1、例说平面图形阴影部分面积的求法连州市慧光中学 欧阳礼摘 要 本文主要对平面图形中求阴影部分面积，作具体的方法介绍。关键词 作差法 等积法 重叠法 割补法 位移法 特值法 方程法九年制义务教育课本中“求阴影部分面积”的题目大量出现，并且在中考和数学竞赛中，也逐步增多出现。不规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的。此类题目能较好地考查学生的识图能力和数学综合知识。本文通过实例介绍求阴影部分面积的几种常用方法。（一）和差法。对于求图形面积问题，计算时往往将所求图形的面积转化为规则图形的面积和或差，这是求面积的常用方法【例 1】如图 1，正方形的内切圆的半径为 r
2、，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积是（ ） 。（A） ； （B） ； （C） （1）r 2； （D）(2) r 2. 解：一个弓形的面积等于正方形外接圆面积与正方形面积的差的四分之一，得故选（B） 。【例 2】如图 2，已知边长为 a 的正方形 ABCD 内接于O，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与O 的四条弧围成的四个新月形的面积。解：四个新月形的面积 S 等于正方形面积与四个半圆面积的和减去O 的面积：【例 3】如图 3，B 是 AC 上的一点，分别以 AB、BC、AC 为直径作半圆，从 B 作 BDAC，与半圆相交于 D。求证：图中阴影部分面积
3、等于以 BD 为直径的圆的面积。证：AC=ABBC, 因 BDAC ，ADC=90，故 BD2 =ABBC .22412rrS22214aaSBCAACS 4222以 BD 为直径的圆面积 DBS2r2图 1rO图 2 阴影部分面积等于以 BD 为直径的圆的面积。（二）等积法。一个图形的面积不易求或难以求出时，常借助于两个图形之间的面积相等来进行转化，改求与其面积相等的图形面积【例 4】如图 4，ABCD 为O 的内接梯形，ABCD，且 CD 为直径，如果O 的半径为 r，ACB =15，那么图中阴影部分的面积等于 。解：连结 OA、OB，ABCD， OAB 与CAB 等积,又AOB = 2A
4、CB = 30. .【例 5】如图 5，已知半圆的直径 AB = 40cm，点 C、D 是这个半圆的三等分点，求弦 AC、AD 和弧 围成的图形的阴影面积.解：连结 OC、OD .【例 6】已知，如图 6，O 的半径为 1，C 是O 上一点，以 C 为圆心，以 1 为半径作弧与O 相交于 A、B两点，则图中阴影部分的面积是 。解：连结 AB，则 S 阴影 =2S 弓形 ACB 。 可得OAB30，从而AOB120，21OCD21rSOAB 22306cmSSOCDCD AC= BD ADCDAB CDAB SACD S OCD图 5图 3图 6BAOC图 4A BCD O所以（三）重叠法。把所
5、求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。【例 7】如图 7，正方形 ABCD 的边长为 a，以每边为直径在正方形内作半圆，求中间所围成的阴影部分的面积。解：阴影部分的面积可看作是四个同样的半圆重叠面积减去正方形面积。说明：此题也可用“作差法”来解：阴影部分面积等于半圆 AOB 的面积减去直角三角形 AOB 的面积所得差的 4 倍。 【例 8】已知，如图 8，菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 a、b，分别以每边为直径向形内作半圆，求 4 条半圆弧围成的花瓣形面积（阴影部分的面积） 。解：设以 BC 为直径的半圆面积为 S 半圆 ，则
6、所以 【例 9】如图 9，正三角形的边长为 a，以各边为弦，向形内作三条 120的弧，求中间阴影部分的面积。解：阴影部分的面积可看作三个同样的弓形重叠面积减去三角形面积。（说明：一个弓形的面积是 .）23S22144 abaSSABCD O1 222343193aaS 261602211aaS43160122141aaS.82abA BCD图 7 图 8（四）割补法。将一个图形的一部分割下来，而移放到其他合适位置上，从而构成易求面积的图形，这种求面积的方法叫做割补法【例 10】如图 10，ABCD 是面积为 1 的正方形，PBC 为正三角形，则PBD 的面积为（ ） 。（A） ； （B） ；
7、（C） ； （D） ； （E） 。21343832451解 ： 连 结 AC 交 BD 于 O， 连 结 PO， 则 PBD 被 分 为 两 部 分 ： PBO 与POD，且 SPBO = SPOC = SPOD . 故应选（B） 。 【例 11】如图 11，O 的半径为 r， 是O 的圆周长的 1/4 ，在 上取与 A、C 等距的两点 B、D，且 。作 BEOC 于 E，DFOC 于 F，求曲边梯形 BEFD 的面积。015ADC解：由已知条件，易证得ODFBOE，于是可把梯形 GEFD 割下来补到OGB 上，即梯形 GEFD 的面积等于OGB 的面积。【例 12】如图 12，A、B、C 两
8、两不相交，且半径都是 0.5cm，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ） 。 4132123BCPB 2630rSSOBDBEFACAC;12cmA;82cB;62cmC.42cmD图 9BAC图 12OEABD FGC图 11AB CDP图 10O解：三圆是等圆，可把三个扇形割补到同一个圆中，所得扇形的圆心角是 180（即得半圆） 。故选（B） 。（五）位移法。把一个图形通过平移变换或旋转变换，使题目中不相关或关系不密切的几何元素相对集中，以便于研究它们之间的关系。这种变换是全等变换，图形的面积没有改变，而变换后往往容易找到面积的求法。【例 13】如图 13，两个半圆，大半圆的
9、弦 CD 平行于直径 AB，且与小半圆相切，已知 CD = 24，试求大半圆中挖去小半圆后剩下部分的面积。解：为了计算方便，可把小半圆移动，使它与大半圆同心（如图 14） ，它的阴影部分面积与原来的阴影部分面积相等。此时有 CM = 12，则【例 14】如图 15 左图，以正方形的一个顶点为圆心，边长 a 为半径作半圆，则图中阴影部分的面积是_。 分析：左图中可以这样计算 但是这样计算比较麻烦。如果把左边阴影，.SSS阴 影 正 方 形 扇 形 三 角 形 扇 形沿着圆弧顺时针旋转，与右边阴影相接（如右图） ，阴影结合成三角形；还可把左边阴影图形按中心线翻折，两部分阴影部分相接成三角形。求出三
10、角形面积就可以了，并且此三角形的面积是正方形面积的一半。可得 21.Sa阴 影（六）特值法。特值法意指用一个特殊的数值代替题中的某些未知量，使得计算简单化，从而找到计算方法，再从特殊到一般通过归纳、猜想出解题方法，这种方法也常常用在求解图形的面积的题型中。【例 14】如图 16，在半圆的直径 AB 上取一点 C，分别以 AC、BC 为直径作半圆，过点 C 作 CDAB 交圆于D，CD 的长为 h，则阴影部分面积为（ ） 。 （A） ； （B） （C） （D） .231;412h;512h261h解：设直径 AB = 4，且 C 与圆心 O 重合，则 722CMOCS 2285.01cmS2S图
11、 15图 16ODCA BA BC DO图 13A BOMC D图 14因 C 与 O 重合，所以 h = 2，当 h = 2 时， 只有 . 故应选（B） 。（七）方程法。将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。【例 15】如图 17，已知正方形的边长为 1，分别以 A、B、C、D 四点为圆心，以 1 为半径画弧，则所得四个扇形的公共部分的面积是（ ） 。解：由对称性，用 x、y、z 分别表示曲边形的面积，则解之，得 . （说明：上面方程组中，是圆心角为 900的扇形面积，是正方形面积圆心角为 900的扇形面积，是线段 BC、弧 CE、弧 E
12、B 围成的面积=2圆心角为 600的扇形面积正三角形BCE 的面积。 ）故选（A） 。【例 16】如图 18，以边长为 2a 的正三角形的各顶点为圆心, 为半径作弧，求阴影部分的面积。解：由对称性，用 x、y、z 分别表示曲边形的面积。作如图辅助线。 = 45于是 xz 可看作半径为 ，含（452）弧的弓形面积。 241;31A;832B;12.431x a2cos= 2a22214a46213zy AB CDXYY YYZZZZ图 17AXYYYZZZB C图 18又由图可知：x3y3z = = 23axy2z = 6解由（1） 、 （2） 、 （3）联立的方程组，得 x = .26321a
13、（说明：式中半径为 ，圆心角为 90的扇形面积是 ，而所含直角三角形的面积为2a4。式ABC 的底与高分别是 2a、 .式表示圆心角为 60，半径为 的扇形面积。 ）2aa2a【例 17】如图 19，ABCD 是长方形，图中的数字是各部分的面积数，求图中阴影部分的面积.解：注意到AFD 和CED 的面积都等于长方形 ABCD 的面积的一半，ADE 与BCE 的面积的和也等于长方形 ABCD 面积的一半。设阴影部分面积为 x,图中另一部分的面积为 y（标注在图上） ，则有12AFDEBCABCDSSA长 方 形即有 xy65=（65+20）+（y+50+15）解得 x=85.所以 。85阴 影以上通过例题讲解了各类求阴影部分面积习题的不同解法，当然，几何习题中阴影部分面积的求法不只以上几种。在解此类题目时，只要深入审题，具体问题具体分析，就能找到一种合理、简捷、恰当的解题方法。70XY652050 15图 19AB CXXXXXXXXXDXXXXXXXXXEF
