1、第 1 页 共 48 页初 中 数 学 几 何 模 型 大 全 +经 典 题 型 （ 含 答 案 ）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。第 2 页 共 48 页对称半角模型说明：上图依次是 45、30 、22.5、 15及有一个角是 30直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含 1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段
2、，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题第 3 页 共 48 页旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法：遇 60 度旋 60 度，造等边三角形第 4 页 共 48 页遇 90 度旋 90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称第 5 页 共 48 页共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。模型变形第 6 页 共 48 页说明：模型变形
3、主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。第 7 页 共 48 页当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。第 8 页 共 48 页
4、几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)第 9 页 共 48 页说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。旋转最值(共线有最值)说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型第 10 页 共 48 页三角形四边形四边形四边形说明：剪拼主要是通过中点的 180 度旋转及平移改变图形的形状。第 11 页 共 48 页矩形正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变第 12 页 共 48 页正方形+等腰直角三角形正方形面积等分旋转相似模型第 13 页 共 48 页说明：两个等
5、腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是 300角的直角三角形成旋转相似。推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。相似模型第 14 页 共 48 页说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以 30 度、45度、60 度形式出现的居多。（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到第 15 页 共 48 页圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得
6、到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。第 16 页 共 48 页第 17 页 共 48 页第 18 页 共 48 页第 19 页 共 48 页第 20 页 共 48 页第 21 页 共 48 页第 22 页 共 48 页初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO第 23 页 共 48 页求证：CDGF （初二）2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 0求证：PBC 是正三角形 （初二）第 24 页 共 48 页3、如图，已知四
7、边形 ABCD、A 1B1C1D1都是正方形，A2、B 2、C 2、D 2分别是 AA1、BB 1、CC 1、DD 1的中点求证：四边形 A2B2C2D2是正方形 （初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M 、N 分别是AB、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于 E、F求证：DEN FA1第 25 页 共 48 页经 典 难 题（二）1、已知：ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC60 0，求证：AHAO （初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A引圆
8、的两条直线，交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分第 26 页 共 48 页别交 MN 于 P、Q求证：APAQ （初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦BC、DE ，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ （初二）第 27 页 共 48 页4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在 ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 （初二）经 典 难 题（三）1、如图，四边形 ABCD
9、 为正方形，DEAC，AE AC，AE与 CD 相交于 F求证：CE CF （初二）第 28 页 共 48 页2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF （初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF平分DCE第 29 页 共 48 页求证：PAPF （初二）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、 AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD （初三）经 典 难 题（四）1、已知：ABC 是正三角形， P 是三角形内一点，D第 30 页 共 48 页PA3，PB4，PC 5求：APB 的度数 （初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：PAB PCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD （初三）
