1、17.6 圆的方程（1）教学目的：1、使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径2、能根据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程3、能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题一、复习引入：1、具有什么性质的点的轨迹是圆？（圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆）2、求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标；（2）写出适合条件 P 的点 M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)（3）用坐标表示条件 P（ M） ，列出方程 ;0),(yxf（4）化方程 为最
2、简形式；0),(yxf（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)二、讲解新课：1、已知圆心为 ，半径为 ， 如何求的圆的方程？ ),(baCr运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导 出：这个方程叫做圆的标准方程22)(ryax2、圆的标准方程 ： 2)()(byx若圆心在坐标原点上，这时 ，则圆的方程就是0a22ryx3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 三个量确定了且 0，圆ba,r的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确
3、定 ，可以根据条件，利r用待定系数法来解决三、讲解范例：例 1 求以 C(1,3)为圆心，并且和直线 相切的圆的方程0743yx解：已知圆心坐标 C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。因为圆 C 和直线 相切，所以半径 就等于圆心 C 到这条直线0743yxr的距离，根据点到直线的距离公式，得 516)4(3|1|22因此，所求的圆的方程是 ()(2yx变式：求以 C(1,3)为圆心，且和直线 截得的弦长为 8 的圆的方程。06（注：在求圆的方程时，要注意运用圆的几何意义，使问题解决简化）例 2 已知圆的方程 ，求经过圆上一点 的切线方程22ryx),(yxM分析：此题关键是
4、求切线的斜率，为此须分两种情形讨论。 解：如图，设切线的斜率为 ，半径 OM 的斜率为 ，k1k因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是 01xyk0yxk经过点 M 的切线方程是 ，)(0整理得 200y因为点 在圆上，所以 ，所求切线方程是),(x20ryx20ryxrMC(a,b) xOy3x-4y-7=0rMC(1,3)xOyMr xOy2点评：1、 “待定系数法”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于 或 的一元二次方程，xy利用判别式进行求解。但此法不如用几何方法简练实用。几何方法：利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识)，由此确定了斜率的
5、，从而得到点斜式的切线方程。以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补。2、若圆的方程是： ， 是圆上一点，则过 M 的切线方程是：22)()(rbyax),(0yxM。20ryx例 3求过点 ，且与圆 相切的直线 的方程3,1M214l解一：（待定系数法）设切线方程为 ，即 ，(3)k310k圆心 到切线 的距离等于半径 ，(,)l ，解得 ， 2|1k34k切线方程为 ，即 ，()yx10y当过点 的直线的斜率不存在时，其方程为 ，圆心 到此直线的距离等于半径M3x(1,)解二：利用切线方程公式，关键是求出切点坐标。例 4 一 圆 过 原 点 和 点 ， 圆 心 在
6、 直 线 上 ， 求 此 圆 的 方 程 。 （ 学 生 思 考 、 探 索 不 同 解 法 ）O(1,3)P2解法一：（待定系数法）圆心在直线 上， 设圆心坐标为 ，y(,2)a则圆的方程为 ， 22(xar点 和 在圆上，(0,),) ，解得 ，22(1)(3)ra21458ar所以，所求的圆的方程为 217()4xy解法二：（定义法）由题意：圆的弦 的斜率为 ，中点坐标为 ，OP313(,)2弦 的垂直平分线方程为 ，即 ，OP31()2yx50y圆心在直线 上，且圆心在弦 的垂直平分线上，yx由 解得 ，即圆心坐标为 ，235047yC17(,)4又圆的半径 ，215|()48rOC所
7、以，所求的圆的方程为 27xy例 5已知一圆与 轴相切，在直线 上截得的弦 长为 ，圆心在直线 上，求此圆yxAB2730xy的方程解：圆心在直线 上，设圆的方程为 ，30x 2(3)()ayr圆与 轴相切， ，|ra又圆心到弦 的距离为 ，AB2|1()3 ， ， ，222(|)(73|)aa13r所以，所求的圆方程为 或 2(9xy22()(1)9xy说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数） ，再用其余的条件求待定的系数；四、课堂练习：P77 T1、2、3、42、已知圆 ，求：25yx（1）过点 A（4，-3）的切线方程 （2）过点 B（-5，2）的切线
8、方程分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率 k 的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式求得20ryx解：（1）点 A（4，-3）在圆 上52yx过点 A 的切线方程为： 03（2）点 B（-5，2）不在圆 上，当过点 B（-5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为 ，即)5(xkyk由 ，得 新 疆学 案王 新 敞 此时切线方程为：152k01 01452yx当过点 B（-5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知 =-5，也是切线方程综上所述，所求切线方程为： 或 =-50五、小结 ：1圆的标
9、准方程的概念及推导；2如何求圆的标准方程：待定系数法、定义法 3求圆的切线方程的常用方法：公式法、待定系数法。圆的方程（圆的一般方程）教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程教学过程：（一）复习：1、写出圆的标准方程？ 22()()xaybr2、求圆的方程的方法？3、经过一点求圆的切线方程的方法？（二）新课讲解：1圆的一般方程将上述标准方程展开，整理，得 ，2220xyyar可见，任何一个圆的方程都可以写成 的形式。DEF反过来，形如的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）将配方得
10、： 22 4()()DExy把方程和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当 时，方程表示以 为圆心， 为半径的圆；240EF(,)2E214DEF（2）当 时，方程表示一个点 ；（3）当 时，方程不表示任何图形2D结论：当 时，方程表示一个圆，此时，我们把方程叫做圆的一般方程402圆的一般方程形式上的特点：（1） 和 的系数相同，且不等于 ； （2）没有 这样的二次项2xy xy以上两点是二元二次方程 表示圆的必要条件，但不是充分条件充要条2 0AxByCDEF4件是？（A=C 0，B=0， ）042FAED说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数 、 、 就可以了DEF2、
11、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。一般方程：有利于判别二元二次方程是不是圆的方程）（三）例题分析：例 1求过三点 、 、 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标(0,)O1(,)M2(4,)解：设所求的圆方程为 ，20xyEF 、 、 在圆上，,1, 解得 ，0,42.FDE860D所求的圆方程为 ，2xy圆心坐标为 ，半径为 (,3)2145rEF注意：由于所求的圆过原点，可设原的方程为 ；20xyDE本题也可以换一种说法：已知 中，三个顶点的坐标分别 、 、 ，12OMA(,)O1(,)M2(4,)求 的外接圆的方程21MO例 2已知一曲线是与两个定点 、
12、 距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲(0,)(3,)12线解：设 是曲线上任意一点，由题意： ，(,)xy|A ，化简得 ， 21(3)230xy这就是所求的曲线方程把方程配方得： ，所以方程的曲线是以 为圆心， 为半径的圆 （作图）2()4xy(1,)2注意：本题也可以一般化已知一曲线是与两个定点 、 距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线AB(0)提示：以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，设 ，则可y0ABa以按照上例的方法求解。可得： 2222111xyax要注意讨论 对曲线的形状的影响例 3已知圆 与直线 相交于 、 两点，定点 ，若80m6
13、0yPQ(1,)R，求实数 的值PRQ解：设 、 ，1(,)xy2(,)由 ，消去 得： ， 260y254xm由题意：方程有两个不等的实数根， ， ，6015由韦答定理： ，1245xm ， ， ，即 ，PRQPRQk121yx1212()()0xy5即 ， 12212()()0xy ， ，3,xy1212121 13(3)9()94xxxy，代入得： ，即 ，12625454)50m ，适合 ，所以，实数 的值为 0m0圆的方程（圆的参数方程）教学目标：1.理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为 的圆的参数方程；r2.理解参数 的意义；3.理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心
14、坐标和半径熟练地求出圆的参数方程；4.能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题教学过程：（一）复习：1、圆的标准方程和一般方程2、P（x,y）是图形 F 上的任意一点，它在平移后图形 F上的对应点为 P(x,y),平移向量为（h,k）= .则平移a公式是？（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程）1圆的参数方程的推导（1）设圆 的圆心在原点，半径是 ，圆 与 轴的正半轴的交点是 ，设点在圆 上从 开始按OrOx0PO0P逆时针方向运动到达点 ， ，则点 的位置与旋转角 有密切的关系：P0P当 确定时，点 在圆上的位置也随着确定；当 变化时，点 在圆上的位置也随着变化这说明，点 的坐标随
15、着 的变化而变化设点 的坐标是 ，你能否将 、 分别表示P(,)xyxy成以 为自变量的函数？根据三角函数的定义， ， cosinxr显然，对于 的每一个允许值，由方程组所确定的点 都在圆 上。(,)PyO我们把方程组叫做圆心为原点、半径为 的圆的参数方程， 是参数r（2）圆心为 ，半径为 的圆的参数方程是怎样的？1(,)Oab圆 可以看成由圆 按向量 平移得到的（如图），1 (,)vab由 可以得到圆心为 ，P1半径为 的圆的参数方程是 （ 为参数）rcosinxry2参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 、xy都是某个变数 的函数，即 txftyg xy0PrxO1(,
16、)Pxy1(,)y6并且对于 的每一个允许值，方程组所确定的点 都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线t (,)Mxy的参数方程，联系 、 之间关系的变数叫做 参变数，简称参数xy相 对 于 参 数 方 程 来 说 ， 前 面 学 过 的 直 接 给 出 曲 线 上 点 的 坐 标 、 关 系 的 方 程 ， 叫 做 曲 线 的 普 通 方 程 将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化如：将圆的参数方程的参数 消去，就得到圆的普通方程 22()()xaybr（三）例题分析：例 1把下列参数方程化为普通方程：（1） （ 为参数）（2 ） （ 为参数）（3）
17、 （t 为参数）3cosinxy21xty)(12bayx解：（1）(利用同角公式化简) ，cos()3in22xy，由 得 ，这就是所求的普通方程2()2()()194x（2）（整体代入消元）由原方程组得 ，把 代入 得 ，ytxyx21t2()xy化简得： （ ），这就是所求的普通方程20xy（3）平方后加减消元说明：1、将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与 、 的取值范围之间的制约关系，保xy持等价性2、注意消参的方法，及参数的几何性质。例 2如图，已知点 是圆 上的一个动点，定点 ，当点 在圆上运动时，线段P216xyA(12,0)P的中点 的轨迹是什么？PAM解：设点
18、， 圆 的参数方程为 ，(,)xy2 4cosinxy设点 ，由线段中点坐标公式得 ，(4cos,in)124siy即点 轨迹的参数方程为 ，M2cos6ixy点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆(6,0)【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？（相关点法）又解：设 ， ，,xyP点 是线段 的中点， ， ，A012xy012xy点 在圆上， ， ，0(,)Pxy2016x22()(6OyxP7即点 的轨迹方程为 ，M2(6)4xy点 的轨迹是以点 为圆心、 为半径的圆,0变式：若 Q 分 的比为 1：2 ，求 Q 点的轨迹方程。PA例 3：设圆 （ 为参数）上有且仅有两点到直线-4x+3y=
19、2 的距离等于 1，则 r 的取值范sin5,co3ry围是 例 4已知实数 、 满足 ， （1）求 的最大值；（2）求 的最小值xy230xyxyxy解：原方程配方得： ，它表示以 为圆心， 为半径的圆，用参数方程可表2(1)()4(,3)示为 （ 为参数， ） ， cos3iny（1） 2x22()(3sin)(sinco)8sin()86当 ，即 时， 6max16y（2） ，(sinco)2si()314xy 当 ，即 时， 34254max()2y说明：本题也可数形结合解五小结：1圆心为原点、半径为 的圆的参数方程 ，（ 为参数）；rcosinry2圆心为 ，半径为 的圆的参数方程 （ 为参数）；1(,)Oabsixabr3参数方程和普通方程的互化，要注意等价性4消参的方法。六作业：课本第 81 页练习第 3 题；第 82 页习题第 9，10 题； 补充：已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 是曲线 上任意一点，C2cosinxy(,)PxyC，求 的取值范围ytxt
