1、一、定积分的基本性质-,二、积分中值定理-,4 定积分的性质,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。,前面已经对定积分作了补充规定:,说明,一、定积分的基本性质,另外，显然,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证,性质2,性质1、2常被称为定积分的 线性性质。,性质3,利用定积分的定义，性质3的证明不难得到，在此从略。,注意，一般地,下面提醒大家注意，两个可积函数的复合函数不一定可积。例如，,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例如，若,定积分对于积分区间具有可加性.,则,性质4,根据定积分的几何意义与物理意义：面积、路程、变力作功来理解性质4
2、 关于积分区间的可加性 ，可以看到结论是十分显然的。,例1 求,解,由图形可知,例2 设 , 求 .,解,根据定理9.5可知，该函数的定积分存在。并且可以利用积分的区间可加性得到：,证,性质5 (保号不等式),由极限的保号性,性质5的推论：(1)保向不等式 (保序性),证,解,令,于是,证,性质5的推论:（2）绝对不等式,又,说明：这个性质的逆命题不成立.,证,性质6（估值不等式）,以上性质 4、5、6均可用定 积分的几何意义来理解。,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,定理 9.7 （定积分第一中值定理）,积分中值公式,二、积分中值定理,使,即,积分中值公式的几何解释：,积分中值公式
3、也完全可以借助于定积分的物理意义来解释：从时刻a到时刻b物体以变化的速率f(x)沿直线运动所走过的路程为,其数值等于在时间段 a, b内，物体以某个时刻 的速率f() 作匀速直线运动所走过的路程。,解,由积分中值定理知有,使,积 分 中 值 定 理,微 分 中 值 定 理,定积分中值定理 与微分中值定理 合二为一！,有了 牛顿莱布尼茨公式后，,则,解释：,定理 9.8 （推广的定积分第一中值定理）,证,由定积分的基本性质5的推论1保向不等式知,由闭区间上连续函数的介值定理知，,结论成立！,.定积分的性质线性性质与区间可加性 用于定积分的计算；,.定积分的性质保号性、估值性质、绝对不等式与积分中值定理等着重于理论上的应用。,（）不计算定积分比较积分大小； （）估计积分值。,小 结,3.典型问题：,卜算子咏梅,驿外断桥边,寂寞开无主.已是黄昏独自愁,更著风和雨.,无意苦争春,一任群芳妒. 零落成泥碾作尘,只有香如故.,宋陆游,卜算子咏梅 宋陆游驿外断桥边，寂寞开无主。已是黄昏独自愁，更著风和雨。 无意苦争春，一任群芳妒。 零落成泥碾作尘，只有香如故。,
