1、第二讲 同余初步（1）本讲概述同余是大数学家高斯的一个天才发明，这个符号使得原来难以表述的很多数论问题表述起来简单清晰.利用同余符号，可以方便地处理各种复杂的数字相对于另一数的余数这一类问题.本讲将着重讲述同余的基本性质，并利用这些性质来解决各类同余的典型问题.此外，基于同余，还给出了剩余系与完系的概念.尽管联赛大纲没有明确对这两个概念作要求，但是有了对剩余系的基本认识后对很多问题处理起来会更为方便.同余的定义：设 m 是一个给定的正整数，如果两个整数 a 与 b 用 m 除所得的余数相同，则称 a 与 b 对模同余，记作 ，否则，就说 a 与 b 对模 m 不同余.（用 符号上面加一个斜线来
2、表示，类似不等符号）)(odba .显然， ；(),)|()kZab（同余的性质非常之多，以下仅列举最常用的一些，（1）自反性：aa(mod m)(a 为任意自然数)（2）对称性：若 ab(mod m)，则 ba(mod m)（3）传递性：若 ab(mod m), bc(mod m)，则 ac(mod m)（4）可加减性：若 ab(mod m), cd(mod m)，则 acbd(mod m)（5）可乘性：若 ab(mod m), cd(mod m)，则 ac=bd(mod m)（6）可乘方性：若 ab(mod m), nN+，则 an=bn(mod m)注意：一般地同余没有“可除性” ，但是
3、（7）如果：acbc(mod m)且(c, m)=1，则 ab(mod m)如果 acbc(mod m), (c, m)=d，则 ab(mod )dm（8）如果 ab(mod m), ab(mod n)且m, n=k，则 ab(mod k)（m, n表示 m, n 的最小公倍数）（9）设 pN+, p2，则任何一个 p 进制自然数与其数码和(p 进制下各数码之和)对模 p-1 同余；特别地，p=10 时，是我们熟知的“弃九法”的理论依据：任一正整数与其十进制表示中各位数字之和对模 9 同余.利用“弃九法”可以方便地解决很多与数字和相关的问题.另外，利用同余与各种乘法公式以及二项式定理展开式相结
4、合往往威力更大，但我们这里暂时不涉及.剩余类，完全剩余系（简称完系）和缩系我们可以将所有的整数按模 m 分类例如：按模 2 分类，可将所有整数分成两类，模 2 余 1 的分成一类，即奇数；模 2 余 0 的一类，即偶数按模 3 分类，可分成 3k,3k+1,3k-1 三种类型；等等.剩余类的定义：设 m 为一给定的正整数，则全体整数可以分为 m 个集合 K0，K1，Km-1，这里 Kr=x |xZ, xr(mod m), r=0, 1, , m-1我们称 K0，K1，Km-1 为模 m 的剩余类在模 m 的 m 个剩余类中分别取一个数，共取出 m 个，我们把这 m 个数成为模 m 的一组完全剩
5、余系,简称完系.例如：0,1,2，,m-1 就是一组完系，显然，它们两两对模 m 不同余.性质 1每个整数在且仅在模 m 的一个剩余类中性质 2若 a0, a1, ，am-1 是模 m 的一个完系，而 (a, m)=1, bZ，则 aa0+b, aa1+b, , aam-1+b 也是模 m 的一个完系 欧拉函数的定义：对每个整数 m，以 表示 0,1, ,m-1 当中与 m 互素的整数个数， 即为欧拉() ()函数。缩同余类的定义： 如前定义，若 ，则 是 m 的一个缩同余类。模 m 的缩同余类共有(,)=1 个。()在每个缩同余类取一个代表，这 个代表 组成的集合称为 m 的缩代表系，简()
6、 1， 2， ， ()称缩系。模素数的完全剩余系和缩系是等价的。类似的，有以下性质：性质 1每个与 m 互素的整数在且仅在模 m 的一个剩余类中性质 2若 aa1, ， 是模 m 的一个缩系，而(a, m)=1,则 aa1, , a 也是模 m 的一个缩() () 系例题精讲 【例 1】证明：（1） 同余的可除性：如果：acbc (mod m)且(c, m)=1，则 ab(mod m)（2） 弃九法原理：任一正整数与其十进制表示中各位数字之和对模 9 同余【例 2】用同余的写法证明：（1）平方数除以 4 余数为 0 或 1；（2）用同余的写法证明：奇数的平方除以 8 余 1； （3） 试证明
7、不是平方数.199153【例 3】 （1）证：若 a1, ， 是模 m 的一个缩系，而(a, m)=1，则 aa1, , a 也是模 m 的一个缩() () 系（2）(a, m)=1，若 ，称 b 是 a 关于模 m 的逆，记作 ，是模 m 的一个同余类。证：1( ) 1存在且唯一。1（3）若 p 是素数，证明： 。 （威尔逊定理） （ 1） !1 ( )【例 4】设 n3 是奇数，证明：将 n 元集合 任意去掉一个元素后，总可以将剩下的元素=0,1,1分成两组，每组 个数，使两组的和模 n 同余。 12【例 5】设 n 是偶数， 以及 是模 n 的两个完全剩余系。证明：1， 2, , 1,
8、2,不是模 n 的完全剩余系。1+1, 2+2, +【例 6】求证：对任意正整数 n，8 不整除 .3+217【例 7】 求不能表示成 的最小素数 p,这里 a,b 是非负整数。|32|【例 8】设整数 x,y,z 满足，证明：x+y+z 被 27 整除。()()()=+【例 9】设正整数 x,y,z 满足 ，证明： .22xyz60|xyz【例 10】(1)设 m 为正整数，证明：必有一个正整数是 m 的倍数，且它的各位数字均为 0 或 1.（2）从任意 m 个整数 中，必可找到若干个数，它们的和（只有一个加数也行）被 m 整除.12,.ma（3）从任意 17 个整数中，必可找到这样的 9
9、个数，他们的和是 9 的倍数。一般的，可以证明，从任意 2n-1 个整数中，可以取出 n 个数之和是 n 的倍数。大显身手练习 1：设 ，(a,m)=1 ， ，求和 其中x为 x 的小数部分。1 1=0+ 。练习 2：设 p 是一个奇素数，证明：（1） 1232(2)2=(1)+12 （ )(2) 2242(1)2=(1)+12 （ )练习 3：例 4.连结正 n 边形的顶点，得到一个闭的 n-折线。证明，若 n 是偶数，则在连线中有两条平行线。若 n 为奇数，则连线中不可能恰有一对平行线。练习 4： 的各位数字之和为 a，a 的各位数字之和为 b，b 的各位数字之和为 c，求 c.19练习
10、5：（1）n 是整数，则：20,1 ( 3)20,1 ( 5)30,1 ( 9)40, 1 ( 16)(2) 考虑质数 若 .证明：可以在这 31 个数中找到 3 个连续的质数。1231. 30|41+42+431练习 6：求证：三个连续整数的平方和不是立方数.练习 7： 已知数列 定义如下： ，求出所有的正整数 n，使得 .np1234nnp5|np练习 8：已知数列 递归定义如下： ，求证：数列 中没有a021,8nnaa(0)a形如 （ 为正整数）的项.35,练习 9：设整数 a, b, c 满足 a+b+c=0, 记 d= . 证明：1999+1999+1999 |不是素数。练习 10：100 个不大于 100 的自然数之和等于 200，证明可以从中挑出若干数来，他们的和恰为 100。练习 11：数 1978n 与 1978m 的最后三位数相等，试求出正整数 n 和 m，使得 mn 取最小值，这里nm1练习 12：若整数 a, b, 满足“从任意 2n-1 个整数中，可以取出 n 个数之和是 n 的倍数”.证明：m=ab 也满足这个命题。练习 13：从任意 2n-1 个整数中，可以取出 n 个数之和是 n 的倍数。练习 14：35.对于所有素数 和所有正整数 ，证明： 能被 整除.pppnCp
