1、2014 年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分） （2014 北京）若集合 A=0，1，2，4 ，B=1，2，3 ，则 AB=（ ）A0，1，2，3，4B0，4 C1，2 D32 （5 分） （2014 北京）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ）A y=ex By=x Cy=lnx Dy=|x|3 （5 分） （2014 北京）已知向量 =（2，4） ， =（1，1） ，则 2 =（ ）A（5，7） B（5，9） C（3，7） D（3，9）4 （5 分） （2014 北京）执行如图
2、所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A1 B3 C7 D155 （5 分） （2014 北京）设 a，b 是实数，则“a b” 是“a 2b 2”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分） （2014 北京）已知函数 f（x）= log2x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区间是（ ）A（0，1） B（1，2） C（2，4） D（4，+）菁优网2010-2014 菁优网7 （5 分） （2014 北京）已知圆 C：（x3） 2+（y4） 2=1 和两点 A（m，0） ，B （m，0） （m0） ，若圆 C 上存在点 P，使得APB=90
3、，则 m 的最大值为（ ）A7 B6 C5 D48 （5 分） （2014 北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“ 可食用率”，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足函数关系 p=at2+bt+c（a，b，c 是常数） ，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A3.50 分钟 B3.75 分钟 C4.00 分钟 D4.25 分钟二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分） （2014 北京）若（x+i ）i=1+2i（x R） ，则 x= _ 10 （5 分） （2014 北京）设双
4、曲线 C 的两个焦点为（ ，0） ， （ ，0） ，一个顶点是（1，0） ，则 C 的方程为 _ 11 （5 分） （2014 北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _ 12 （5 分） （2014 北京）在 ABC 中，a=1 ，b=2 ，cosC= ，则 c= _ ；sinA= _ 菁优网2010-2014 菁优网13 （5 分） （2014 北京）若 x，y 满足 ，则 z= x+y 的最小值为 _ 14 （5 分） （2014 北京）顾客请一位工艺师把 A，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工
5、完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工 精加工原料 A 9 15原料 B 6 21则最短交货期为 _ 个工作日三、解答题，共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分） （2014 北京）已知a n是等差数列，满足 a1=3，a 4=12，数列b n满足 b1=4，b 4=20，且b nan为等比数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）求数列b n的前 n 项和16 （13 分） （2014 北京）函数 f（x）=3sin（2x+ ）的部分图象如图所示（）写出 f（x）的最小正周期及图中
6、 x0，y 0 的值；（）求 f（x）在区间 ， 上的最大值和最小值17 （14 分） （2014 北京）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA 1=AC=2，BC=1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点（）求证：平面 ABEB1BCC1；（）求证：C 1F平面 ABE；（）求三棱锥 EABC 的体积菁优网2010-2014 菁优网18 （13 分） （2014 北京）从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号 分组 频数1 0，2） 62 2，4） 83 4，6） 17
7、4 6，8） 225 8，10） 256 10，12） 127 12，14） 68 14，16） 29 16，18） 2合计 100（）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；（）求频率分布直方图中的 a，b 的值；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19 （14 分） （2014 北京）已知椭圆 C：x 2+2y2=4（）求椭圆 C 的离心率；（）设 O 为原点，若点 A 在直线 y=2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的最小值20 （
8、13 分） （2014 北京）已知函数 f（x）=2x 33x（）求 f（x）在区间2，1 上的最大值；（）若过点 P（1，t ）存在 3 条直线与曲线 y=f（x）相切，求 t 的取值范围；菁优网2010-2014 菁优网（）问过点 A（1，2） ，B（2，10） ，C （0，2）分别存在几条直线与曲线 y=f（x）相切？（只需写出结论）菁优网2010-2014 菁优网2014 年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分） （2014 北京）若集合 A=0，1，2，4 ，B=1
9、，2，3 ，则 AB=（ ）A0，1，2，3，4B0，4 C1，2 D3考点： 交集及其运算菁优网版权所有专题： 集合分析： 直接利用交集的运算得答案解答： 解：A=0，1，2，4，B=1，2，3，AB=0，1，2，41，2 ，3=1，2故选：C点评： 本题考查交集及其运算，是基础题2 （5 分） （2014 北京）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ）A y=ex By=x Cy=lnx Dy=|x|考点： 函数单调性的判断与证明菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论解答： 解：A函数的定义域为 R，但函数为减函数，不满足条件
10、菁优网2010-2014 菁优网B函数的定义域为 R，函数增函数，满足条件C函数的定义域为（0，+） ，函数为增函数，不满足条件D函数的定义域为 R，在（0，+）上函数是增函数，在（，0）上是减函数，不满足条件故选：B点评： 本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础3 （5 分） （2014 北京）已知向量 =（2，4） ， =（1，1） ，则 2 =（ ）A（5，7） B（5，9） C（3，7） D（3，9）考点： 平面向量的坐标运算菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： 直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案解答： 解：由=（2，4） ，=（1， 1） ，得：2 =2（2，4
11、）（ 1， 1）=（4，8）（1，1 ）=（5，7） 菁优网2010-2014 菁优网故选：A点评： 本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题4 （5 分） （2014 北京）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A1 B3 C7 D15考点： 程序框图菁优网版权所有专题： 计算题；算法和程序框图分析： 算法的功能是求S=1+21+22+2k 的值，根据条件确定跳出循环的 k 值，计算输出的 S值解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+2k 的值，跳出循环的 k值为 3，输出S=1+2+4=7故选：C点评： 本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流
12、程菁优网2010-2014 菁优网判断算法的功能是解题的关键5 （5 分） （2014 北京）设 a，b 是实数，则“a b” 是“a 2b 2”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有分析： 本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解解答： 解：因为 a，b都是实数，由ab，不一定有 a2b 2，如2 3，但（2 ） 2（ 3）2，所以“ab”是“a 2b 2”的不充分条件；反之，由a2b 2 也不一定得 ab，如（3 ） 2（ 2）2，但3
13、 2，所以“ab”是“a2b 2”的不必要条件故选 D点评： 判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为菁优网2010-2014 菁优网假命题，则命题 p 是命题 q的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q的即不充分也不必要条件判断命题 p与命题 q 所表示的范围，再根据“ 谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法6 （5 分） （2014 北京）已知函数 f（x）= log2x，在下列区间中，包含 f（x）零点的区间是（ ）A（0，1） B（1，2） C（2，4） D（4，+）考点： 函数零点的判定定理菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 可得 f（2）=20，f （4）= 0，由零
