1、12012 年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分） （2012 北京）已知集合 A=xR|3x+20 ，B=x R|（x+1） （x 3）0，则AB=（ ）A （，1）B （1 ， ） C ， 3 D（3，+）考点： 一元二次不等式的解法；交集及其运算菁优网版权所有专题： 集合分析： 求出集合 B，然后直接求解 AB解答： 解：因为 B=xR|（x+1） （x3）0=x|x 1 或 x3，又集合 A=xR|3x+20=x|x ，所以 AB=x|x x|x1 或 x3=x|
2、x3 ，故选：D点评： 本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力2 （5 分） （2012 北京）在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）A（1，3） B （3，1） C （1 ，3 ） D （3，1 ）考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数分析： 由 = =1+3i，能求出在复平面内，复数 对应的点的坐标解答： 解： = =1+3i，2在复平面内，复数 对应的点的坐标为（1，3） ，故选 A点评： 本题考查复数的代数形式的乘积运算，是基础题解题时要认真审题，注意复数的几何意义的求法3 （5 分） （2012 北京）设
3、不等式组 ，表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）AB C D考点： 二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型菁优网版权所有专题： 概率与统计分析： 本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于 2 的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可解答： 解：其构成的区域 D 如图所示的边长为 2 的正方形，面积为 S1=4，满足到原点的距离大于 2 所表示的平面区域是以原点为圆心，以 2 为半径的圆外部，面积为 =4，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原
4、点的距离大于 2 的概率 P=故选：D点评： 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值4 （5 分） （2012 北京）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）3A2 B 4 C 8 D16考点： 循环结构菁优网版权所有专题： 算法和程序框图分析： 列出循环过程中 S 与 K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环解答： 解：第 1 次判断后 S=1，k=1，第 2 次判断后 S=2，k=2，第 3 次判断后 S=8，k=3，第 4 次判断后 33，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8故选 C点评： 本题考查
5、循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力5 （5 分） （2012 北京）函数 f（x）= 的零点个数为（ ）A0 B 1 C 2 D3考点： 根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数 f（x）4为单调增函数，而 f（0）0 ，f （ ）0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答： 解：函数 f（x）的定义域为0，+）y= 在定义域上为增函数，y= 在定义域上为增函数函数 f（x）= 在定义域上为增函数而 f（0）= 1 0，f （1）= 0故函数 f（x）= 的零点个数为 1 个故
6、选 B点评： 本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题6 （5 分） （2012 北京）已知a n为等比数列，下面结论中正确的是（ ）Aa1+a32a2 B a12+a322a22C 若 a1=a3，则 a1=a2 D若 a3a 1，则 a4a 2考点： 等比数列的性质菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析：a1+a3= ，当且仅当 a2，q 同为正时，a 1+a32a2 成立；，所以 ；若 a1=a3，则a1=a1q2，从而可知 a1=a2 或 a1=a2；若 a3a 1，则 a1q2a 1，而 a4a2=a1q（q 21） ，其正
7、负由 q 的符号确定，故可得结论解答：解：设等比数列的公比为 q，则 a1+a3= ，当且仅当 a2，q 同为正时，a1+a32a2 成立，故 A 不正确；5， ，故 B 正确；若 a1=a3，则 a1=a1q2，q 2=1，q=1，a 1=a2 或 a1=a2，故 C 不正确；若 a3a 1，则 a1q2a 1，a 4a2=a1q（q 21） ，其正负由 q 的符号确定，故 D 不正确故选 B点评： 本题主要考查了等比数列的性质属基础题7 （5 分） （2012 北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A28+6 B 30+6 C 56+12 D60+12考点： 由三视图求面
8、积、体积菁优网版权所有专题： 立体几何分析： 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可解答： 解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为 4，底边长为 5，如图，所以 S 底 = =10，S 后 = ，S 右 = =10，S 左 = =6 几何体的表面积为：S=S 底 +S 后 +S 右 +S 左 =30+6 故选：B6点评： 本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力8 （5 分） （2012 北京）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示从目前记录的结果看，
9、前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（ ）A5 B 7 C 9 D11考点： 函数的图象与图象变化；函数的表示方法菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 由已知中图象表示某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案解答： 解：若果树前 n 年的总产量 S 与 n 在图中对应 P（S ，n）点则前 n 年的年平均产量即为直线 OP 的斜率由图易得当 n=9 时，直线 OP 的斜率最大即前 9 年的年平均产量最高，故选 C点评： 本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意
10、义是解答本题的关键二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分） （2012 北京）直线 y=x 被圆 x2+（y2） 2=4 截得的弦长为 7考点： 直线与圆相交的性质菁优网版权所有专题： 直线与圆分析： 确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线 y=x 的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长解答： 解：圆 x2+（y 2） 2=4 的圆心坐标为（0，2） ，半径为 2圆心到直线 y=x 的距离为直线 y=x 被圆 x2+（y2） 2=4 截得的弦长为 2 =故答案为：点评： 本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线 y=x 的距离，利用垂径
11、定理构造直角三角形求得弦长10 （5 分） （2012 北京）已知a n为等差数列，S n 为其前 n 项和，若 a1= ，S 2=a3，则 a2= 1 ，S n= 考点： 等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析： 根据等差数列的性质可求出公差，从而可求出第二项，以及等差数列的前 n 项和解答： 解：根据an为等差数列， S2=a1+a2=a3= +a2；d=a3a2=a2= + =1Sn= =故答案为：1，点评： 本题主要考查了等差数列的前 n 项和，以及等差数列的通项公式，属于容易题11 （5 分） （2012 北京）在 ABC 中，若 a=
12、3，b= ， ，则C 的大小为 8考点： 正弦定理菁优网版权所有专题： 解三角形分析： 利用正弦定理 = ，可求得B，从而可得C 的大小解答： 解：ABC 中，a=3，b= ， ，由正弦定理 = 得： = ，sinB= 又 ba ，BA= B= C= = 故答案为： 点评： 本题考查正弦定理，求得B 是关键，易错点在于忽视“中大变对大角，小边对小角”结论的应用，属于基础题12 （5 分） （2012 北京）已知函数 f（x）=lgx，若 f（ab）=1 ，则 f（a 2）+f（b 2）= 2 考点： 对数的运算性质菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 由函数 f（x）=lgx，f（ab
13、）=lg（ab）=1，知 f（a 2）+f（b 2）=lga2+lgb2=2lg（ab ） 由此能求出结果解答： 解： 函数 f（x）=lgx ，f （ab）=lg（ab）=1，f（a 2） +f（b 2）=lga 2+lgb2=lg（ab） 2=2lg（ab）=2故答案为：2点评： 本题考查对数的运算性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答13 （5 分） （2012 北京）己知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点则的值为 1 考点： 平面向量数量积的运算菁优网版权所有9专题： 平面向量及应用分析： 直接利用向量转化，求出数量积即可解答： 解：因为 = = = =1故
14、答案为：1点评： 本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力14 （5 分） （2012 北京）已知 f（x）=m（x2m ） （x+m+3） ，g（x）=2 x2若xR， f（x）0 或 g（x）0，则 m 的取值范围是 （4，0） 考点： 复合命题的真假；全称命题菁优网版权所有专题： 简易逻辑分析： 由于 g（x）=2 x20 时，x 1，根据题意有 f（x）=m （x2m） （x+m+3 ）0 在 x1时成立，根据二次函数的性质可求解答： 解： g（x）=2 x2，当 x1 时，g（x）0，又xR，f（x）0 或 g（x）0此时 f（x）=m （x2m） （x+m+3）0 在 x1 时恒
15、成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在（1，0）的左面则4m 010故答案为：（4，0）点评： 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分） （2012 北京）已知函数 f（x）= （1）求 f（x）的定义域及最小正周期；（2）求 f（x）的单调递减区间考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；复合三角函数的单调性菁优网版权所有专题： 三角函数的图像与性质分析： （1）由 sinx0 可得 xk（kZ ） ，将 f（
16、x）化为 f（x）= sin（2x ）1 即可求其最小正周期；（2）由（1）得 f（x）= sin（2x ）1，再由2k+ 2x 2k+ ，xk（kZ）即可求 f（x）的单调递减区间解答： 解：（1）由 sinx0 得 xk（kZ ） ，故求 f（x）的定义域为x|xk，k Zf（ x）=2cosx（sinx cosx）=sin2xcos2x1= sin（2x ）1f（ x）的最小正周期 T= =（2）函数 y=sinx 的单调递减区间为2k+ ，2k + （kZ）11由 2k+ 2x 2k+ ，x k（k Z）得 k+ xk+ ， （kZ）f（ x）的单调递减区间为：k+ ，k+ （k Z）
17、点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性，注重辅助角公式的考察应用，求得 f（x= sin（2x ）1 是关键，属于中档题16 （14 分） （2012 北京）如图 1，在 RtABC 中，C=90 ，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置，使 A1FCD，如图2（1）求证：DE 平面 A1CB；（2）求证：A 1FBE；（3）线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？说明理由考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有专题： 空间位置关系
18、与距离；立体几何分析： （1）D，E 分别为 AC，AB 的中点，易证 DE平面 A1CB；（2）由题意可证 DE平面 A1DC，从而有 DEA1F，又 A1FCD，可证 A1F平面BCDE，问题解决；（3）取 A1C，A 1B 的中点 P，Q，则 PQBC，平面 DEQ 即为平面 DEP，由 DE平面，P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，可证 A1C平面 DEP，从而 A1C平面DEQ解答： 解：（1）D， E 分别为 AC，AB 的中点，DEBC，又 DE平面 A1CB，DE平面 A1CB（2）由已知得 ACBC 且 DEBC，DEAC，DEA1D，又 DECD，DE平面 A
19、1DC，而 A1F平面 A1DC，12DEA1F，又 A1FCD，A1F平面 BCDE，A1FBE（3）线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A 1B 的中点 P，Q，则 PQBCDEBC，DEPQ平面 DEQ 即为平面 DEP由（）知 DE平面 A1DC，DEA1C，又 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，A1CDP，A1C平面 DEP，从而 A1C平面 DEQ，故线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ点评： 本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题1
20、7 （13 分） （2012 北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） ；“厨余垃圾” 箱 “可回收物” 箱 “其他垃圾” 箱厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中 a0，a+b+c=600
21、当数据 a，b，c 的方差 s2 最大时，写出 a，b，c 的值（结论不要求证明） ，并求此时 s2 的值（求：S 2= + + ，其中 为数据x1，x 2，x n 的平均数）考 模拟方法估计概率；极差、方差与标准差菁优网版权所有13点：专题：概率与统计分析：（1）厨余垃圾 600 吨，投放到“厨余垃圾”箱 400 吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 =，因此有当 a=600，b=0，c=0 时，有 s2=80000解答：解：（1）由题意可知：厨余垃圾 600 吨，投放到“厨余垃圾 ”箱
22、 400 吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 ；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有 200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为 ；（3）由题意可知：a+b+c=600，a，b，c 的平均数为 200 =，（ a+b+c） 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+b2+c2，因此有当 a=600，b=0，c=0 时，有s2=80000点评：本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题18 （13 分） （2012 北京）已知函数 f（x）=ax 2+1（a0） ，g（x）=x 3+bx（1）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共
23、切线，求 a，b 的值；（2）当 a=3，b= 9 时，函数 f（x）+g（x）在区间k ，2上的最大值为 28，求 k 的取值范围考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题： 导数的综合应用分析： （1）根据曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求 a、b 的值；（2）当 a=3，b= 9 时，设 h（x）=f（x）+g（x）=x 3+3x29x+1，求导函数，确定函14数的极值点，进而可得 k3 时，函数 h（x）在区间k ，2上的最大值为 h（3）=28；3 k
24、2 时，函数 h（x）在区间k，2 上的最大值小于 28，由此可得结论解答： 解：（1）f（x）=ax 2+1（a 0） ，则 f（x）=2ax，k 1=2a，g（x）=x 3+bx，则 g（x）=3x 2+b，k 2=3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b 又 f（1）=a+1，g（1）=1+b，a+1=1+b，即 a=b，代入式，可得：a=3，b=3 （2）当 a=3，b= 9 时，设 h（x）=f（x）+g（x）=x 3+3x29x+1则 h（x）=3x 2+6x9，令 h（x）=0，解得：x 1=3，x 2=1；k3 时，函数 h（x）在（ ，3）上单调增，在（3，1上单调
25、减， （1，2）上单调增，所以在区间k，2 上的最大值为 h（ 3）=283 k 2 时，函数 h（x）在区间 k，2上的最大值小于 28所以 k 的取值范围是（，3点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数19 （14 分） （2012 北京）已知椭圆 C： + =1（a b0）的一个顶点为 A（2，0） ，离心率为 ，直线 y=k（x 1）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，（）求椭圆 C 的方程；（）当AMN 的面积为 时，求 k 的值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方
26、程分析： （）根据椭圆一个顶点为 A （2，0） ，离心率为 ，可建立方程组，从而可求椭15圆 C 的方程；（）直线 y=k（x 1）与椭圆 C 联立 ，消元可得（ 1+2k2）x24k2x+2k24=0，从而可求|MN| ，A（2，0）到直线 y=k（x 1）的距离，利用AMN的面积为 ，可求 k 的值解答： 解：（）椭圆一个顶点为 A （2，0） ，离心率为 ，b=椭圆 C 的方程为 ；（）直线 y=k（x 1）与椭圆 C 联立 ，消元可得（ 1+2k2）x24k2x+2k24=0设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，|MN|= =A（ 2， 0）到直线
27、y=k（x1）的距离为AMN 的面积 S=AMN 的面积为 ，k=116点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|20 （13 分） （2012 北京）设 A 是如下形式的 2 行 3 列的数表，a b cd e f满足性质 P：a，b，c，d，e ，f 1，1 ，且 a+b+c+d+e+f=0记 ri（A）为 A 的第 i 行各数之和（ i=1，2） ，C j（A ）为 A 的第 j 列各数之和（j=1 ，2，3） ；记 k（A）为|r 1（A）|，|r 2（A ）|，|c 1（A）|，|c 2（A）|， |c3（A）|中的最
28、小值（1）对如下数表 A，求 k（ A）的值1 1 0.80.1 0.3 1（2）设数表 A 形如1 1 12dd d 1其中1d0求 k（A）的最大值；（）对所有满足性质 P 的 2 行 3 列的数表 A，求 k（A）的最大值考点： 进行简单的演绎推理菁优网版权所有专题： 推理和证明分析： （1）根据 ri（A）为 A 的第 i 行各数之和（i=1，2） ，C j（ A）为 A 的第 j 列各数之和（j=1，2，3 ） ；记 k（A）为|r 1（A）| ，|r 2（A）|，|c 1（A ）| ，|c 2（A）|，|c 3（A）|中的最小值可求出所求；（2）k（A）的定义可求出 k（A ）=1
29、+d，然后根据 d 的取值范围可求出所求；（III）任意改变 A 三维行次序或列次序，或把 A 中的每个数换成它的相反数，所得数表 A*仍满足性质 P，并且 k（A ）=k（A *）因此，不防设 r1（A） 0，c 1（A）0，c 2（A ）0，然后利用不等式的性质可知3k（A）r 1（A）+c 1（A）+c 2（A ） ，从而求出 k（A）的最大值解答： 解：（1）因为 r1（A）=1.2，r 2（A）=1.2，c 1（A）=1.1，c 2（A）=0.7，c 3（A ）=1.8，所以 k（A）=0.7（2）r 1（A）=12d，r 2（A） =1+2d，c 1（A ）=c 2（A）=1+d
30、，c 3（A）= 22d17因为1d0，所以|r 1（A）|=|r 2（A）|1+d0，|c 3（A ）| 1+d0所以 k（A）=1+d1当 d=0 时，k（A）取得最大值 1（III）任给满足性质 P 的数表 A（如下所示）abcde f任意改变 A 三维行次序或列次序，或把 A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A*仍满足性质 P，并且 k（A）=k（A *）因此，不防设 r1（A） 0，c 1（A）0，c 2（A ）0，由 k（A）的定义知，k（A）r 1（A） ，k（A ）c 1（A） ，k（A）c 2（A ） ，从而 3k（A）r 1（A）+c 1（A）+c 2（A ）=（a+b+c）+（ a+d）+（b+e）=（a+b+c+d+e+f ）+（a+bf）=a+b f3所以 k（A）1由（2）可知，存在满足性质 P 的数表 A 使 k（A ）=1，故 k（A ）的最大值为 1点评： 本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时分析问题的能力以及不等式性质的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题
