逆的问题，同时还给出了一种求逆矩阵的方,法，我们称之为伴随矩阵法.,例 3 设,试判定当 a , b , c , d 满足什么条件时，A 可逆. 又当,A 可逆时，求 A-1 .,由这个例子可以看出，当 2 阶矩阵可逆时，利,用伴随矩阵法，很容易求出其逆阵.,对于2 阶矩阵,可用,的方法求其逆矩阵.,例 4 利用矩阵的求逆模型求下列矩阵的逆阵,例 5 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵,四、可逆矩阵的性质,可逆矩阵有以下性质：,性质 1 如果 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则,AB 也可逆，并且,( AB ) -1 = B
5、 -1A -1 .,性质 1 可以推广到多个可逆矩阵相乘的情况：,即如果 n 阶矩阵 A1 , A2 , , At 都可逆，则,A1 A2 At 也可逆, 且(A1 A2 At)-1 =At-1 A2-1A1-1 .,性质 2 如果矩阵 A 可逆，则其转置矩阵 AT,也可逆，并且,( AT ) -1 = ( A -1 ) T.,性质 3 如果矩阵 A 可逆，则对于非零常数 k,k A 也可逆，并且,性质 4 如果矩阵 A 可逆，则,例 6 设有分块矩阵,其中 A11 , A22 分别为 s 阶和 r 阶可逆矩阵 ( 注意：本题中的 Aij 是子矩阵而不是代数余子式)，A12 为s r 矩阵，O 为 r s 零矩阵.,试证明 A 可逆，并且,特别地，如果 A12 = O，则,有,将这一结果推广到更一般的情况.,若准对角矩,阵,其中 Ai ( i = 1, 2, , t ) 均为可逆矩阵，则 A 可逆，,并且,
