1、线性代数 应用题 生产成本 线性代数，张文博，张丽静译，机械工业出版社 ， P33 某工厂生产三种产品，它的成本分为三类，第一类成本中，给出生产单个产品时估计需要的量，同时给出每季度生产每种产品数量的估计。这些数据如下表如所： 成本 产品 A B C 原料 0.1 0.3 0.15 工资 0.3 0.4 0.25 管理费和其它 0.1 0.2 0.15 产品 季度 春季 夏季 秋季 冬季 A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000 计算每一季度三类成本中的每一类成本的数量 季度 春季 夏季 秋季 冬季 原料
2、 工资 管理费和其它 = 0.1 0.3 0.150.3 0.4 0.250.1 0.2 0.15 = 4000 4500 4500 40002000 2600 2400 22005800 6200 6000 6000 第三个表格通过 来计算。 2 信息编码 线性代数，张文博，张丽静译，机械工业出版社 ， P92 一个通用的传递信息的方法是，将每一个字母与一个整数相对应，然后传输一串整数。例如，信息 SEND MONEY 可以编码为 5， 8， 10， 21， 7， 2， 10， 8， 3 其中 S 表示为 5， E 表示为 8，等等。但是，这种编码很容易破译，在一段较长的信息中，我们可以根据
3、数字出现的相对频率猜测每一数字表示的字母。例如，若 8 为编码信息中最常出现的数字，则它最有可能表示字母 E，即英文中最常出现的字母。 我们可以用矩阵乘法对信息进行进一步的 加密 。设 是所有元素均为整数的矩阵，且其行列式为 1，由于 1 = ，则 1的元素也是整数，我们可以用这个矩阵对信息进行 加密，加密 后的信息将很难破译。 下面介绍具体的加密方法。 令 = 1 2 12 5 32 3 2 需要编码的信息放置在三行矩阵 的各个列上。 = 5 21 108 7 810 2 3 乘积 = 1 2 12 5 32 3 25 21 108 7 810 2 3 = 31 37 2980 83 695
4、4 67 50 给出了用于传输的编码信息： 31， 80， 54， 37， 83， 67， 29， 69， 50 接收到信息的人可以通过乘以 1进行解码 1() = 因为 1 = 1 1 12 0 14 1 1 则 1 1 12 0 14 1 131 37 2980 83 6954 67 50 = 5 21 108 7 810 2 3 由于整数 在计算机是准确表示的，而小数在计算机中是近似表示的，所以保证 1的元素是整数非常 重要 ，否则 ，如果 1的元素是小数， 则解密后信息会因为误差 造成 与原 始 信息不同 ， 这样的加密算法就没有意义了。 为 了保证 1的元素是整数， 我们要求 | =
5、 1。 为构造编码矩阵 ，我们可以从单位矩阵 开始，多次采用如下运算： 将某一行 (列 ) ( 0)倍 加到另一行 (列 ) 3 交换两行 (列 ) 结果矩阵 的元素还是整数，且 | = | = 1 因此 1的元素也是整数。 如果 满足 | = 1条件 的矩阵 很 少，则这个加密的 算法就 没有实际意义，因为破解者可以逐个构造出这样的矩阵进行破解。 从上 面的构造过程看， 满足 | =1条件 的矩阵有很多 ， 所以这个 加密 算法具有实际意义。 参考书中提供的参考文献 1. Hansen, Robert, Two-Year College Mathematics Journal, 13(1), 1982.
