1、1学而思第十五讲 鸡兔同笼进阶我国古代数学名著孙子算经中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何?意思是说:鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有 35 只，鸡脚与兔脚共有 94 只，问鸡、兔各有多少只? 这就是著名的鸡兔同笼问题。怎样解决这个问题呢?我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔” ，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔” ，这种解决问题的方法就是假设法。鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置出来。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：解法 1：鸡的只数=（每只兔脚数 兔总数实际脚数）（每只兔子脚
2、数每只鸡的脚数） 兔的只数=总只数鸡的只数解法 2：兔的只数=（ 总脚数鸡的脚数 总只数） （兔的脚数鸡的脚数） 鸡的只数=总只数兔的只数例 1 、鸡兔同笼，头共 46，足共 128，鸡兔各几只？解：假设 46 只都是兔。共应有： 446=184（只）比 128 只脚多：184-128=56（只）如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少：4-2=2（只） 鸡的只数：562=28（只）兔的只数：4628=18（只）例 2、小梅数她家的鸡与兔，数头有 16 个，数脚有 44 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？解：假设 16 只都是鸡。共应有：21632（只）比 44 只脚少： 44-3212（只）如果用
3、一只兔来置换一只鸡，就要增加：4-2=2（只）兔的只数：122=6（只）鸡的只数：166=10（只）1、鸡兔同笼, 共有头 100 个, 足 316 只,那么鸡有多少只？兔有多少只？2、 、 鸡兔同笼，共有 30 个头，88 只脚。笼子中鸡、兔各有多少只？3、鸡与兔共 40 只，鸡的脚数与兔的脚数共有 90 只。问鸡、兔各多少只？24、现在有大小油桶 50 个，每个大桶可装油 4 千克，每个小桶可装油 2 千克，大桶比小桶共多装油 20 千克，问大、小油桶各多少个? 5、某人领得工资 240 元,有 2 元,5 元,10 元三种人民币共 50 张,其中 2 元和 5 元的张数一样多,那么 10
4、 元的有多少张？6、四（6）班 42 个同学向 2008 年北京奥运会捐款。其中 12 人每人捐 2 元，其余同学每人捐 5 元或 10 元，一共捐了 229 元。求捐 5 元和 10 元的同学各有多少人？例 3、乐乐百货商店委托搬运站运送 500 只花瓶，双方商定每只运费 0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1.26 元，结果搬运站共得运费 115.5 元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24500=120（元） 。实际上只得到 115.5 元，少得 120-115.5=4.5（元） 。搬
5、运站每打破一只花瓶要损失 0.241.26 1.5（元） 。因此共打破花瓶4.51.53 （只） 。解：（0.24500115.5 ）（0.241.26） 3（只） 。1、有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只 2角，如有破损,破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1 元。结果得到运费 379.6 元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？2、运输队为商店运送花瓶 500 箱，每箱 6 个花瓶，已知每 10 个花瓶的运费 5.5元，损坏一个花瓶要赔偿成本 11.5 元（这个花瓶的运费当然也得不到了） 。结果这个运输队共得到运费 1553.6 元。问共损坏了多少个花瓶？3、工
6、人运青瓷花瓶 250 个,规定完整运一个到目的地给运费 20 元, 损坏一个倒赔100 元，运完这批花瓶后，工人共得 4400 元, 则损坏了多少只？34、运输衬衫 400 箱，规定每箱运费 30 元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿 100 元。运后运费为 8880 元，损失了几箱？例 4、某学校举行数学竞赛，每做对一题得 9 分，做错一题倒扣 3 分。共有 12道题，王刚得了 84 分。王刚做错了几题？分析：假设全做对，应得 912=108 分，现在少了 10884=24 分。而做错一题，不但得不到 9 分，反而需要倒扣 3 分，相差了 12 分，所以错了2412=2 题。1、 某次数学
7、竞赛共 20 道题，评分标准是：每做对一题得 5 分，每做错或不做一题扣 1 分。小华参加了这次竞赛，得了 64 分。问：小华做对几道题？2、某次数学测验共 20 题,做对一题得 5 分, 做错一题倒扣 1 分，不做得 0 分。小华得了 76 分，问他做对几题？3、一次数学竞赛共 20 道题，每答对一道题得 6 分，每答错一道题倒扣 4 分。小明答完了全部的题目却得了零分，那么他一共答错了多少道题？4、小毛参加数学竞赛, 共做 20 道题, 得 64 分,已知做对一道得 5 分,不做得 0 分,错一题扣 2 分, 又知道他做错的题和没做的一样多。问小毛做对几道题 ?5、一张数学试卷，共有 25
8、 道选择题，做对一题得 4 分，做错一题扣 1 分。如不做，不得分也不扣分。若某同学得了 78 分，那么，他做对了多少题？做错多少题？不做多少题？例 5、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，共有腿 118 条，翅膀 20 对（蜘蛛 8 条腿；蜻蜓 6 条腿，两对翅膀；蝉 6 条腿，一对翅膀） ，求蜻蜓有多少只？分析：这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6 条腿，只有蜘蛛 8 条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假4设三种动物都是 6 条腿，则总腿数为 618=108（条） ，所差 118108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有
9、（118-108）（8-6 ）=5（只）蜘蛛。这样剩下的 185=13 （只）便是蜻蜓和蝉的只数，再从翅膀数入手，假设 13 只都是蝉，则总翅膀数 113=13（对） ，比实际数少 20-137 （对） ，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7（2-1 ）=7（只）.1、蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有三种动物共 36 只，有 236 条腿和 40 对翅膀。问：每种小虫各有几只？2、王老师用了 117 元买了 18 本书，其中科技书和故事书共 17 本，字典一本（一本字典 17 元） 。已知科技书每本 8 元，
10、故事书每本 4 元。问科技书、故事书各买了多少本？3、某工厂共有 27 位师傅带 40 名徒弟。每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅（即带两名和三名徒弟的师傅）人数的两倍，请问带两名徒弟的师傅有多少人？例 6、 一批钢材，用小卡车装载要 45 辆，用大卡车装载只要 36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨，所以要剩下 436=144（吨） 。根据条件，要装完这 14
11、4 吨钢材还需要 45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装 144916（吨） 。由此可求出这批钢材有多少吨。解：436（45-36）45720（吨） 。答：这批钢材有 720 吨。1、有一批水果，用大筐 80 只可装运完，用小筐 120 只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运 20 千克，那么这批水果有多少千克？2、某校有 100 名学生参加数学竞赛,平均分是 63 分，其中男生平均分是 60分，女生平均分是 70 分,男同学比女同学多多少人 ?53、自行车越野赛全程 220 千米，全程被分为 20 个路段，其中一部分路段长 14 千米，其余的长 9 千米问：长 9 千米的路段有多
12、少个？例 7、 鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 20 只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设 100 只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚 200 只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多 200 只，而实际上只多 20 只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 20020=180（只） 。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少 2只，兔脚增加 4 只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少 426（只） ，而180630 ，因此有兔子 30 只，鸡 1003070 （只） 。解：有兔（210020）（24）30（只） ，有鸡 10030=70（只） 。1、鸡与兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与
13、兔各多少只？2、鸡与兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与兔各多少只？3、鸡兔共 200 只, 鸡的脚比兔的脚少 56 只,则鸡有几只 ,兔有几只?4、鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少 28 只。问鸡与兔各几只？例 8、鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只。问：鸡、兔各几只？分析：一只鸡换成一只兔子,增加两只脚,一只兔子换成一只鸡,减少两只脚，中间有抵消,最后少了 100-92=8 只脚,证明兔子比鸡多 82=4 只，去掉这 4 只兔子, 也就是 92-42=84 只脚. 剩下的兔子和鸡一样多,有 84 只脚，所以鸡有84(4+2)=1
14、4 只,兔子有 14+4=18 只。或：鸡兔一共有：（100+92）（4+2）=32 只，如果这 32 只都是兔,有脚：324=128 只，多了：128-100=28 只,每只鸡比兔的脚少:4-2=2 只,鸡有：282=14只, 兔有：32-14=18 只。1、鸡兔共有 110 只脚，若鸡数和兔数互换，则有脚 100 只，鸡和兔各有多少只？62、鸡、兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 86 只问：鸡、兔各有几只？3、鸡和兔共有脚 190 只，若将鸡的数量和兔的数量互换，则共有脚 140 只。问：原来鸡和兔各有多少只？例 9、学校买来 8 张办公桌和 6 把椅子，共花去 16
15、50 元。每张办公桌的价钱是每把椅子的 2 倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？分析：假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的 2 倍” ，则买 6 把椅子的价钱只能买 62=3 张办公桌，那么 1650 元就相当于83=11 张办公桌的价钱。所以，每张办公桌：165011=150 元，每把椅子：1502=75 元。1、一件工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了 16 天。甲先做了多少天？2、一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成，乙单独打字需 10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着
16、打完，共用了 7 小时。甲打字用了多少小时？专项练习：鸡兔同笼类 练习题一1、有鸡兔共 20 只，脚 44 只，鸡兔各几只？2、鸡兔共笼, 兔比鸡多 5 只, 共有脚 46 只，鸡、兔各多少只？ 3、鸡、兔共笼，鸡比兔多 26 只，足数共 274 只，问鸡、兔各几只？4、有一群鸡和兔，腿的总数比头的总数的 2 倍多 18 只，兔有几只？75、鸡、兔共 100 只，鸡的脚比兔的脚少 70 只，问鸡、兔各有多少只？ 6、鸡与兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，问鸡与兔各多少只？7、鸡兔共有脚 68 只，若将鸡兔只数互换，则脚有 112 只，鸡兔原来各有几只?8、鸡兔同笼，鸡和兔的数量相
17、同，两种动物的腿只数加起来共 84 只。鸡兔各多少只？9、有一些鸡和兔，共有脚 44 只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚 52 只。鸡兔各是多少只？10、鸡兔共有脚 100 只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚 92 只，则鸡多少只？兔多少只？鸡兔同笼类练习题二1、学校买回 4 个篮球和 5 个排球一共用 185 元，一个篮球比一个排球贵 8 元，篮球的单价是多少元？2、全班 46 人去划船，共乘 12 只船，其中大船每只坐 5 人，小船每只坐 3 人，求大船和小船各有多少只？3、星星幼儿园买来 14 套小桌椅，共花 1162 元。已知每张桌子比每把椅子贵 7元。桌子和椅子每张多少钱?84、幼儿
18、园买来 20 张小桌和 30 张小凳共用去 1860 元，已知每张小桌比小凳贵8 元，问小桌、小凳的价格各多少？5、现有大小油桶 50 个，每个大桶可装油 4 千克，每个小桶可装油 2 千克，大桶比小桶共多装油 20 千克，问大小桶各多少个？6、某校有 100 名学生参加数学竞赛，平均分是 63 分，其中男生平均分是 60 分，女生平均分是 70 分，男同学比女同学多多少人？7、六年二班全体同学，植树节那天共栽树 180 棵平均每个男生栽 5 棵、每个女生栽 3 棵；又知女生比男生多 4 人，该班男生和女生各多少人？8、某化工厂甲、乙两车间共 110 人，现在要求甲车间每 8 人选出一名代表，
19、乙车间每 6 人选出一名代表。两车间一共选出了 16 名代表。则甲车间有多少名工人，乙车间有多少名工人？鸡兔同笼类练习题三1、某次数学测验共 20 题，做对一题得 5 分，做错一题倒扣 1 分，不做得 0分小华得了 76 分，问他做对几题？2、某学校举行数学京赛，每做对一题得 9 分，做错一题倒扣 3 分，共有 12 题，王刚得了 84 分，王刚做错了几题？3、某小学举行英语京赛，每做对一题得 10 分，做错一题倒扣 4 分，共有 15 题，王刚得了 108 分，王刚做错了几题？94、关东小学有 3 名同学去参加数学竞赛，一份试卷共 10 道题，答对一题得 10分，答错一道不但不得分，还要扣去
20、 3 分，这 3 名同学都回答了所有的题目，小明得 74 分，小华得 22 分，小红得 87 分，他们三人共答对多少题？ 5、运输花瓶 100 个，规定每个运费为 4 元若打碎 1 个花瓶，则要赔偿 10 元，这列后共得运费 344 元，有几个花瓶打碎了？6、运输衬衫 40 箱，规定每箱运费 10 元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿 100 元，运后运费为 180 元，损失了几箱？7、松鼠妈妈采松子，晴天每天采 20 个，雨天每天可采 12 个，它一连采了 112个，平均每天采 14 个，这几天中有多少天是雨天。鸡兔同笼类练习题四1、螃蟹有 10 条腿，螳螂有 6 条腿和 1 对翅膀，蜻蜓
21、有 6 条腿和 2 对翅膀。现在这三种动物 37 只，共有 250 条腿和 52 对翅膀。每种动物各有多少只？ 2、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只,共有腿 118 条, 翅膀 20 对( 蜘蛛 8 条腿,蜻蜓 6 条腿,2 对翅膀; 蝉 6 条腿,1 对翅膀), 三种动物各几只?3、蜘蛛有 8 条腿，蝴蝶有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和一对翅膀，现有这三种动物共 21 只，共 140 条腿和 23 对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？4、小东妈妈从单位领回奖金 380 元，其中有 2 元、5 元、10 元人民币共 80 张，且 5 元和 10 元的张数相等，试问，这三种人民币各有多少张？5、学校组织新年晚会，买了奖品铅笔，圆珠笔和钢笔共 232 支，共花 300 元。其中铅笔的支数是圆珠笔支数的 4 倍。已知铅笔每支 6 角钱，圆珠笔每支 2 元7 角，钢笔每支 6 元 3 角。问：三种笔各有多少支？106、甲，乙，丙三种练习本每本价钱分别为 7 角，3 角，2 角。三种练习本一共卖了 47 本，付了 21 元 2 角，买的乙种练习本的本数是丙种练习本本数的 2 倍。就三种练习本各买了多少本？
