1、1.1.3,集合的基本运算(一),1一般地，由所有属于集合 A_属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，也就是由集合 A 与 B 的_,元素组成的集合,2A 与 B 的并集记作 AB，AB_3已知集合 A1,2,3，B2,3,4，则 AB_4一般地，由属于集合 A_属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，也就是由集合 A 与集合 B 的_,元素组成的集合,5A 与 B 的交集记作 AB，即 AB_6已知集合 Ax|x2，Bx|x1，则 AB,_,x|xA 且 xB,x|1x2,重点 1,并集运算的五条性质,(1)交换律：符号语言表达式为：ABBA；(
2、2)任何集合与自身的并集等于集合自身，符号语言表达式为：AAA；(3)任何集合与空集的并集等于集合自身，符号语言表达式为：AAA；,(4)任何集合与它的子集的并集，等于集合的自身，符号语言表达式为：若 AB，则 ABB；(5)任何集合都是该集合与另一集合并集的子集，符号语言表达式为：A(AB)，B(AB),重点 2,交集运算的五条性质,(1)交换律：符号语言表达式为：ABBA；(2)任何集合与自身的交集等于集合自身，符号语言表达式为：AAA；(3)任何集合与空集的交集都是空集，符号语言表达式为：AA ；,(4)集合与它的子集的交集等于其子集，符号语言表达式为：若 AB，则 ABA；(5)两个集
3、合的交集是其中任一集合的子集，符号语言表达式为：ABA，ABB.,难点,对并集定义中“或”的理解,并集的定义中的“或”与日常生活中所说的“或”含义不同，在并集中的“或”有以下三种意思：(1)xA，但 xB；(2)xB，但 xA；(3)xA，且 xB.,交集、并集的简单运用,例1：已知Ax|x2 或 x5，Bx|1x7，求 AB.,根据并集的定义，图中阴影部分即为所求ABx|x2 或 x1,图 1,借助数轴解决问题，最易出错的地方是各段的,端点，因此端点能否取到，在数轴上一定要标注清楚,解：将 x2 或 x5 及 1x7 在数轴上表示出来，如图1.,11.若集合 Ax|x|1，By|yx2，则
4、AB( ),Ax|1x1Cx|0x1,Bx|x0D,C,解：将3x1，x3 在数轴上表示出来，如图 2.图 2MNx|x1,12.已知集合 Mx|3x1，Nx|x3，求 MN.,已知集合的交集、并集求参数,例 2：已知 Ax|2axa3，Bx|x1 或 x5，,若 AB，求 a 的取值范围,思维突破：由题目可获取以下主要信息：(1)集合 B 非空；(2)集合A不确定，且AB.本题要分A和 A两种情况，结合数轴求解,解：(1)若A，由 AB，此时2aa3，a3；(2)若A，由AB，如图 2.,图 2,出现交集为空集的情形，首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论；其次，与不等式有关的集合的交、并运算
5、中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑,21.设集合 Ax|1xa，Bx|1x3且 AB,x|1x3，求 a 的取值范围,解：如图 3，,由 ABx|1x3知，1a3.,图 3,集合运算性质的应用,例 3：设 Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210(1)若 ABB，求 a 的值；(2)若 ABB，求 a 的值,思维突破：由ABBBA，ABBAB，再讨论,集合B，列出方程求a.,在解答集合的交、并运算时，常会遇到 ABA，ABB 等这类问题解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件，有时也借助数轴分析处理另外还要注意“空集”这一隐含条件,31.若集合 Ax|3x5，Bx|2m1x2
6、m9，ABB，求 m 的取值范围,解：ABB，AB，如图 4.,图4,32.已知集合 Ax|axa3，Bx|x5(1)若 AB，求 a 的取值范围(2)若 ABB，a 的取值范围又如何？,例 4：已知集合 Ax|x22x30，Bx|ax10，,若 ABA，求 a 的值,错因剖析：解题时易忽略“空集是任何集合的子集”这一 性质，导致解题过程不全面在有关子集的题目中，一定要牢 记“空集”优先考虑,11.3 集合的基本运算(第1课时 并集、交集),1已学习过的集合间的关系有 2子集关系中，如AB，A与B的关系可能有 和 _两类关系,包含与不包含,AB,AB,1并集、交集的概念及表示法,所有属于A或属
7、于B,x|xA或xB,所有属于A且属于B的所有元素,x|xA，且xB,2.并集与交集的运算性质,A,A,A,A,B,1能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ 【提示】 不能当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时AB. 2在求“交”、“并”运算时是将其公共元素简单地写入“交集”或“并集”里面吗？ 【提示】 不能对于集合中相同的元素只写一个，因为“交集”或“并集”是集合，集合中元素具有互异性的特征，故相同元素只能写一个,(1)若集合Ax|x0，Bx|x3 DR (2)已知集合Mx|35，则MN( ) Ax|x3 Bx|55 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： 题中两个集合均
8、为数集； 分别求交集和并集 解答本题可借助数轴直观求解,【解析】 (1)Ax|x0，Bx|x3， ABx|0x3故选B.,【答案】 B (2)由题意画出图形可知，MNx|x3故选A.,【答案】 A,此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示,1.(1)若本例(1)中，问题改为求AB. (2)本例(2)中，问题改为求MN. 【解析】 (1)由例1中的数轴表示知ABR，故选D. (2)由例1中的数轴表示知MNx
9、|3x5，故选C. 【答案】 (1)D；(2)C,设集合Ax|1xa，Bx|1x3且AB，求a的取值范围 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： 集合B非空； 集合A不确定，且AB. 解答本题可分A和A两种情况，结合数轴求解 【解析】 由AB， (1)若A，则有a1 (2)若A，如图,则有-1a1 综上所述，a的取值范围是a|a1,出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑,2.本例中，若将“AB”改为“ABx|1x3”，则a的取值范围又是什么？ 【解析】 如图所示，,由AB=x|-1x3知，1a3.,已
10、知集合Ax|2x5，Bx|2m1x2m1，若ABA，求实数m的取值范围 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： 集合A确定，集合B中元素不确定； ABA.解答本题时，可由ABA知BA.从而分B和B分类讨论 本题中Bx|2m12m1，故B.,(1)当集合BA时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时，要考虑B的情形，切不可漏掉 (2)利用集合运算性质，化简集合之间的关系有利于准确了解集合之间的联系,已知集合Ax|x23x20，Bx|x2x2m0若ABB，求m的取值范围 【思路点拨】 ABBBA讨论集合B,对于涉及集合运算的问题，可先利用集合运算的等价性(即若ABA，则BA，反之也成
11、立；若ABB，则BA，反之也成立)，得到相关集合的关系使得问题转化为考查两集合中元素的关系，而集合中的元素为方程的解，对此逐一讨论便得问题的解,4.已知集合Ax|x23x20，Bx|x2axa10若ABA，求a的取值范围 【解析】 依题设，得A1,2，因为ABA，所以BA.故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2axa10的两个实数解为1，a1，注意到集合中元素的互异性，我们有： 当a12，即a3时，B1,2； 当a11，即a2时，B1 于是a2或a3都满足题意 所以a的取值范围是a|a2，或a3,1对并集概念的理解 “xA，或xB”包含三种情况：“xA，但xB”；“xB，但xA”；“xA，
12、且xB”Venn图如图另外，在求两个集合的并集时，它们的公共元素只出现一次,2对交集概念的理解必须注意 (1),并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AB=.如图 (2)概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于AB”,(3)特别地，还有如图所示的三种情形：,3集合的交、并运算 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性 (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否,设集合Ax
13、R|x22x2p0，且Ax|x0，求实数p的取值范围 【错解】 依题意，方程x22x2p0没有实数解，因此224(2p)0，表示方程x22x2p0没有正实数解，此时等价于方程没有实数解或有非正实数解，只有正确理解这一集合语言，才能正确求解,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,学点六,学点七,1.一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 ，即AB= 。 2.一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 ，即AB= . 3.（1）一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 ，通常记作 . （
14、2）对于一个集合，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称 为集合A相对于全集U的 ，记作 ， 即 .,并集,AB,x|xA或xB,交集,AB,x|xA,且xB,全集U,补 集,U,4.（1）1.并集ABx|xA或xB对于任意的集合A， B，有AA= ，AA= ，AB= , AB= . 若AB=B,则A B；若AB=B,则B A. （2）由补集的定义可知，对任意集合A，有A(CUA)= , A(CUA)= .,5.用集合语言描述下面几个图： （1）A B,AB= ,AB= ； （2）A B,AB= ,AB= ； （3）A =B，AB= ,AB= .,B,A,A,B,A(B),A(B),A,
15、A,BA,BA,U,学点一 基本概念的考查,已知U=1,2,3,8,A=1,2,3,4,B=2,3,4,5.求: （1）AB; （2）A(CUB); （3）(CUA)(CUB); （4）(CUA)(CUB),【分析】由集合的交、并、补概念直接求解.,【解析】 U=1,2,3,8,A=1,2,3,4,B=2,3,4,5, CUA=5,6,7,8, CUB=1,6,7,8.（1）AB=1,2,3,42,3,4,5=2,3,4.（2）A(CUB)=1，2，3，41,6,7,8=1,2,3,4,6,7,8.（3）(CUA)(CUB)=5，6，7，81,6,7,8= 6,7,8.（4）(CUA)(CUB
16、)=5，6，7，81,6,7,8=1,5,6,7,8 .,【评析】集合的简单运算可由基本概念直接求解.,已知集合S=x|1x7,A=x|2x5,B=x|3x7.求： (1)(CSA)(CSB); （2）CS（AB）; (3)(CSA)(CSB); （4）CS（AB）.,解：AB=x|3x5, AB=x|2x7, CSA=x|1x 2x|5x7, CSB=x|1x37. （1）（CSA）(CSB)=x|1x2或x=7. （2）CS（AB）=x|1x2或x=7. （3）（CSA）(CSB)=x|1x3或5x7. （4）CS（AB）=x|1x3或5x7.,【解析】M=x|y2=x+1=x|x+10
17、=x|x-1，P=x|y2=-2(x-3)=x|x3，MP=x|x-1，且x3=x|-1x3.故应选C.,学点二 交 集,【分析】由集合的定义,集合M表示方程y2=x+1中x的范围, 集合P表示方程y2=-2(x-3)中x的范围,故应先化简集合M,P.,【评析】理解集合的表示形式,掌握其意义,利用交 集定义可解决所给问题.,已知集合M=x|y2=x+1,P=x|y2=-2(x-3),那么MP=( ) A. (x,y)x= ,y= B.x|-1x3 C.x|-1x3 D.x|x3 ,C,设集合A=(x,y)|2x+y=1,x,yR,B=(x,y)|a2x+2y=a,x,yR, 若AB=,求a的值
18、.,解：集合A,B的元素分别是二元一次方程2x+y=1和a2x+2y=a的解,因为两方程的公共解集AB=,所以方程组无解. 列方程组 得(4-a2)x=2-a则 即a=-2.,学点三 并 集,设A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,下列集合中与AB相等的集合是( ) A.4,5,6,7,8 B.3,4,6,7,10，16 C.3,4,5,6,7,8,9 D.3,4,5,6,7,8,【分析】注意到集合A与集合B的并集的定义中:(1)集合AB中的元素必须是集合A或集合B的元素,(2)集合AB包含集合A与集合B中的所有元素.,D,【评析】在判定或书写集合A与集合B的并集时,既不能遗 漏元素, 也不能增添元素,要严格地理解、掌握并集的定义.,【解析】A.3B,但34,5,6,7,8,4,5,6,7,8AB; B.10A,10B,16A,16B,3,4,6,7,10,16AB;C.9A,9B,AB3,4,5,6,7,8,9;D.显然AB=3,4,5,6,7,8.故应选D.,已知A=x|x-1或x3,B=x|ax4,若AB=R,则实数a的取值范围是( ) A.3a4 B.-1a4 C.a-1 D.a-1,解：A=x|x-1或x3,B=x|ax4,AB=R, 由数轴知,a-1. 故应选C.,C,
