1、1 压轴题 思维 导图 总结（干货） 压轴题，山人自有妙计 先给大家推荐几本书目：数学那玩意 4.7 星，适合学完导数与解析几何的时候看， 一位数学牛人 （学生）主编的，以学生的口吻解题，幽默风趣， 其中包含了 二次曲线系、过原点的两条直线 、积分放缩（一部分） ； 神奇的圆锥曲线与解题秘诀 4.4 星，适合学完解析几何的时候看，总结了许多有用的二级结论； 更高更妙的 高中 数学思想方法与指导 3.8 星，个人认为虽然题目比较难，但是方法归纳比较散，不系统，看了收获不是很大； 五 三和天利 38 套适合刷题，不做评价。 另外，将自己高中收集的个人认为蛮有用的资料、压轴题 ppt（带高三家教的时
2、候整理的，学生反映不错）都发给陆老师了。 先来说说三大 “杀手锏 ”：解析几何的 二次 曲线系 、 导数的 分析通项 （与 n 有关的不等式，求和、求积型） 和 洛必达法则 （分离变量后不可求值型） 。此外，对于高考水平的求和类不等式形如 ak a）处取得，一般不用洛必达法则，直接代入 b 即可 。 若 f(x)min 在 x=a 处取得，但 x (,+)， 并 且产生 00型极限，这时候就利用洛必达法则，如果求一次导还是 00型，那就再求一次导 直到求出极限为止。 二次曲线系解题步骤： 1、 找出 4 个 交 点（ 3 个点的情况 一般切线隐藏 ） ，它们为 2 个二次曲线的交点。 2、 找
3、出第 3 个过这 4 个交点的二次曲线，构造等式。 2 3、 对比等式两边的系数，求出未知数。 说明：对比系数时，要尝试选出有用的等式，不要将式子展开，那样会很麻烦，只需单独对比某个项的系数即可。另外，两个直线方程相乘 =一个退化的二次曲线。 下面 不妨 以 思维导 图 来 总结压轴题的题型和解题套路。 （ 1）解析几何 一、知识储备 直线直线方程形式点斜式两点式斜截式截距式一般式与直线有关重要内容倾斜角与斜率点到直线距离夹角公式弦长公式两条直线位置关系圆锥曲线圆锥曲线的方程形式 标准式距离式参数式极坐标式与圆锥曲线有关的二级结论1、焦半径公式2、焦点三角形面积公式3、过圆锥曲线上某点的切线方
4、程4、极 线定理5、弦与中线 斜率积为定值6、细看中点弦方程，恰似中点弦轨迹7、抛物线性质 端点投影在准线，连接焦点垂直线 焦弦切线成直角 切线 平分焦弦的倾角 直角梯形对角线为原点 两臂乘积是定值3 二、 方法储备 、点差法 (中点弦题型，联系了弦斜率与弦中点坐标的关系 ) 求弦中点的轨迹方程 求圆锥曲线方程 求直线斜率 确定参数范围 证明定值问题 处理存在性问题2、 设而不求法 (PQ = QM 题型 ， Q 为定点， P、 M 为圆锥曲线两动点 ) 定值问题 定点问题 定直线问题 取值范围问题3、 巧设直线 = + 当直线过 x轴上的某个定点 I.端点向量相等II.斜率不为 0，但可能不
5、存在 当圆锥曲线是抛物线 y2 = 2px4、 极坐标 极点在焦点 (焦点弦题型， 焦点弦的 6个性质 )极点在坐标原点 (过原点的两条垂直直线题型 )5、 过原点的两条直线 (设斜率为 k1、 k2)，若与 k1 +k2k1 k2有关，将方程转化为 k的二次方程。、 数形结合，常见的模型及目标函数 斜率，如 y bx a 距离，如 (xa)2 +(y b)2 截距，如 ax+by 点到直线距离，如 |ax+ by+c|、参数方程（求弦长、距离、最值） 椭圆： x= acos， y= sin， 表示离心角 双曲线 :x = asec， y = tan， 表示离心角 抛物线 :x = 2pt2，
6、 y= 2pt 直线： x= x0 + tcos， y= y0 + tsint 表示到 定点 (x0， y0)的方向距离(x0， y0)上方 ， t 0； (x0， y0)下 方 ， t c2) 与椭圆 x2a2 +y2b2 = 1 有相同离心率的椭圆系为x2a2 +y2b2 = ( 0)双曲线系 与双曲线 x2a2 y2b2 = 1 共焦点的双曲线系方程为x2 y2c2 = 1(0 0)。 等轴双曲线系为： 2 2 = ( 0)两条直线 (退化的二次曲线 ) 定义：设直线 l1和 l2为 Ax+By +C = 0(A = A1、 A2， B= B1、 B2)，则 (A1x+B1y +C1)(
7、A2x+B2y+ C2)= 0 表示两条直线 l1、 l2，即退化的二次曲线 l1 l2。用法：可同时表示双直线 l1和 l2所有的点。注： 二次曲线系 一般形式为 2 +2 + + = 0(a 和 b 不同时为 0)。它可表示 圆，当且仅当 xy 的系数为 0、 a= b,半径 r 0。 椭圆、双曲线、抛物线。 两条直线 ，当且仅当可以分解为 (A1x+B1y+C1)(A2x+B2y +C2) = 0。 一条直线，即可以分解为 (Ax+By +C)2 = 0。 一个点，当且仅当可以分解为 a(xx0)2 +b(y y0)2 = 0。5 二、方法储备： 9、二次曲线系的应用 结论 ：若两二次曲
8、线 f(x,y)= 0 和 g(x,y) =0 的交点是 P(a,b),则过交点 P(a,b)的第三个二次曲线方程为 f(x,y)+g(x,y)= 0。推论1、若圆锥曲线 f(x,y) = 0 和 g(x,y) = 0 有四个交点，则过两曲线的交点的第三个曲线方程为 f(x,y)+ g(x,y) = 0。2、若直线 l1、 l2与圆锥曲线 f(x,y)= 0 有四个不同交点 ，则过这四个交点的第三个二次曲线方程为 (A1x+ B1y+C1)(A2x+ B2y+C2)+f(x,y) = 0。3、若四直线 l1、 l2、 l3、 l4与圆锥曲线 f(x,y)= 0 有四个不同交点 ，则过这四个交点
9、的第三个二次曲线方程为(A1x+B1y +C1)(A2x+B2y+C2)+ (A3x+B3y+C3)(A4x +B4y+C4) = f(x,y)。4、 Pi(i =1,2,3)不共 线三点，直线 PiPi+1(i = 1,2,3,P4 = P1)的方程为li(x,y) = (Aix+ Biy+Ci) = 0,则 过这三点的曲系线方程为l1(x,y)l2(x,y)+l2(x,y)l3(x,y)+ l3(x,y)l1(x,y)= 0。二次曲线系解题的三大图景图景 1：两条直线与圆锥曲线的四个交点图景 2：四 条直线与圆锥曲线的四个交点图景 3：三条直线与圆锥曲线的三个交点 (第四条线即切线隐藏 )
10、6 （ 2）、导数 一、导数不等式（与 n 有关型） 方法储备分析通项 乘积型 a 恒成立，则有 f(x)min a。2、 x D,均有 f(x) g(x)恒成立，则有 f(x)g(x)min a。4、 x D,均有 f(x) g(x2)恒成立 ，则有 f(x)min g(x)max。6、 x1 D,x2 E,均有 f(x1) a 成立，则有 f(x)max a。2、 x0 D,使得 f(x0) g(x0)成立，则有 f(x)g(x)max a。4、 x0 D,使得 f(x0) g(x2)成立 ，则有 f(x)max g(x)min。6、 x1 D,x2 E,使得 f(x1) g(x2)成立，
11、则有 f(x)min g(x)min。x1， x2，使得 f(x1) g(x2)成立，则有 f(x)max g(x)max。注 ： 恒成立)()(不一定推出图像上方)(图像恒在函数)(函数恒成立)()(，有对于.2恒成立)()(有,对恒成立)()(有,对于.1”型的差异：)()(”型与“)()(小结：辨析“m a xm i nm a xm i n212121xgxfxgxfxgxfDxxgxfDxxgxfDxxxgxfxgxf9 三、导数的零点问题 定理储备1、零点定理2、介值定理 变号零点不变号零点3、二分法方法储备四种方法一、数形结合：一般针对小题的超越函数零点不可求问题二、单调性法I.函
12、数在所研究区间单调时，直接利用单调性和零点存在定理。II.函数在所研究区间不单调时，借助某些特点将此区间划分为几个单调区间，再结合最值，零点存在定理 间接判断零点 。三、借助一元二次方程根的分布的思想解决函数零点存在问题。四、放缩法：主要将复杂函数放缩成简单函数解决零点问题超越函数的基本不等式 I. xx+1 ln(x+1) x， x (1,+)II.ex x+1， x RIII.sinx x tanx， x 0,2)两种策略I.特殊值探根，再次求导 :即对于 超越方程一般用特殊值 1， 0， 1探导数 f(x) = 0 是否成立。II.虚拟设根：对于超越方程的导数零点不可求或者三次函数的导数零点特别复杂，一般设导数零点为 x0，利用导数 f(x0) = 0 建立等式关系。整体代换 I.利用函数的导数零点整体代换化简极值函数II.利用函数的导数零点消去参数 (含参问题 )即利用导数 f(x0) = 0 建立等式关系。
